2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题03利用导函数研究函数的单调性问题(含参讨论问题)练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题03利用导函数研究函数的单调性问题(含参讨论问题)练习(学生版+解析)，共24页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8621" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc8621 \h 1
\l "_Tc26335" 二、典型题型 PAGEREF _Tc26335 \h 2
\l "_Tc4046" 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） PAGEREF _Tc4046 \h 2
\l "_Tc4909" 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 PAGEREF _Tc4909 \h 4
\l "_Tc30073" 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 PAGEREF _Tc30073 \h 5
\l "_Tc5258" 三、专项训练 PAGEREF _Tc5258 \h 6
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①令，确定其零点，并在轴上标出
②观察的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点
②观察的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对，求
②分类讨论
③对于，利用求根公式求的两根，
④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
2．（2024·辽宁·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；
(2)当时，求的单调区间．
4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的定义域为，其中为自然对数底数
(1)讨论函数的单调性；
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)试讨论的单调性；
4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知．求的单调区间；
8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性.
9．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性．
10．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)当时，讨论的单调性．
专题03 利用导函数研究函数的单调性问题
（含参讨论问题）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30897" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc30897 \h 1
\l "_Tc10482" 二、典型题型 PAGEREF _Tc10482 \h 2
\l "_Tc19756" 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） PAGEREF _Tc19756 \h 2
\l "_Tc12350" 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 PAGEREF _Tc12350 \h 5
\l "_Tc16120" 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 PAGEREF _Tc16120 \h 8
\l "_Tc13676" 三、专项训练 PAGEREF _Tc13676 \h 11
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①令，确定其零点，并在轴上标出
②观察的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分的图象辅助解题：
①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点
②观察的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对，求
②分类讨论
③对于，利用求根公式求的两根，
④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当时，
则，所以，
因为，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，则当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）的定义域为，．
若，则，在上单调递减：
若，则由得，当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增；
故当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，的值，即可求得结果；
（2）求得，对参数分类讨论，利用导数研究的根的大小，结合与函数单调性的关系，即可求得函数单调性.
【详解】（1）当时，，，，，
故在处的切线方程为：，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且 ，
（ⅰ）若，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）若，令，则或，
①当，即，则在上恒成立，
当，则；当，则；
可知在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，则在上恒成立，
可知在上单调递增；
④当，即时，
当或，则；当，则；
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递减，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若时，在上单调递增，在上单调递减.
2．（2024·辽宁·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，根据的不同范围，分别求出函数的单调性；
【详解】（1），
①当时，令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
②当时，令，解得或，
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增；
③当时，令，解得或，
i)当时，即时，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
ii)当时，即时，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
iii)当时，即时，，在上单调递增；
综上所述，当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增， 在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和时单调递增；在单调递减．
3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；
(2)当时，求的单调区间．
【答案】(1)最大值为9，最小值为；
(2)单调递减区间是，单调递增区间是.
【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值.
（2）求导可得，按确定的零点大小求出单调区间.
【详解】（1）当时，函数，求导得，
由，得；由，得或，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以在上的最大值为9，最小值为.
（2）函数的定义域为R，求导得，
令，解得或，
当时，，则；，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的定义域为，其中为自然对数底数
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，
①当时，则在内恒成立，
可知，则在上单调递增；
②当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，结合二次函数的性质求出函数的单调区间；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，
所以关于的方程异号的两个实数根，解得或，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）讨论的正负，从而根据导数的正负判断函数的单调性即可；
【详解】（1）因为，
所以，
当时，，
故恒成立，所以；
当时，令，
解得（舍去负根），
令，得，此时单调递增；
令，得，此时单调递减．
综上所述：当时，在上单调递减;
当时，在上单调递减，在上单调递增．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)试讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导数，分类讨论，根据导数的符号判断单调性；
【详解】（1）.
当时，，则在上单调递减．
当时，令，得 (负值舍去)，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）结合二次函数的性质，对分类讨论计算即可得.
【详解】（1）时，，
，
所求切线方程为，整理得：；
（2），
因为，故时，在上单调递增，
当时，对于，
若，则，此时在上单调递增，
若，令，得，
时，单调递增；
时，单调递增；
时，单调递减；
综上所述：时，在上单调递增；
时，在、上单调递增，
在上单调递减.
三、专项训练
1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可；
【详解】（1）由，知.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，对有，
对有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
（2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得，分、、、讨论可得答案.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，
得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
4．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，,讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导后，将导函数中含参数的二次函数的分子取为，结合其图象，对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数单调性.
【详解】由题得，其中，
令，，其图象对称轴为直线， ．
①若，则，此时，则，所以在上单调递增；
②若，则，
此时在R上有两个根，，且，
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可.
【详解】依题意，
若，则，当时，当时.
若，令，，令，解得或.
若，则；若，则；
若且，令，得，.
若，则，
当时，当时，当时；
若，则，
当时，当时，当时.
综上所述：时在R上单调递增；
时在和上单调递增，在上单调递减；
时在上单调递减，在上单调递增；
时在和上单调递减，在上单调递增；
时在R上单调递减；
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
【详解】
的定义域为，，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知．求的单调区间；
上为减函数；
时，函数在上为减函数，在上为增函数.
9．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，讨论，研究导数符号确定区间单调性.
【详解】由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
10．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)当时，讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由，得到方程，求出，并进行检验；
（2）求定义域，求导，分，与三种情况，求出函数的单调性.
【详解】（1），
由题意，，
解得，
当时，，定义域为，
，令，解得，
令，解得，故为的极值点，
满足题意，故
（2）定义域为，
，，
①时，，
令，解得或，令，解得，
函数在，内单调递增，在内单调递减；
②当时，，故函数在上单调递增；
③当时，，令，解得或，令，解得，
故在，内单调递增，在内单调递减．
综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，内单调递增，在内单调递减．