2024年陕西省西安市铁一中学中考四模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 如图，直线，直线l分别交直线a、b于A、B两点．点C在直线b上，且，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质求出，再根据对顶角性质求解即可．
【详解】解：如图，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．，故错误，不符合题意；
B．，故正确，符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，故错误，不符合题意；
故选：B．
4. 如图、直线经过A，B两点，直线经过C，D两点，则a，b，c，d从小到大的排列顺序为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象，关键是根据一次函数的性质判断．
【详解】解：由图可得：直线与y轴交点D位于直线与y轴交点B上方，且都在x轴上方，
∴，
∵两条直线都经过第一、二、四象限，
∴，，
且直线比直线的图象更陡，
则，
∴，
，
故选：D．
5. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD===，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°==，
∴AE=AD-DE=，
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
6. 如图，在中，，，于D点，F边上一动点，过F作交的延长线于点E，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形，解题关键是由，，得，，由，得，得，由四边形的面积与的面积相等，得与面积比，得，即，由，得．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
四边形的面积与的面积相等，
与面积比，
，即，
，
．
故选：D．
7. 如图，点B，C在上，点A在内，，，，的半径长为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是延长交于，过作的垂线，设垂足为，根据垂径定理求出，根据、的度数易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长交于，作于，连接，
，于，
，
，
为等边三角形；
，，
，
，
，
，
的半径长为，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意，得，又抛物线过点，，可知、关于直线对称，所以，，，，把点坐标代入，化简整理即可解决问题．
【详解】解：由题意，
，
又抛物线过点，，
、关于直线对称，
，，，，
把点坐标代入，
，
，
．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 比较大小：________（“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是分别判断出、与3的关系，推得、的大小关系即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
10. 把边长相等的正五边形和正六边形的边重合，按照如图的方式叠放在一起，连接，交于点K，则的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据正五边形的内角，可得，的值，根据正六边形，可得的度数，根据正六边形的对角线，可得的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．
【详解】解：由正五边形内角，得
，
由正六边形内角，得
，
∵平分，
∴，
由四边形的内角和，得
．
故答案为：．
11. 如图，已知菱形的边长为a，E为对角线边上一点，且，若，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是菱形，连接，交于点，
，，，
，，
在中，，
在中，，
即，
即，
解得：（舍去），
故答案为：．
12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若．则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作于，于．设．利用平行线分线段成比例定理，求出点的坐标，再证明，利用梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于，于．设．
于，于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，，，若，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】作，由，，得到，，进而得到点为外接圆圆心，，，由，，得到四点共圆，，进而得到为顶角的等腰三角形，，在，中，根据三角函数，求出，，的长，即可求解，
本题考查了，四点共圆，圆周角定理，圆周角定理逆定理，锐角三角函数，解题的关键是：连接辅助线得到为顶角的等腰三角形．
【详解】解：过点作，交于点，连接，
∵，，
∴，，
∴点为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴为顶角的等腰三角形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，共81分，解答题应写出必要过程）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，化简绝对值以及二次根式的乘法，解题的关键是将各部分利用法则进行化简，再合并计算．
【详解】解：
．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是．
16. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
17. 如图，已知等边，D为边上一点，请用尺规作图，在射线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质，解题的关键是作，交射线于点，由，可得．结合等边三角形的性质可得，则．
【详解】解：如图，作，交射线于点，
，
．
为等边三角形，
．
．
则点即为所求．
18. 如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为边中点，
，
在与中，
，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，即，
．
19. 在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为________．
（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球；请利用列表法或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，摸出的这个球是红球的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，
两次摸出的球都是白球的概率为．
20. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？
【答案】有39人，15辆车
【解析】
【分析】设有人，辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”列方程组求解．
【详解】解：设有人，辆车，依题意得：
，
解得
答：有39人，15辆车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
21. 某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩(得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀)进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
数学竞赛成绩频数统计表
请结合图表解决下列问题：
（1）请将频数分布直方图补充完整；
（2）抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在________组；
（3）若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
【答案】（1）见解析 （2）C
（3）825人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是：
（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出的值，继而可以将频数分布直方图补充完整；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
【小问1详解】
解：，
，
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
按大小顺序排列后第100和101个数据在C组，
∴抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；
故答案：C；
【小问3详解】
，
(人)，
答：估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数有825人．
22. 慕梓睿与走走要测量一建筑物的高度，如图，慕梓睿在点A处测得此建筑物最高点C的仰角，再沿正对建筑物方向前进到达B处（即），测得最高点C的仰角；走走在点G处竖立标杆，当走走的所在位置点D，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，测得，．
（1）求此建筑物的高度；
（2）求走走与建筑物之间的距离．
（注：结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，三角形相似的判定与性质；
（1）在中，可得，从而，在中，利用列出关于的方程，即可解决问题；
（2）先证，根据相似三角形的性质列出关于的方程，即可解决问题．
【小问1详解】
解：在中，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得；
答：此建筑物的高度约为；
【小问2详解】
由题意知：，，
，
，即，
解得，
答：小亮与建筑物之间的距离约是．
23. 一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，慕梓睿购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据：
（1）根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；
（2）按慕梓睿的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时双层部分的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是：
（1）观察表格可知，是的一次函数，再用待定系数法可得与的函数关系式为；
（2）根据背带的长度调为得，即，即可解得答案．
【小问1详解】
解：观察表格可知，是的一次函数，设，
把双层部分长度为，单层部分长度为和双层部分长度为，单层部分长度为代入得：
，
解得，
与的函数关系式为；
【小问2详解】
根据题意得：，
，
解得，
双层部分的长度为．
24. 如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，再利用同垂直与第三条直线的两直线互相平行的性质解答即可；
（2）利用等腰三角形的性质，平行线的性质和圆周角定理得到，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图，
平分，
，
，
．
为的切线，
．
；
【小问2详解】
由（1）知：，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线．
25. 公园里一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置，喷水口A距离水面的距离米，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，为了方便研究，以O为坐标原点，方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系．
（1）若此时，测得喷出的水流在离水平距离为米的B处达到距水面的最大高度，同时经过距水平距离为2米，距水面的高度为米的C点．若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据顶点式求出二次函数的解析式是关键．
（1）依据题意，顶点横坐标为，故可设解析式为，又过，，进而可得方程组，求出，后得抛物线的解析式，再，求出的值即可得解；
（2）依据题意，当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，可设，把点，代入抛物线解析式计算可得解析式，进而可以得解．
【小问1详解】
解：由题意，顶点的横坐标为，
可设解析式为．
又过，，
．
．
抛物线为．
令，
．
或（舍去）．
水池的半径至少为米．
【小问2详解】
由题意，可设，
把点，代入抛物线解析式得，
．
．
．
水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．
26. 【提出问题】如图①，与的两边，相切于点P，Q，则，的数量关系为________．
【探究问题】如图②，矩形的边，，点P在上，连接，，求的最大值．
【问题解决】如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由．
【答案】（提出问题）：；（探究问题）：的最大值为；（问题解决）：
【解析】
【分析】（提出问题）：连接，根据切线性质得出，证明，即可求解；
（探究问题）：过作与相切于点，交于F，连接连接并延长交于点，根据，得出，设得出，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出，即可求解；
（问题解决）：如图，连接，证明，得出，，从而得出，，求得当最小时，的长取到最小值，进一步得出当最大时，最小，确定点在直线上运动，作的外切圆，则与直线相切于点，连接，则有，确定，最小值为，最小值，即可求解；
【详解】（提出问题）：连接，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（探究问题）：过作与相切于点，交于F，连接连接并延长交于点，
，
，
与相切于点，
，
，
设则，
又，
在中，
，
，
，
，
，
即的最大值为．
．
（问题解决）：如图，连接，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，
∵，
∴当最小时，长取到最小值，
又∵，
∴当最大时，最小，
，
∴点在直线上运动，
作的外切圆，则与直线相切于点，连接，
则有，
，
，
，
，
，
最小值为，
最小值，
最小值为．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，弧长公式等知识点，解题的关键是正确作出辅助圆以及辅助线．
红
红
白
白
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
组别
频数
频率
A组
a
B组
30
C组
50
b
D组
60
双层部分长度x（）
2
8
14
20
单层部分长度y（）
148
136
124
112