上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了填空，选择，解答等内容，欢迎下载使用。
1．复数z满足，则________．
2．等比数列中，若，则________．
3．已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”）
4．以下各项属于公理的是________．
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；
④平行于同一条直线的两条直线平行；
⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．
5．设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和_________．
6．水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________．
7．已知在上的投影向量的坐标为________．
8．空间四边形ABCD，，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成的角，则________．
9．已知数列满足，则________．
10．在中，，则面积为________．
11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是________．
12．已知异面直线a、b所成角为，直线AB与a、b均垂直，且垂足分别是点A、B，若动点．，则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是________．
二、选择（3*4）
13．下列说法正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一直线的两个平面平行
14．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．D．
15．如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，设P为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）个
A．4B．6C．10D．14
三、解答（8+8+10+12+14）
17．已知．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
18．如图，在长方体中，E、F分别是和的中点．
（1）证明：E、F、D、B四点共面；
（2）证明：BE、DF、三线共点．
19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．
（1）求几何体下半部分圆柱的体积；
（2）如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求．
20．如图，四边形ABCD是矩形，平面．点F为线段BE的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求AC和平面ABE所成角的正弦值．
21．已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求二面角；
（3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，真线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置．
参考答案
一、填空题
1．1； 2．4； 3．既非充分也非必要； 4．①②④； 5．2026； 6．； 7．；
8．4或 9．； 10．； 11． 12．
11．【答案】
【解析】如图将下方几何体沿．展开，如图所示，
由平面与圆柱侧面展开图中对应的函数表达式为
周期，即圆柱底面圆的周长为面圆的半径，
底面圆的直径，又由函数表达式为，
可得，又易知平面与圆柱底面所形成的二面角为，
在中，，
故平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值为．
故答案为：．
12．【答案】
【解析】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内，在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为，设在平面的投影为，设在平面内的投影为，则为的中点，所以，
因为，所以，
在直线上分别取点四点，使得，
因为，所以，
过作交于，则，所以的中点在上，
同理可得在上，所以的轨迹是矩形，
因为，
所以
故答案为：．
二、选择题
13．D 14．D 15．D 16．C
15．【答案】D
【解析】如图，四面体中，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，
点是的终点，设，则
设平面的法向量，
则，取，得，
直线AB与平面所成角的正切值为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得，（，舍），
平面的法向量
点到平面的距离为：．故选：D．
16．【答案】C
【解析】符合条件的点有两类：
（1）6条棱的中点；
（2）4个面的中心．共10个点．
故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有．故选：C．
三．解答题
17．（1） （2）
18．（1）证明略 （2）证明略
19．（1）15． （2）满足
20．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）证明：如图，由平面，可得，又由，
而平面平面，故平面；
（2）证明：连结交于，连结，由点为线段的中点，
可得，而平面平面，故平面；
（3）由（1）知，平面即为和平面所成的角．
由已知，，在直角三角形中，可得．
即和平面所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）见解析 （2）
（3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为．
【解析】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点，
所以平面，又平面，所以，因为四边形为菱形，
所以，因为平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）过作于，连接，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，由题意知，是边长为2的等边三角形，
所以，由，知，
在中，，即，
所以二面角的大小为．
（3）因为，且平面平面，所以平面，
所以到平面的距离即为到平面的距离，因为，
所以，即，
所以，即到平面的距离为，设直线与平面所成的角为，则，
要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，，
所以，即，
故当点在线段上靠近点的处时，
直线与平面所成的角最大，最大角为．