2024年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列无理数中，大小在0和1之间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数、估算无理数的大小，利用放缩法估算的大小，可判断A，C，根据可判断B，根据是分数可判断D．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴A符合题意；
∵，
∴，
∴B不符合题意；
∵，
∴C不符合题意；
∵是分数，不是无理数，
∴D不符合题意；
故选A．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3. 如图，和直尺的两边，且，把三角尺的直角顶点放在上．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．
由平行线的性质可得，，由角的和差可求得，即可解答．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B
4. 已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，，观察图形可得小手盖住的点的坐标在第二象限，再逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴A、点在第三象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；
B、点在第二象限内，小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项符合题意；
C．点在第四象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；
D、点在第一象限内，因为小手盖住的点的坐标在第二象限，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了点所在象限的判断，求出a，b的正负是解题的关键．
5. 如图，在中，，点F是斜边的中点，以为边作正方形若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的面积可得，从而利用直角三角形，斜边上的中线性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵
∴，
在中，点F是斜边的中点，
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上中线，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图，和都经过A，B两点，且点N在上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），的延长线交于点P，连接．若，，则长为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的外心，等边三角形的判定和性质，三角函数，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质和解直角三角形；由圆周角定理可得，由可证为等边三角形，则M为等边的外心，进而可得， ，再用解直角三角形即可求出．
【详解】解：连接，过点M作于D，如图所示：
∵和都经过A，B两点，，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴内接于，
∴点M为等边外心，
∴平分，垂直平分，
∴， ，
，
，
∴，
∴．
故选：C．
7. 对任意实数x，二次函数满足，则的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用特值法解决填空或选择题是解本题的关键；由题意可得，可令即可得到答案．
【详解】解：由题意，∵，
又对于任意x都有，，
∴．
∴可令得，．
∴．
故选：C．
二、填空题（共6小题）
8. 分解因式：______．
【答案】m（m-2n）2
【解析】
【分析】直接提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：m3-4m2n+4mn2
=m（m2-4mn+4n2）
=m（m-2n）2．
故答案为：m（m-2n）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
9. 如图，六边形是由正和正五边形组成的，则的度数是 _________．
【答案】##132度
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质，等边三角形的性质等知识，求出正多边形的内角是解题的关键；
利用等边三角形的性质求得的度数，再利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，根据等腰三角形及三角形的内角和求得的度数，最后利用角的和差计算即可．
【详解】解：是正三角形，
，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
，
故答案为：．
10. 三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝__________________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】本题考全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
相似三角形的判定，由面积比＝得到边长比，由 法判定，用法判定，得到，故．
【详解】解：∵四边形是正方形，是直角三角形，
∴，，
∴点边上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴在和中
∴，
∴，
∴点边上，
∴，
∴，
∵，
∴三点在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
∴，
∴，
∴
故答案为：．
11. 如图，在中，，是的角平分线，点E是的中点，，则的长是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线构造三角形中位线是解题的关键．根据三角形的中位线定理，得，；根据平行线的性质和等腰三角形的判定得，从而求解．
【详解】解：如图，设点N是的中点，连接，
∵点E是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的平分线，，
∴．
∴，
∴．
∴，
故答案为：2．
12. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，，，点是的中点，点和点都在反比例函数上．若点的坐标为，则的值是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点．证明，得出，根据点、都在反比例函数上，列出一元二次方程，解方程得出点的坐标，即可求解．
【详解】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点．
点的坐标为，点是的中点，
，
，，
，
，
，．
，
，．
，
点、都在反比例函数上，
，
解得：，舍去，
点的坐标为，
．
故答案为：．
13. 如图所示，已知，，，点和点分别是和边上的动点，满足，连接，点是的中点，则的最大值为 _________________．
【答案】##
【解析】
【分析】过作，且，连，．取中点，连、、．证，得．设，则．，，进而得，由≥，即可得解．
【详解】解：过作，且，连，．取中点，连、、．
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
设，
∵为中点，
∴．，
∴，
∵为中点，
∴．
∴，
∵≥，
∴最大值，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质以及垂线的性质，熟练掌握三角形的三边关系以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解．
【详解】解：
15. 先化简，再求值．，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的除法计算法则化简，然后代值计算即可．
详解】解：
．
当时，原式．
16. 解关于x的不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．分别求解两个不等式，再根据“同大取大，通小取小，大小小大中间找，大大小小没得找”即可写出不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
17. 已知．请你在边上确定点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，解直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形，含的直角三角形三边的关系．过A作于D，点D即为所求
【详解】解：过A作于D，如图：

点D即为所求；
理由：∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在中，，是的一条角平分线，是的外角的平分线，，垂足为点E，与交于点F，请你猜想与的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【答案】，，证明见详解．
【解析】
【分析】根据三线合一可得，由外角的性质和角平分线的定义得，再由得，从而四边形为矩形．由四边形为矩形可得F是中点，由等腰三角形的性质可得D是的中点，从而是的中位线．
【详解】证明：∵，是的一条角平分线，
∴，，
∴，
∵为的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的判定以及性质，熟练掌握矩形的判定与性质和三角形中位线的判定和性质是解答此题的关键．
19. 如图1，是一张直角三角形纸片，它的两条直角边长分别为和，将这张纸片分别以两条直角边所在直线为轴旋转一周，得到两个圆锥（如图2、图3）．试猜想哪个圆锥的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．（）
【答案】图3中圆锥的体积更大，见解析
【解析】
【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算圆锥的体积，再比较大小，因式分解的应用，先计算体积，再作差比较大小即可.
【详解】解：图3中圆锥的体积更大．
设图2中圆锥的体积为，图3中圆锥的体积为，
则，，
∴．
∵，
∴．
∴，则，
∴图3中圆锥的体积更大．
20. 小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
【答案】该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要读懂题目的意思，找出题目中等量关系，列出方程，再求解．
【详解】解：设该文具店中这种黑色中性笔的价格为x元/根，则：
．
解得．
答：该文具店中这种黑色中性笔的单价是2元．
21. 如图，将一枚棋子依次沿着正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到B处，如掷得3点就移动3步到点D处，如掷得6点就移动6步到点C处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．
（1）从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是 _______．
（2）在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵骰子是一个正方体，六个面上的数字一次是1，2，3，4，5，6，
∴第一次掷骰子有6种等可能结果，
∵当棋子移动到C点时，需要掷得数字2或6，共2种可能，
∴从A点开始，掷一次骰子后到点C处的概率是：．
故答案为：．
【小问2详解】
两次掷骰子的结果如下表所示：
从上表得：总共有36种可能的结果，
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12，
由上表可知：两次掷得的点数之和必须为4，8或12的结果总共有9种，
∴在第二次掷骰子后，棋子回到点A处的概率为：．
22. 为了了解秦兵马俑的身高情况，某研究学习小组通过查阅网络相关资料，获取了秦始皇兵马俑博物馆中18个陶俑的“通高”和“足至顶高”的数据，并把数据绘制成如下统计图：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这18个陶俑的“通高”中位数落在_______组．（填A或B或C或D）
（2）求这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高．（结果保留4位有效数字）
（3）目前秦始皇兵马俑已发现的陶俑大约有8000个，请估计陶俑“足至顶高”高度在以上的陶俑大约有多少个？（结果保留整数）
【答案】（1）B （2）179.7
（3）2667个
【解析】
【分析】此题考查统计表、扇形统计图以及样本估计总体的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据中位数的定义求解可得；
（2）根据平均数的定义求解可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
小问1详解】
解：∵组频数：，组频数：，组频数：，组频数：，
∴中位数为第9、10个数据的平均数，而第9、10个数据均落在B组，
则这18个陶俑的“通高”中位数落在B组，
故答案为：B；
【小问2详解】
这18个陶俑的“足至顶高”的平均身高为
；
【小问3详解】
估计陶俑“足至顶高”高度在以上的陶俑大约有（个）．
23. 如图，一座塔坐落于某小山的山腰上，小山的高度是150米．从地面上的点B处测望山峰，人的眼睛点B、塔顶点E和山顶点C三点共线．从点B处望塔底和塔顶，仰角满足，，观测点B距离山脚A处100米．请你求出塔高的长．
【答案】塔高的长为30米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解本题的关键，如图，延长，交于点H，可得，设米，则米，再分别表示，，利用，可得，求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长，交于点H，
则，
设米，则米，
在中，，即，
∴米，
在中，，即，
∴米，
在中，，米，
则（米），
∴米，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴米，米，
∴（米），
答：塔高的长为30米．
24. 一支水银温度计刻度均匀，但是不太准确．经过测量发现，在一个标准大气压下，将温度计玻璃泡放置于冰水混合物中，读数为3摄氏度；在沸腾的热水中读数为87摄氏度．若该温度计的读数y和实际温度x符合一次函数关系，请你计算：
（1）一个标准大气压下，该温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式；
（2）一个标准大气压下，实际温度为多少时，温度计的示数与实际温度相同．
【答案】（1）；
（2）实际温度为度时，温度计的示数与实际温度相同
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法时解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求出该温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式；
（2）令（1）中关系式中，解出方程即可．
【小问1详解】
解：设温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式为，
由题意，得当时，；当时，，
所以，
解得，
∴温度计的读数y和实际温度x满足的函数关系式为；
【小问2详解】
令，则，
解得，
答：实际温度为度时，温度计的示数与实际温度相同．
25. 如图，是的直径，点C和点E在上，平分，过点C作所在直线的垂线，垂足为点D，交的延长线于点P．
（1）求证：与相切．
（2）若，半径是3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，三角函数及圆的相关性质等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
（1）连接，则，证明，则，从而证明结论；
（2）连接，在中，求出，再证出，利用三角函数求出即可．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵交的延长线于点E，
∴，
∵是的半径，且，
∴与相切．
【小问2详解】
解：连接，
∵的半径是3，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是2．
26. 已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离．
（1）请你求出点满足的函数关系式；
（2）如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且的菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，坐标为、，，．
【解析】
【分析】（）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可；
（）过作轴，，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可．
【小问1详解】
如图，，轴，轴．

在中，
，
∴，
∴，
∴点满足的函数关系式为；
【小问2详解】
如图：过作轴，

设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
根据对称性得或，
综上所述，坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 第2次
第1次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
组别
“足至顶高”
频数
组内陶俑的平均“通高”
4
174
8
179
4
183
2
187