陕西省西安市高新二中2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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1. 计算：（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算法则，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，求解即可．
【详解】解：，故D正确．
故选：D．
2. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3. 如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C
【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
4. 则括号内应填的单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用2ab2除以ab即可.
【详解】2ab2÷ab=2b.
故选C.
【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5. 在同一坐标系中，正比例函数y=kx与一次函数y=x－k的图象为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：正比例函数和一次函数的图象.根据正比例函数经过原点，一次函数为增函数就可以排除C、D选项，A、B两个选项中正比例函数为减函数，则说明k＜0，则－k＞0，所以一次函数图象与y轴交于正半轴，所以选择B.
考点：正比例函数和一次函数的图象
6. 如图，在中，是边上的中线，是的中位线，若，则的长（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由是边上的中线，，可得，由是的中位线，可得．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∵是中位线，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7. 如图所示“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺尺寸，问径几何？”依题意，圆材半径为（ ）
A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据垂径定理得，，再根据勾股定理列式代数计算，即可作答．
【详解】解：连接．
设圆的半径是寸，在直角中，，，
，
则，
解得：．
则圆材半径为寸．
故选B．
8. 已知二次函数，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示，则可求得的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的关系，由表内的数据结合二次函数的性质可得出当抛物线的对称轴为直线，利用图象与系数的关系可得出的值，利用二次函数的对称性可得出当时y的值，再将其代入中求解，即可解题．
【详解】解：当时，，当时，，
抛物线的对称轴为直线，且，为一元二次方程的两个根，
．则与对应的点的y值相等，
当时，，
当时，，
．
选：B．
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，若无理数c满足，则c的值可以是______（填一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据结合数轴判断，即可得到c的值．
【详解】解：由数轴可得，，
又，c为无理数即无限不循环小数，
可得c的值可以是（答案不唯一），
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据数轴判断实数之间的大小，解题的关键是掌握无理数的概念．
10. 已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】多边形的边数多边形从其一个顶点出发对角线条数．
【详解】解：正多边形从其一个顶点出发共有条对角线，则该正多边形为正六边形，所以该正多边形的周长．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形，牢记多边形的边数与从其一个顶点出发对角线条数的关系是解题的关键．
11. .已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是____________．
【答案】或
【解析】
【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长是8，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
如图1：当E在线段AD上时，
∴AE=AD﹣DE=8﹣3=5，
∴△MAE∽△MCB，
∴；
如图2，当E在AD的延长线上时，
∴AE=AD+DE=8+3=11，
∴△MAE∽△MCB，
∴
．
∴的值是或．
故答案为或．
【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．
12. 如图，四边形是矩形，四边形是正方形且面积为，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数 的图象上，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据正方形的性质以及反比例函数的性质求得，推出，据此即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______．
【答案】
【解析】
【详解】连接CE，如图所示，
根据折叠可知：A′E＝AE＝ AB＝1，
在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴CE＝＝，
∵CE＝，A′E＝1，
∴点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E＝﹣1，
故答案为：﹣1.
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等，连接CE是解决本题的关键．
三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考出查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为的步骤求解即可．
【详解】解：，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为，得 ．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的锐角三角函数的混合运算，先化简开平方、零指数幂、余弦值、负整数指数幂，再根据加减混合法则进行计算，即可作答．
【详解】解：

，
.
16. 解分式方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程；
方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程解，检验后可得答案．
【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得，
解得，
检验：当时，，
是增根，原分式方程无解．
17. 三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，中，，且．在边 上求作一点，使是黄金三角形(保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；作边的垂直平分线交于，交于，连接即可，由等腰三角形的性质求出，，则，再证，得，即可得出是黄金三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：作边的垂直平分线交于，交于，连接即可；
是黄金三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是黄金三角形．
如图所示，点即为所求．
18. 如图所示，四边形ABCD中AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由
【答案】证△ABE≌△ADF（AD=AB、AE=AF）
【解析】
【分析】由题中条件AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，可得AE=AF，由AB=AD，可由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF，即可得证．
【详解】图中△ADF和△ABE全等．
∵AC平分∠BCD，AF⊥CD，AE⊥CE；
∴AF=AE，∠AFD=∠AEB=90°
在Rt△ADF与Rt△ABE中，AB=AD，AF=AE
∴Rt△ADF≌Rt△ABE．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理HL，判定定理即“斜边，直角边判定定理”判定直角三角形全等．注意应用．
19. 【跨学科试题】为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者从短歌行将进酒观沧海木兰辞分别用、、、表示中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从蒹葭沁园春雪念奴娇赤壁怀古分别用、、表示中随机抽取一首进行讲解小明和晓慧都参加了诗词大赛．
（1）小明第一轮抽到将进酒的概率是______ ；
（2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，小明第一轮抽到将进酒的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春雪》的结果有种，
晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20. 现在是互联网时代，微商小王一次购进了一种时令水果，前两天他以每千克高于进价的价格卖出，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打折全部售出，最后他卖该种水果获得元的利润，求这批水果的进价为多少元．
【答案】这批水果的进价为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设进价为每千克元，根据前后一共获利元，列出方程．
【详解】解：设这批水果的进价为元，
依题意得：，
解得，
答：这批水果的进价为元．
21. 校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀．小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度，如图，她先在教学楼前的处测得校训牌上端处的仰角为，然后她后退到达处，又测得该校训牌下端处的仰角为，发现与恰好互余，已知教学楼的高，，小颖的眼睛离地面的距离，且，，三点共线，，，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点，根据矩形的性质，得出，再由与互余推出，根据全等的性质可得，即可求得．
【详解】解：延长交于点，
，，，
四边形、四边形、四边形均为矩形，
，，，，
，，，，
，，
，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了仰俯角问题，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
22. 小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示：
（1）根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式
（2）小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称．
【答案】（1）；
（2）该市场老板的称足称．
【解析】
【分析】（1）设与的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）将代入（1）中的关系式，求出的值，即可得解．
【小问1详解】
设弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得，
∴；
【小问2详解】
将代入得，
，
解得，
∵，
∴该市场老板的称足称．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
23. 学期即将结束，王老师对自己任教的两个班（每个班均为人）的数学成绩进行质量检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．其中，成绩均为整数，满分分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（），合格（），不合格（60分以下）．（2）班中良好这一组学生的成绩分别是：，，，，，，，，，．
根据以上信息，回答下列问题，
（1）写出（2）班良好这一组成绩的中位数和众数；
（2）已知（1）班没有人的成绩相同，则成绩是分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由；
（3）根据上述信息，推断______班整体成绩更好，并从两个不同角度说明推断的合理性．
【答案】（1）中位数和众数分别是73.5、73
（2）（2）班，理由见解析
（3）（1），见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）分别确定成绩是分的学生在两个班级中的名次即可得出答案；
（3）求出（2）成绩的中位数和优秀率，然后与（1）的中位数和优秀率比较得出答案．
【小问1详解】
（2）班良好这一组成绩的中位数是第、个数据的平均数，
所以中位数，
（2）班良好这一组成绩出现次数最多的是，
所以众数是；
【小问2详解】
成绩是分的学生，在（2）班的名次更好，理由如下：
∵（1）班成绩的中位数是，（1）班没有人的成绩相同，
∴（1）班成绩是分的学生，名次最好可能是名，
∵（2）班成绩是分的学生，名次是名，
∴成绩是分的学生，在（2）班的名次更好；
【小问3详解】
（2）班成绩的中位数是第、个数据的平均数，
所以（2）班成绩的中位数，
（2）班的优秀率，
，，
∴（1）班成绩的中位数大于（2）班成绩的中位数，（1）班的优秀率大于（2）班的优秀率，
∴（1）班整体成绩更好．
故答案为：（1）．
【点睛】本题主要考查了统计表，条形统计图，中位数及众数的意义，解题的关键是根据表格和统计图得出解题所需的数据，以及对中位数和众数意义的运用．
24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
（2）在中，由勾股定理得，由，，可知垂直平分，得，再利用勾股定理杰克求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
圆心在上，
是的直径，
，
平分，
，
，
，即，
∵，
，
为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，
∵，，
则垂直平分，
，
为的直径，
，
在中，，即，
．
25. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：，顶点D 的坐标为；任务二： ；任务三：叶片此时的长度为，最大宽度为
【解析】
【分析】任务一：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
任务二：先求出，得到，再求出，得到，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则；
任务三： 先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为：，则，求出抛物线解析式为，进而求出，作交延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线的解析式为，作轴交抛物线和直线分别于点N，M，作交曲线于．则，即可得到，证明，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
【详解】解：任务一：把=代入得：
∴，
∴抛物线解析式为
∴顶点D 的坐标为；
任务二：∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E、是叶片上的一对对称点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
任务三：∵直线与x 轴成角
∴可设直线的解析式为，
把点代入得，．
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴，同理可求出直线的解析式为：，
∴，
把代入，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
联立，解得．
∵幼苗是越长越张开，
∴不合题意，舍去
∴，
作交延长线于点H，
∴，
设直线的解析式为，
把点和代入得，
∴直线的解析式为，
作轴交抛物线和直线分别于点N，M，
作交曲线于．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴叶片此时的长度为，最大宽度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26. （1）问题提出：如图①，为等腰三角形，，，D是上一点，且平分的面积，则线段的长度为______．
（2）问题探究：如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点M点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点A距出口的距离的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）存在，最大值为；（3）存在通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，的长为75米
【解析】
【分析】（1）根据平分的面积，得到，利用三角形内角和及等腰三角形的性质求出，即可根据30度角的性质求出线段的长度；
（2）作的外接圆，圆心为O，作并延长交于点D，连接，证明，得到，利用正切值求出，由，即点C在劣弧上，得到当的高最大时，的面积最大，即点C与点D重合时，的高的最大值为，根据面积公式计算即可；
（3）连接，证得 ，由，的面积是定值，得到要使四边形的面积最大，只要的面积最大即可，求出四边形的面积的最大值，连接，求出的面积，得到点E在上，过点M作于点H，连接，根据三角函数求出，再利用的面积求出即可．
【详解】解：（1）∵平分的面积，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
（2）作的外接圆，圆心为O，作并延长交于点D，
连接，
则，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，即点C在劣弧上，
∴当的高最大时，的面积最大，
即点C与点D重合时，的高的最大值为，
∴存在面积的最大值，最大值为；
（3）连接，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积是定值，
∴要使四边形的面积最大，只要的面积最大即可，
∵为定值，为定值，
∴当是等边三角形时，即的面积最大，
∴四边形的面积的最大值为，
连接，
∵，
∴,
∵，，
∴点E在上，
过点M作于点H，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴存在通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，的长为75米．
【点睛】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，等腰三角的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．…
2
3
…
…
0
0
4
…
所挂物体质量
0
1
2
3
弹簧的长度
3
4
5
6
（1）班成绩数据
平均数
众数
中位数
优秀率
人数
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素
材
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任
务
1
确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任
务
2
研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任
务
3
探究幼苗叶片的生长
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．