陕西省西安市铁一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析+原卷）

这是一份陕西省西安市铁一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析+原卷），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
2. 点和点在同一个反比例函数的图象上，则m的值是（ ）
A. B. C. 3D. 12
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 高4米的旗杆在阳光下的影子长6米，同一时刻同一地点测得某建筑物的影子长24米，则该建筑物的高度是（ ）
A. 6米B. 16米C. 36米D. 96米
7. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形中，，，和交于点O，点E在的延长线上，连接交于点F，当时，的长是（ ）
A. 6B. C. D. 7
10. 抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（ ）
A. 3B. C. 1D.
二、填空题：
11. 如果，那么的值等于____.
12. 关于的一元二次方程的一个解是，则实数的值是____．
13. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米；

14. 如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是_____；
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是_____

16. 如图，，以AC为斜边在右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是________；

三、解答题
17. 计算：
（1）解方程：
（2）计算：
18. 化简求值：，其中．
19. 如图，已知在正方形ABCD中，MBC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
20. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．
（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
21. 习近平主席提出的“一带一路”倡议让中西部地区的创新和产业升级变为可能．某公司今年月的营业额为万元；按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司月，月两个月营业额的月均增长率．
22. 如图，在平行四边形中，对角线垂直平分线分别与，，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，且，求．
23. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．（点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号）

24. 如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线表达式；
（2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大时点的坐标；
（3）若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
25. 问题发现：
（1）如图1，点是线段的中点，直线经过点，分别过、作直线的垂线段、，垂足分别是点、．求证：；
问题探究：
（2）如图2，在四边形中，，，点为的中点，点为的中点，若，，则的长是 ；
问题解决：
（3）如图3，四边形在平面直角坐标系中，其中、， ，点、分别在、上，，，若点在上、点在四边形另一条边上，满足点、到直线的距离相等，且平分四边形的面积．问：能否找到满足上述条件的直线？如果能，求出的坐标；如果不能，请说明理由．

2023－2024－1综合评价*数学
一、选择题
1. 下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了空间图形的三视图，三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，正确把握三视图观察角度是解题的关键．
【详解】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，
故选：．
2. 点和点在同一个反比例函数的图象上，则m的值是（ ）
A. B. C. 3D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解方程即可解答．
【详解】解：设反比例函数解析式为，则，
点和点在同一反比例函数图象上，
，
解得，
故选：C．
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角函数的定义．先证明是直角三角形，再利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：C．
4. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先确定抛物线的开口方向和对称轴，再比较各个点到对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线，在对称轴右边y随x的增大而增大，左边y随x的增大而减小，
∵，，，
∴，
故选：A．
6. 高4米的旗杆在阳光下的影子长6米，同一时刻同一地点测得某建筑物的影子长24米，则该建筑物的高度是（ ）
A 6米B. 16米C. 36米D. 96米
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查投影中的实际应用．根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答案．
【详解】解：设建筑物的的高为x米，可得方程：
，
解得：，
答：此建筑物的高度为16米．
故选：B．
7. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程（）的两根为，则，，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：．
8. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可，掌握函数图象平移的法则是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的表达式为：，
即，
故选：．
9. 如图，在平行四边形中，，，和交于点O，点E在的延长线上，连接交于点F，当时，的长是（ ）
A. 6B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的基本概念和平行四边形，三角形中位线的性质，相似三角形的性质．取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到和的长，通过，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【详解】解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：A．
10. 抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（ ）
A 3B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，锐角三角函数．先求出A，B，C的坐标，作于点，利用面积法求得和的长，利用三角形函数的知识即可求解．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴A，B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C到距离为9，
∴．
如图，作于点，则，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题：
11. 如果，那么的值等于____.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
12. 关于的一元二次方程的一个解是，则实数的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
故答案为：．
13. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米；

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，，
（米），
即此时主持人与点A的距离为米，
故答案为：．
14. 如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是_____；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可求解，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：设小三角形的周长为，则大三角形的周长是，
依题意，得，
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
∴这两个三角形的周长之和，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是_____

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等知识，过过作轴于点，证明，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】过作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵点在反比例函数上，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴该反比例函数的表达式，
故答案为：．
16. 如图，，以AC为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是________；

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．构造直角三角形，证明，求得，当在同一直线上时，即时，长度最大，推出四点共圆，再作于F，推出，据此求解即可．
【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，

∵，，
∴设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，当在同一直线上时，即时，长度最大，

∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
作于F，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：
三、解答题
17. 计算：
（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法、实数的运算、特殊角的三角函数值．
（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算即可．
【小问1详解】
解：，
整理得，即，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：
．
18. 化简求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值．先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
【答案】作图见解析.
【解析】
【详解】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得．
【详解】如图所示，点P即为所求作的点．
【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键．
20. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．活动时学生根据所抽取的卡片上的人物来讲述该人物在书中的故事．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片选匀后，背面向上放好，小华从剩下的3张卡片中随机抽取一张．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小明讲，否则由小华讲．
（1）小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是 ；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这个游戏公平．见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率．
（1）根据题意，可以直接写出小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率；
（2）先判断，然后画出相应的树状图，再求出相应的概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，
小明抽到的卡片上的人物为唐僧的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：这个游戏公平，
理由：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中两张卡片上对应的人物为师徒关系有6种可能性，
∴两张卡片上对应的人物为师徒关系的概率为，
∴这个游戏公平．
21. 习近平主席提出的“一带一路”倡议让中西部地区的创新和产业升级变为可能．某公司今年月的营业额为万元；按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司月，月两个月营业额的月均增长率．
【答案】两个月营业额的月均增长率．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设月均增长率为，依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：两个月营业额的月均增长率．
22. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，且，求．
【答案】（1）见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点．
（1）先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，接着根据线段垂直平分线的性质得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）利用菱形对角线求出菱形面积和边长，再根据求出即可．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
∴，
，
垂直平分，
，，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为平行四边形，
垂直平分，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，作垂足为，
，，四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
．
23. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．（点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号）

【答案】米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解．
【详解】解：过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．

24. 如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线表达式；
（2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大时点的坐标；
（3）若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，，，，．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行
四边形的判定与性质等，分类求解是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由面积即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
【小问1详解】
解：将、、代入，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为：．
【小问2详解】
解：过点作轴交于点，如图，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积
，
∵，
∴面积有最大值，
∴此时点的坐标为：．
【小问3详解】
解：设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，(不合题意的值已舍去)，
则点；
当或为对角线时，同理可得：

或
解得： 或，
则点的坐标为：或或，
综上，点的坐标为：或或或．
25. 问题发现：
（1）如图1，点是线段中点，直线经过点，分别过、作直线的垂线段、，垂足分别是点、．求证：；
问题探究：
（2）如图2，在四边形中，，，点为的中点，点为的中点，若，，则的长是 ；
问题解决：
（3）如图3，四边形在平面直角坐标系中，其中、， ，点、分别在、上，，，若点在上、点在四边形的另一条边上，满足点、到直线的距离相等，且平分四边形的面积．问：能否找到满足上述条件的直线？如果能，求出的坐标；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）；（3）能找到满足上述条件的直线，或，理由见解答过程．
【解析】
【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到， ，，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）分两种情况求解即可：①、在直线的同侧，则点在线段上；②、在直线的异侧．
【详解】（1）证明：点是线段的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，取的中点，连接、，

点为的中点，点为的中点，
，，
，
同理，，，
，
，
由勾股定理得，，
故答案为：；
（3）解：能找到满足上述条件的直线，或，理由如下：
连接，
、，
，，，
，
∵，
，四边形是梯形，
四边形的面积，
四边形的面积的一半为21，
点在上、点在四边形的另一条边上，满足点、到直线的距离相等，且平分四边形的面积，
①若、在直线的同侧，则点在线段上，，如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是正方形，

，
，
，，，
，，
，，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
，
即，
，
，
或（舍去），
，
∴；
②若、在直线的异侧，则直线垂直平分，因为，则与重合，

，
综上，能找到满足上述条件的直线，或．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练运用有关性质并分情况讨论是解题的关键．