陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中、是无理数的是（ ）
A. 面积为16的正方形的边长B. 体积为27的正方体的棱长
C. 两直角边分别为2和3的直角三角形斜边长D. 长为4宽为3的长方形的对角线长
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根，立方根，勾股定理，分别计算，进而根据无理数的定义进行判断，即可求解．
【详解】A选项：面积为16的正方形的边长为，是有理数，故该选项不符合题意；
B选项：体积为27的正方体的棱长为3，是有理数，故该选项不符合题意；
C、两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为 ，是无理数，故该选项符合题意；
D、长为4，宽为3的长方形的对角线长为，是有理数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，勾股定理，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2. 在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．
【详解】解：由，可知，故选项A不符合题意；
由整理得：，则为直角三角形，故选项B不符合题意；
，，，则，故选项C符合题意；
当时，设，，，
则，则直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
3. 已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 （ ）
A. 两个图形关于x轴对称
B. 两个图形关于y轴对称
C. 两个图形重合
D. 两个图形不关于任何一条直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可选出答案．
【详解】解：∵将图形A上的所有点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，
∴横坐标变为相反数，纵坐标不变，
∴得到的图形B与A关于y轴对称，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是熟记变化规律．
4. 已知点和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线对称，则平面内点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标即可解答．
【详解】解：设点B的横坐标为x，
∵点与点B关于直线对称，
∴，解得，
∵点A、B关于直线对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．
5. 已知正比例函数的图象如图所示，则的值可能是( )
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限得出的取值范围，进而可而得出结论．
【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
可以等于．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
6. 若一次函数的图象不经过第二象限，则k的值可以是（ ）
A. 4B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，求出的取值范围，即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，
∴；
∴k的值可以是0；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7. 一次函数，为常数，且与一次函数关于轴对称，则一次函数的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数解析式得出与轴的交点为，与轴的交点为，根据轴对称的性质得出经过点，，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：一次函数，
当时，，即一次函数与轴的交点为
当时，，即一次函数与轴的交点为
∵关于轴对称的点为，
则经过点，，
∴设该一次函数的图象关于轴对称的解析式为，
∴
解得：
∴一次函数的表达式为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，在直角坐标系中，直角三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．那么点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由矩形和折叠可知，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键．
9. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征解答即可.
【详解】由图像可知，点（-1，-2）在一次函数的图象上，
∴当x=-1时，y=-2，
∴关于的方程的解为x=-1.
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图形上点的坐标满足一次函数解析式．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于两点，一束光从点发出，射向轴上的点，经点反射后经过上一点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在上方取点，使，过作轴交延长线于，证明，可求出，直线函数表达式为，联立解析式，即可求解．
【详解】解：在上方取点，使，过作轴交延长线于，如图：
由反射定律可得，，
．，
，
，
，
由，得直线函数表达式为，
解得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据反射定律，构造三角形全等解决问题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 比较大小：________．
【答案】＞
【解析】
【分析】先把根号外面的数移到根号里面，再比较被开方数的大小．
详解】解：，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．
12. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第四象限点坐标的特征解答即可．
【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为
，
点在第四象限
，
,
故答案为：．
【点睛】本题考考了直角坐标系中点的坐标，掌握每个象限点坐标的特征和横坐标、纵坐标的意义是解答本题的关键．
13. 在函数中，自变量的取值范围是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不为0，且二次根式内式子非负计算可得．
【详解】∵函数要有意义
则2x+1＞0
解得：
故答案为；
【点睛】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注2个点：分母不为0，二次根式内的式子必须非负．
14. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数经过的象限得到，求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴图象经过第一，三，四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质：时图象经过一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过一，二，四象限；时经过二，三，四象限，熟记一次函数的性质是解题的关键．
15. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______．
【答案】10
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，
A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
16. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是边AC上的动点(不与点A、C重合)，连接DE，将ADE沿直线DE翻折，得到，当AE的长为__________时，和ABC的一边平行．
【答案】或
【解析】
【分析】根据和两种情况，利用相似三角形或等腰三角形的性质，求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：
当时，设交于点，则
∴
∵点D是AB的中点，可知为的中点，即
设，则，
∵，
∴
∴，即，解得，即
当时，，
又∵
∴
∴
综上可知，或
故答案为或
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）解方程：
（4）解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据有理数平方，立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）根据立方根的定义解方程，即可求解；
（4）根据平方根的定义解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
∴
∴
解得：
【小问4详解】
解：
∴
∴
解得：或
【点睛】本题考查了实数的混合运算，立方根，平方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
18. 设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将的数值直接代入计算即可；
（2）将拆分组合成完全平方公式，然后代入数值即可．
【小问1详解】
解：




【小问2详解】
解：
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，熟记运算法则是解题关键．
19. 已知：

（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）作出关于轴对称的图形
（3）求的面积：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标描出点，然后顺次连接即可求解；
（2）根据轴对称性质，找到的对应点，，然后顺次连接，即可求解；
（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：
【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20. 如图，在四边形中，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接AC，由于，利用勾股定理可求，并可求，而，可得，可证是直角三角形，于是有，从而求得；
（2）根据四边形的面积为和面积之和，利用三角形面积公式计算即可得答案．
【小问1详解】
连接AC，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【小问2详解】
在中，，
在中，．
∴．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
21. 联通公司手机话费收费有套餐（月租费元，通话费每分钟元）和套餐（月租费元，通话费每分钟元）两种．设套餐每月话费为（元），套餐每月话费为（元），月通话时间为分钟．
（1）分别表示出与，与的函数关系式．
（2）套餐的用户这个月的通话时间为分钟，他应缴费多少元？如果该手机用户本月缴费元，求他本月的通话时间？
（3）月通话时间为多长时，、两种套餐收费一样？
【答案】（1），
（2）通话时间为分钟，他应缴费元；本月缴费元，他本月的通话时间为分钟
（3）月通话时间为分钟时，、两种套餐收费一样
【解析】
【分析】（1）根据费用等于月租与通话费的和即可求解；
（2）通话时间，代入（1）中的表达式即可求解；
（3）令，解一元一次方程即可．
【小问1详解】
解：套餐，月租费元，通话费每分钟元，
∴，
套餐，月租费元，通话费每分钟元，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴当时，（元），
∴通话时间为分钟，他应缴费元；
当时，，解得，，
∴本月缴费元，他本月的通话时间为分钟．
【小问3详解】
解：、两种套餐收费一样，即，
∴，解得，，
∴月通话时间为分钟时，、两种套餐收费一样．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一次函数中自变量，函数值的计算方法，一元一次方程的求解方法是解题的关键．
22. A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：

（1）分别求出与之间的函数解析式；
（2）求出点的坐标；
（3）在乙行驶过程中，当为何值时，甲乙相距千米．
【答案】（1），
（2）点的坐标
（3）当为或时，甲乙相距20千米
【解析】
【分析】（1）根据甲的图象经过和，乙的图象经过和，利用待定系数法分别求解即可；
（2）联立解析式，解二元一次方程组即可得答案；
（3）分乙在甲后面千米和乙在甲前面千米两种情况，根据解析式，列一元一次方程求解即可得答案．
【小问1详解】
（1）∵甲的图象经过，
∴设与之间的函数解析式为，
∵甲的图象经过，
∴，
解得：，
∴与之间的函数解析式为，
设与之间的函数解析式为，
∵乙的图象经过和，
∴，
解得：，
∴与之间的函数解析式为．
【小问2详解】
联立解析式得：，
解得：，
∴点的坐标．
【小问3详解】
当乙在甲后面千米时，，
解得：，
当乙在甲前面千米时，，
解得：，
∴当为或时，甲乙相距20千米．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到待定系数法求一次函数解析式，求直线交点坐标等知识点，读懂题意，从所给图象中找到相关信息是解题的关键．
23. 如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．与直线y＝x相交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(2,3)
（2）(0,)
（3）存在，(,)或(,﹣)
【解析】
【分析】（1）联立方程组，即可求得；
（2）设P点坐标是(0，y)，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据列出关于y的方程解方程求得即可．
【小问1详解】
解：联立方程组得：，
解得：，
∴A点坐标是(2,3)；
【小问2详解】
解：设P点坐标是(0，y)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP＝PA，
∴，
解得y＝，
∴P点坐标是(0,)，
故答案为(0,)；
【小问3详解】
解：存在；
∵直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．
∴C(,0)，B(0,7)，
∴＝＜6，＝×7×2＝7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，
设点Q的坐标是(x，y)，
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x，
∴＝7﹣6＝1，
∴OB•QD＝1，即×7x＝1，
∴x＝，
把x＝代入y＝﹣2x+7，得y＝，
∴Q的坐标是(,)，
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y，
∴＝6﹣＝，
∴OC•QD＝，即××(﹣y)＝，
∴y＝﹣，把y＝﹣代入y＝﹣2x+7，解得x＝，
∴Q的坐标是(，﹣)，
综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为(，)或(，﹣)．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
24. （1）模型建立：如图1，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除）；
（2）模型应用：如图2，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线的表达式；
（3）探究提升：如图3，在平面直角坐标系中，，点B在y轴上运动，将绕点A顺时针旋转至，连接，求的最小值，及此时点B坐标．
【答案】（1）；（2）点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；（3），
【解析】
【分析】（1）只需要利用证明，得到即可得到结论；
（2）以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．先求出．证明，得到，则，即可求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为；当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，同理可求： ，出直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得到，则点C在直线上运动，作点O关于直线的对称点H，连接，则，故当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，则的最小值为，求出直线的解析式为，进而求出，得到，则．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图所示，以点A为直角顶点时，如图，过点C作于点D．
在中，当时，；当时，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为；
当以点B为直角顶点时，过点C作于点D．如图，
同理可求：，
∴，
∴．
同理可求出直线的解析式为；
综上所述，点C的坐标为，直线的解析式为或点C的坐标为，直线的解析式为；
（3）如图所示，取，，连接，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在直线上运动，
作点O关于直线的对称点H，连接，则，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，此时点C运动到点G，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．