高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第二次月考模拟二(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第二次月考模拟二(原卷版+解析)，共23页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若p:，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，与函数表示同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．若，，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是
A．是偶函数B．的值域为
C．是奇函数D．不是周期函数
7．设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：①是“1倍函数”；②是“2倍函数”：③是“3倍函数”．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中，不正确的有（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是
10．已知实数、、满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（ ）
A．当对折4次时，的最小值为64
B．当对折4次时，的最小值为32
C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次
D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次
12．已知偶函数满足：，且当时，，下列说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．时，
C．对任意，，都有
D．在区间上有10个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设，若，则的值为___________.
14．函数的图象必经过定点________.
15．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________.
16．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，___________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集，集合是函数的定义域，是函数在上的值域．
(1)求集合；
(2)求，．
18．（1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，求的值.
19．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
20．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式.
21．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时， 求函数的值域．
22．已知函数（，）是奇函数.
(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设（，），若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
新高考地区高2025届高一（上）第二次月考模拟二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再由交集的定义求解即可
【详解】因为，或，
则，
故选：B.
2．若p:，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式后由充分必要条件的概念判断
【详解】由得，由得，
故是的必要不充分条件，
故选：B
3．下列函数中，与函数表示同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域和值域都为R .
对于A选项，函数的定义域为 ，故与不相同.
对于B选项， ，定义域、值域都为 R，对应关系为，故与相同.
对于C选项，函数的值域为 ，故与不相同.
对于D选项，函数的定义域为 ，故与不相同.
故选：B.
4．若，，且，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用“1”的代换法与基本不等式，求出的最小值即可．
【详解】，且，
则，
当且仅当且，即时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：D．
5．若函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得偶函数在，是减函数，原不等式可化为，可得所求解集．
【详解】函数是定义在上的偶函数，可得，
由在，上是增函数，可得在，是减函数，
又（2），可得不等式即为
即有，即，解得，所以解集为．
故：A．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是
A．是偶函数B．的值域为
C．是奇函数D．不是周期函数
【答案】B
【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.
【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为.
故选B.
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.
7．设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：①是“1倍函数”；②是“2倍函数”：③是“3倍函数”．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】①根据在， 单调递减,可在区间上找，也可在区间上找使成立的 的值.
②因为,所以，又在上单调递增，即在区间上找使成立的 的值.
③在上单调递增，即找使成立的 的值.等价于有两根，可证明有两个零点.
【详解】①是“1倍函数”:即存在，使在上的值城为.
若，在上单调递减,即 .
令,在上的值域为.
即是“1倍函数”；
②是“2倍函数”: 即存在，使在上的值城为.
因为,所以.
又因为在上单调递增,即.
即在上的值域为，即是“2倍函数”.
③是“3倍函数”: 即存在，使在上的值城为.
因为在上单调递增,所以 等价于有两根.
记，现证有两个零点.
，令解得.
即函数在单调递减，在上单调递增.
，即有两个零点.
即有两根.
即存在，使在上的值城为.
即是“3倍函数”.
综上所述：①②③均正确.
故选D.
【点睛】本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“k倍函数”的定义:只需在定义域内找到区间使的值城为.再根据函数的定义域与值域建立等式，说明存在性.
8．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，根据题意，由零点，可以得方程，然后常变量分离，构造函数，利用新构造函数的对称性，得到之间的关系，再根据对数的运算性质，得到之间的关系，这样可以把化简成关于的代数式，最后利用换元法，基本不等式以及函数的单调性求出值域即可.
【详解】当时，所以有，因此有，所以函数的解析式为：，由题意可知：有四个不同的实数解，因此有：，设函数，因此由可知：函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，函数的图象如下图所示：
要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，此时有，再由，结合图象可知：函数是关于直线对称，因此有
，所以，令，令，显然函数在上单调递减，
在上单调递增，
故，.
故选：A
【点睛】本题考查了根据函数零点的性质求代数式的取值范围，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力，考查了函数单调性的应用.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中，不正确的有（ ）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是
【答案】BCD
【分析】根据初等函数的图象与性质以及单调性的定义进行判断.
【详解】对任意，，当时，，由知：
，所以，故A正确；
函数在上先单调递减再单调递增，故B错误；
函数在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，
故C错误；
函数的单调减区间是，单调区间不能用连结，故D错误.
故BCD均不正确．
故选：BCD.
10．已知实数、、满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】令，则，，，利用作差法可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D选项.
【详解】令，则，，且，，．
对于A，，所以A错误：
对于B，，
即，所以B正确；
对于C，，所以C正确：
对于D：
，所以D正确．
故选：BCD.
11．某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（ ）
A．当对折4次时，的最小值为64
B．当对折4次时，的最小值为32
C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次
D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次
【答案】AC
【分析】当时，由求得的最小值，可判断A,B; 当，x=0.05cm时，由近似计算求得n的值，判断C,D.
【详解】令，则，则，即，
即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误；
当，x=0.05cm时，，
所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误,
故选:AC.
12．已知偶函数满足：，且当时，，下列说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．时，
C．对任意，，都有
D．在区间上有10个零点
【答案】BD
【分析】A选项找出反例即可；B选项根据偶函数的性质求出对称区间的解析式；C选项求函数最大值与最小值的差；D选项判断函数的周期，根据周期计算零点个数即可.
【详解】A选项，，，所以点不是图象的一个对称中心，A不正确；
B选项，因为是偶函数，所以时，，B正确；
D选项，，所以是以4为周期的周期函数，又，所以每个周期内有2个零点，上有5个周期，故有10个零点，D正确.
C选项，显然在上递减，在上递增，又是以4为周期的周期函数，不难看出，，故对任意，，有，C不正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设，若，则的值为___________.
【答案】或或
【分析】先求解出一元二次方程的解，即可得到，再根据考虑是否为，分类讨论的可取值.
【详解】因为，所以或，所以，
当时，，此时满足，
当时，因为，所以，
又因为，所以或，所以或.
所以的取值为：或或.
故答案为：或或
14．函数的图象必经过定点________.
【答案】
【分析】由恒成立可直接得到定点坐标.
【详解】恒成立，的图象必过定点.
故答案为：.
15．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为关于的不等式对一切实数恒成立，
当，即时，显然恒成立；
当，则，解得；
综上可得；
故答案为：
16．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，___________.
【答案】
【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．
【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，
且，
；
；
即；①
；②
②①得；
故周期为4；
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集，集合是函数的定义域，是函数在上的值域．
(1)求集合；
(2)求，．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）由函数定义域的求法可求得集合；由二次函数值域求法可求得集合；
（2）根据补集、交集和并集定义直接求解即可.
（1）
由得：，即；
在上单调递增，，即.
（2）
由（1）得：；
；.
18．（1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）18；（2）0；（3）18.
【分析】（1）根据指数的运算法则化简求解即可；
（2）根据对数的运算法则求解；
（3）由立方和公式化简后变形求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式;
（3）原式.
19．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．
（1）
解：是定义在上的奇函数，
，
，
又由，
∴ ．
，
∴奇函数，
故符合题意，为所求解．
（2）
解：在区间上为增函数．
证明：设．
而，
由，
得，
，
即，
．
故函数在上为增函数．
（3）
解：由函数为奇函数且在上为增函数知：
，
，
解得：．
故不等式的解集为．
【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．
20．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得恒成立，故求解即可；
（2）由，得，然后分，，求解即可
（1）
由题设，令，
由函数的定义域为，
∴，解得.
∴的取值范围为.
（2）
由题意，，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
综上可知：时，解集为；
时，解集为；
时，解集为.
21．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时， 求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
（1）
设，，，
所以，即，
解得，
所以，解得，
即；
（2）
由（1）得，当，，
所以函数可转化为，，
当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即当时，取最小值为，
当或时，取最大值为，
即函数的值域为.
22．已知函数（，）是奇函数.
(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设（，），若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据定义域为R及奇函数性质求参数t，可得的解析式并判断出单调性，根据，将不等式转化为在恒成立，即可求范围；
（2）先用表示函数，根据求得的解析式，根据单调性利用换元法求得的值域，结合对数的定义域求的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在的取值范围内能否取到最大值0.
(1)
由题设，，解得，故，
而，解得，
所以在R上单调递减且，
所以等价于，即，
所以在恒成立，整理可得，
由对勾函数的性质知：，所以.
(2)
不存在实数，理由如下：
，
因为，代入得，解得或(舍)，
所以，易知在R上为单调递增函数，
令，当时，，
所以，
对于，在上恒成立，即在上，
令，，所以，即，
又，所以 ，
对于二次函数：开口向上且对称轴为，
所以对称轴位于的左侧，即在内单调递增，
所以，，
假设存在满足条件的实数且，则
当时，为减函数，，即，解得舍去，
当时，为增函数，，即，解得舍去，
综上，不存在实数满足条件成立.
【点睛】关键点点睛：
（1）由奇函数性质求出参数t，再由，将问题转化为在恒成立；
（2）根据已知条件求出解析式并求出值域，结合对数函数的性质：在上求m的范围，最后讨论m的范围，利用二次函数、对数复合函数的单调性判断m的存在性.