2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题08利用二阶导函数解决导数问题练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题08利用二阶导函数解决导数问题练习(学生版+解析)，共20页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22709" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc22709 \h 1
\l "_Tc30991" 二、典型题型 PAGEREF _Tc30991 \h 1
\l "_Tc19029" 三、专项训练 PAGEREF _Tc19029 \h 3
一、必备秘籍
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数.
(1)求在的单调区间：
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
3．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
4．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
5．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数，，其中.
(1)求证：对任意的，总有恒成立；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，求证：函数在区间上存在极值.
三、专项训练
1．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数零点的个数；
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：在定义域内恒成立．
6．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
8．（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
专题08 利用二阶导函数解决导数问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21276" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc21276 \h 1
\l "_Tc29593" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29593 \h 1
\l "_Tc25592" 三、专项训练 PAGEREF _Tc25592 \h 8
一、必备秘籍
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
二、典型题型
1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数.
(1)求在的单调区间：
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）求导得，结合余弦函数性质求函数的单调区间；
（2）由题知对于任意的恒成立，进而分和两种情况讨论即可得解.
【详解】（1）因为，则，
且，则，
当，即，；
当，即，；
所以的递增区间为，递减区间为；
（2）因为对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，则，可知；
当时，，
构建，则，
构建，
则在上恒成立，
可知在上单调递减，则，
即在上恒成立
可知在上单调递减，则，
可得.
综上所述：实数的取值范围为.
2．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，当时，．
3．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值；
（3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明.
【详解】（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为，
当时，，得，
在区间小于0，函数单调递减，
在区间大于0，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
，，显然，所以函数的最大值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，函数的最小值为，最大值为；
（3）当时，，即证明不等式，
设，，，
设，，，
所以在单调递增，并且，，
所以函数在上存在唯一零点，使，
即，则在区间，，单调递减，
在区间，，单调递增，
所以的最小值为，
由，得，且，
所以，
所以，即.
4．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到且，利用导数求出的范围，即可求出的范围.
【详解】（1）当时定义域为，
且，
令，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）函数定义域为，
依题意在上恒成立，
设，，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
且当时，当时，
所以使得，即，
所以，
则当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
所以
，
令，则且，
所以为增函数，
由，所以，
又与均为减函数，所以在上单调递减，
所以当时，
所以实数的取值范围为.
5．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数，，其中.
(1)求证：对任意的，总有恒成立；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，求证：函数在区间上存在极值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意可得对任意的恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论得到在上的单调性，再结合所给区间，分3种情况讨论函数的最小值；
（3）利用导数说明导函数的单调性，以及隐零点的思想证明即可.
【详解】（1）依题意对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
即对任意的恒成立；
（2）因为，则，
①当时，所以在上单调递增，
当时；
②当则时，时，
即在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以当时在上单调递增，所以；
当时在上单调递减，所以；
当，则；
综上可得.
（3）因为，，
则，
令，则，
因为，所以恒成立，
所以即在上单调递增，
又，当时，，所以，
所以使得，
则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以在处取得极小值，
即函数在区间上存在极值.
三、专项训练
1．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数零点的个数；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出，再利用直线的点斜式方程，即可求出结果；
（2）令，可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的取值范围，再数形结合，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，则，
所以，又，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
（2）因为函数，
令，可得，设，
则，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，，
且时，，时，，图象如图所示，
所以当时，函数与函数无交点；
当时，函数与函数有且仅有一个交点；
当时，函数与函数有两个交点；
当时，函数与函数有且仅有一个交点；
综上所述，当时，函数无零点；
当或时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数有两个零点.
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)令，求在处的切线的方程，并证明的图象在直线的上方．
【答案】(1)增区间是和的减区间是
(2)，证明见解析
【分析】（1）对函数求导并根据导函数符号可得其单调区间；
（2）利用导函数的几何意义可求得切线的方程，构造函数，求出其最值可证明恒成立即可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
则
当或时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以的增区间是和的减区间是．
（2）由（1）知，
则，
又，，
所以在处的切线方程为.
令，
则
令可得
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以当时，取得最小值，
当趋近于时，趋近于，又；
故当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
因此当时，取得最小值，
即恒成立，所以恒成立，
所以的图象在直线的上方．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对进行分类讨论求解导函数的正负求解，
（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数，将问题转化为函数的最值问题进行求解.
【详解】（1）由题知的定义域为，．
①当时，，则，故单调递增．
②当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，，且，即．
令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．
由题可得在上恒成立．
令，
则，
令，则，可得在上单调递减，
又，
故存在，使得，即，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
易知，
由于，故，
因此，故，即的取值范围为．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，求的取值范围.
【答案】
【分析】分离参数，分两种情况分析，当时，利用导数求出函数的最大值，即可得解.
【详解】由，得，其中.
①当时，不等式为，显然成立，符合题意．
②当时，得.
记，则，
令，
则，令，则，
故单调递增，，
故函数单调递增，.
由得恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
因此，.
综上可得，实数的取值范围为.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：在定义域内恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理先判定时符合题意，再适当放缩即可证明.
【详解】（1）当时，，
，
当时，曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题知，函数的定义域为，
当时，设，
则．
令，则对任意恒成立，
在上单调递减，又，
，使得，即，则．
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
，即．
又，
，
当时，在定义域内恒成立．
6．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
即，，恒成立，所以，，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以.
8．（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可.
【详解】（1）当时，，
令，
显然时，，则在上单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以；
（2）由，
令，
设，则，所以在上单调递增，
即，
若，则，即，
所以在上单调递增，则，
所以当时，在上单调递增.
0
单调递减
极小值
单调递增