2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共35页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14368" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14368 \h 1
\l "_Tc252" 二、典型题型 PAGEREF _Tc252 \h 2
\l "_Tc10002" 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 PAGEREF _Tc10002 \h 2
\l "_Tc16576" 题型二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc16576 \h 4
\l "_Tc26133" 题型三：根据零点（根）的个数求参数 PAGEREF _Tc26133 \h 5
\l "_Tc7268" 三、专项训练 PAGEREF _Tc7268 \h 7
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）．
(1)证明：当时，；
(2)讨论函数在上的零点个数．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，．
(1)求的值;
(2)求在上的零点个数．
3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）给定函数.
(1)求的极值;
(2)讨论解的个数.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.
4．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)当的图象与轴相切时，求实数的值；
(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围．
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，，为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数能否有3个零点？若能，试求出的取值范围；若不能，请说明理由.
5．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数，当时，函数有极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，方程有两个解，求参数的取值范围.
7．（23-24高二下·浙江·期中）设
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
9．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数在处取得极值．
(1)确定的值并求的单调区间；
(2)若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．
10．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.
专题07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14368" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc14368 \h 1
\l "_Tc252" 二、典型题型 PAGEREF _Tc252 \h 2
\l "_Tc10002" 题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题 PAGEREF _Tc10002 \h 2
\l "_Tc16576" 题型二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc16576 \h 7
\l "_Tc26133" 题型三：根据零点（根）的个数求参数 PAGEREF _Tc26133 \h 11
\l "_Tc7268" 三、专项训练 PAGEREF _Tc7268 \h 18
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2024·广东梅州·二模）已知函数，，（）．
(1)证明：当时，；
(2)讨论函数在上的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点．
【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明；
（2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）证明，令，
则，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减：在上单调递增，
从而在上，，
所以在上单调递增，
因此在上，，即；
（2），，
，在上，，
所以，在上递增，，即函数在上无零点；
，记，
则，在上递增，
而，
故存在，使，
当时，递减，时，递增，，
而，，
在上无零点，在,上有唯一零点，
综上，当时，在上没有零点：
当时，在上有且仅有1个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数，．
(1)求的值;
(2)求在上的零点个数．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）求导，利用可解；
（2）设，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.
【详解】（1）由
则
又，所以即；
（2）由（1）可知
设
则，
则当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
又，，
所以在上无零点，在上有一个零点；
从而在上有1个零点.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩．
3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分和导函数的正负来求原函数的单调性即可；
（2）零点问题即方程根个数问题，首先讨论特殊情况即当时根的情况；再讨论当时，构造函数，求导后分、、时讨论的单调性和极值情况，然后函数与函数图像交点的情况即可得到结果.
【详解】（1），
分当时，恒成立，在上单调递减．
当时，令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，
当时，方程不成立，0不是的零点，
当时，，令，则
当时，，在上单调递减，且．
当时，，在上单调递减，，
，，
当时，，在上单调递增，
即，
当时，直线与函数有两个交点，函数有两个零点，
当时，直线与函数有一个交点，函数有一个零点，
当时，直线与函数没有交点，函数没有零点，
当时，直线与函数有一个交点，函数有一个零点
综上所述，当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数没有零点.
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解；
（2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论.
【详解】（1）函数的定义域为R，且，
当时恒成立，所以在R上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在R上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），则，令，即，
令，则，
令，则，
所以当时，则单调递减，且，
当时，则单调递增，
又，，故当时，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点.
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）给定函数.
(1)求的极值;
(2)讨论解的个数.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)答案见解析
【分析】（1）对原函数求导数，并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性，从而求得极值；
（2）根据（1）中的单调性与极值讨论函数的图像与水平线的图象交点个数即可.
【详解】（1）∵
∴，
令得，
令得，
∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值为，无极大值.
（2）由（1）知函数在区间上单调递减，且当时，；
当时，取得极小值为，
从而得知，当时，图象恒在轴下方，
且当时，，即以轴为渐近线，
∴当时，方程有一个解；
当时，方程有一个解；当时，方程有0个解；
当时，两图象有两个交点，方程有两根.
综上，当或时，方程有一个解；
当时，方程有两个解，当时，方程解的个数为0.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，则，
又，
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，分和讨论的单调性，并保证在内有唯一零点即可；
（2）利用导数确定在区间上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）由题意可得，当时，，
①当时，在上单调递增，没有极值点，不合题意；
②当时，令，则在上，
所以在上单调递减，
因为，且连续不间断，
所以，解得，
由零点存在定理，此时在内有唯一零点，
所以当时，；当时，，
所以在内有唯一极大值点，符合题意，
综上，实数的取值范围为.
（2）由（1）知，当时，，
所以在上， 在上单调递减，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
又因为，所以在内无零点，
当时，因为，，且连续不间断，
所以由零点存在定理，在内有唯一零点，即在内有唯一零点.
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.
【详解】证明：函数的定义域为，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递减增，
时，，，，
函数恰有一个零点.
函数的定义域为，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
时，，，
令（表示中最大的数），，
函数恰有一个零点.
4．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【分析】（1）易判断单调递增，令，即可得，令即可求；
（2）由导数判断单调递增，即可得证.
【详解】（1）由易判断在单调递增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由题意，即，
所以；
（2），则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，
结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可；
（2）先求导函数，分类讨论求单调性即可；
（3）结合（2）的结论先得，再利用其最小值小于零结合的单调性计算得，根据零点存在性定理验证即可.
【详解】（1）由知，易知其R上单调递减，
所以时，有，得证；
（2）易知，
显然时，，此时函数在R上单调递减；
若，则时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增；
综上：时，在R上单调递减；时，在上单调递减，
在上单调递增；
（3）由上可知时，在R上单调递减，不存在两个零点，
所以，即，
令
要满足题意需，
易知在上单调递增，且
所以，
取，则，
取，则，
令，
则时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，即，
即，
则在及上分别有两个零点，显然符合题意，
故.
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值；
(2)结合（1）可知，只需求解计算即可得出结果．
【详解】（1）,
当时，即，则，
当时，即，则，
即当时，，函数单调递减，当时，为增，
在处取最小值，∴.
（2）由（1）可知，，
由有两个零点，
时，，时，，
所以，，即，解得：.
∴的取值范围为.
3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数．
(1)当的图象与轴相切时，求实数的值；
(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设切点为，再根据导数的几何意义列出方程组，即可得解；
（2）关于的方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，即函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用导数求出其单调区间及极值，作出大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）由题意设切点为，
，
则，解得，
所以；
（2）函数的定义域为，
关于的方程有两个不同的实数根，
即方程有两个不同的实数根，
即函数的图象有两个不同的交点，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，
所以.
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数，，为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数能否有3个零点？若能，试求出的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不能有3个零点，利用见解析
【分析】（1）求导得，即可根据的分类，确定的正负，即可求解单调性，
（2）根据函数的单调性可得必有或，结合函数的极值，即可求解.
【详解】（1）由，
所以，
当时，，令，则，此时单调递增，
令，则，此时单调递减，
当时，令，则或，此时单调递增，
令，则，此时单调递减，
当时，令，则或，此时单调递增，
令，则，此时单调递减，
当时，令恒成立，此时在单调递增，
综上可得：当时，在单调递增，在单调递减，
当时，在，单调递增，在单调递减，
当时， 在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减，
（2）若有3个零点，则由（1）知必有或，
若，则在处取极大值，在处取极小值，
，
令，则，
令则，
故在单调递增，，故在单调递减，
当时，，故，
因此在上恒成立，故不可能有3个零点，
若，则在处取极小值，在处取极大值，
且，故不可能有3个零点，
综上可得不可能有3个零点，
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数，当时，函数有极值．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程；
（2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】（1），
由题意得，
解得，
所以，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）得，
令，解得或，
所以
所以，当时，有极大值；当时，有极小值，
所以得图像大致如下：
若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点，
所以.
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由，可得为的一个根，
所以有两个不同于的实根，令，利用导数说明函数的单调性，从而得到当时且，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
则，令得或
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于的实根，
令，则，
①当时，，故在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，；
所以若要满足题意，只需且，
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
令，则，解得，
令，则，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则.
令，其中，
则.
令，解得，令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为，
.
又，函数在上有两个零点，
的取值范围是.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，0，
所以，．
由零点存在定理可得使得，使得，
所以函数有两个零点．
3．（2024·福建·模拟预测）已知函数在处的切线在轴上的截距为．
(1)求的值；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助函数与方程的关系，可将有且仅有两个零点转化为方程有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.
【详解】（1），，，
则函数在处的切线为：，
即，令，则有，即；
（2）由，即，
若有且仅有两个零点，则方程有两个根，
即方程有两个根，
令，则，
则当时，，则当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又时，，时，，
故当时，方程有两个根，即有且仅有两个零点.
4．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数，曲线在点处切线斜率为
(1)求的值；
(2)求证：有且只有一个极值点；
(3)求证：方程无解．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出的值.
（2）由（1）的结论，探讨导数的零点，结合函数的单调性推理即得.
（3）根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性，再分析判断函数值情况得证.
【详解】（1）函数，求导得，
由曲线在点处切线斜率为，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，函数的定义域为，在上单调递减，
而，，则存在，使得，
当时，，当时，，因此函数在上递增，在上递减，
所以函数有且只有一个极值点.
（3）令函数，求导得，
当时，，则单调递减，
且，由（2）可得在上单调递减，
当时，，因此当时，，即在上单调递减，
又当时，，则，
当时，，因此当时，，
从而时，恒成立，
所以函数无零点，即方程无解．
5．（2024·辽宁·二模）已知函数．
(1)求曲线的平行于x轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线与x轴恰有两个交点．
【答案】(1)，
(2)证明见详解
【分析】（1）根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导函数，再令，求出，即可求出切点坐标；
（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得结果.
【详解】（1）因为，
所以
，
即，
依题意若曲线的切线平行于x轴，则切线的斜率为，
令，即，解得或，
又，，即切点坐标为，.
（2）由（1）可知时或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又有，，
而对于函数，当时，，且，
所以当时，恒成立，
且当时，，
所以只存在 ，使得；存在 ，使得，
即曲线与x轴恰有两个交点．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，方程有两个解，求参数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）求出函数定义域并求导，研究单调性即可.
（2）研究函数当时的单调性及最值并结合图像求出的取值范围.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，.
令，得.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，，则，函数的定义域为，
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以当时，取得最小值，为.
又当时，，
画出的大致图象，如图：
因为方程有两个解，
所以，即.
7．（23-24高二下·浙江·期中）设
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数小于0的不等式即得.
（2）求出函数的极小、极大值，再利用三次函数的图象与性质求出a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
由，得，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由（1）知，当时，或，因此函数在上单调递增，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
显然当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以方程有3个不同的实根，a的取值范围是.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的最小值求参数即可；
（2）转化为在上有解，根据图象特征即可证明；
【详解】（1）由已知得，则.
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
（2）要证在上有解，即证在上有解，
即证在上有解.
令，则.
设，则.
当时，；当时，.
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若方程至多有两个根，即与至多有2个交点，

如图，即或.
10．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)函数的单调增区间为和，减区间为上和，极大值为，极小值为.
(2)
【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式得单调区间，再利用极值概念求解即可；
（2）把方程有两个不同的解转化为与的图象有两个不同的交点，结合函数的零点及单调性作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】（1）易知函数的定义域为，，
令得或，令得或，
令得或，
所以函数在和上单调递增，在上和上单调递减，
所以时函数有极大值为，时函数有极小值为.
（2）显然不是方程的解，所以方程有两个不同的实数解
等价于有两个不同的实数解，即与的图象有两个不同的交点，
令得，，，当趋向于负无穷大时，趋向于0.
结合（1）中函数的单调性，作出函数的图象：
由图可知，与的图象有两个不同的交点时，或，
所以实数a的取值范围.
0
0
递增
递减
递增