2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题05利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题05利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了必备秘籍，典型题型，专项训练，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
二、典型题型
1．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若对任意，有恒成立，求的取值范围．
3．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
4．（2024·山西长治·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数.
(1)求时，在处的切线方程；
(2)讨论在上的最值情况；
(3)恒成立，求实数的取值范围.
三、专项训练
一、单选题
1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·广西·模拟预测）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ．
四、解答题
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
15．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
16．（2024·山西长治·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
专题05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
二、典型题型
1．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到，根据，得出，从而得解.
【详解】，即，
设，
则，令得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，即，
则，当且仅当时，取等号，
又易知单调递增，，，
所以在上存在唯一零点，故，
又恒成立，则.
故答案为：．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若对任意，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的单调递减区间为：；递增区间为：，
的极大值为，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当时，，
则，，，
所以切线方程为．
（2）当时，，．
令，，
故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点
即：0是在R上的唯一零点
当x变化时，，的变化情况如下表：
的单调递减区间为：；递增区间为：
的极大值为，无极小值
（3）由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以
3．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到且，利用导数求出的范围，即可求出的范围.
【详解】（1）当时定义域为，
且，
令，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）函数定义域为，
依题意在上恒成立，
设，，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
且当时，当时，
所以使得，即，
所以，
则当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
所以
，
令，则且，
所以为增函数，
由，所以，
又与均为减函数，所以在上单调递减，
所以当时，
所以实数的取值范围为.
4．（2024·山西长治·一模）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）当时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当时，不等式恒成立，当时，利用导数探讨存在实数使得得解.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
（2）函数的定义域为，
当时，，，则，
由（1）知，，，而，即有，
因此恒成立，此时；
当时，，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而恒成立，不等式不恒成立，
所以实数a的取值范围是.
5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；
（2）先将不等式变形，将条件转化为对恒成立，再通过导数研究的单调性即知的取值范围.
【详解】（1）当时，，
可得，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由条件知，即，即，即，
当时，不等式恒成立；
当时，我们有．
所以命题等价于对恒成立，
令，则：
，
而当时，，故，
当时，，故在区间上单调递增；
当时，，故在区间上单调递减，
所以．
综上所述，实数的取值范围为．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数.
(1)求时，在处的切线方程；
(2)讨论在上的最值情况；
(3)恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由已知，求出，再求出和，再由点斜式写出方程；
（2）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论在上的最值情况；
（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出，从而得到的参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
则，，
又当时，所以在处的切线方程为：.
（2）由得
①当，即时，在上单调递增，函数无最值；
②当，即时，由，
解得，
由得，
③当，即时，
，且时，时，，此时无最值；
④当，即时，
，且时，时，，所以有最小值，无最大值.
综上可知，当时，有最小值，无最大值；当时，无最值.
（3）由，，，
所以是在处的切线，
若，则当，且时

所以此时，所以存在x使得，不符合条件；
当时，
设
现证明，
得，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，，
当或时，，所以成立.
综上，实数的取值范围是.
三、专项训练
一、单选题
1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将原不等式变形为，令，根据题意和函数的单调性可知在上恒成立，进而得出结果.
【详解】依题意，，
则（*）．
令，则（*）式即为．
又在上恒成立，
故只需在上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，解得．
故选：D.
3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件转化为时单调递增，利用导数结合参数分离的方法求出a的取值范围．
【详解】对任意都有恒成立，不妨设，
则不等式变形为，
设函数，该函数在定义域的任意子区间内不是常函数，
则，在上单调递增，
所以在上恒成立，
，当时恒成立，
，当时恒成立，
，
故选：A
4．（2024·广西·模拟预测）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二次函数性质及不等式恒成立易得，当时对求导研究单调性求最小值，结合恒成立求参数范围即可.
【详解】当时，的开口向上且对称轴，
此时，要使恒成立，则，
当时，上，即递减，上，即递增；
所以，要使，则，即，故；
综上，的取值范围为．
故选：C
5．（2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（五））已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：利用导数研究函数的单调性，结合题意得，等价变形得，设，利用单调性得，求解值域即可得解；方法二：原不等式化为，利用反函数性质得，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解；方法三：原不等式化为，构造函数，利用导数研究函数单调性，即可转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解.
【详解】方法一：，显然在上单调递增，
故存在唯一的，使得，即，
且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
因此的最小值为，
则，即.
对两边取对数得，则，
代入得.
设，则，
所以在单调递减且，
可知不等式的解为，
因此.
又，则.
方法二：即，即，
而与互为反函数，
根据互为反函数的函数图象关于直线对称，问题转化为即可，
即恒成立.
设，则，
当时，，当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
故，即得.
方法三：
，
构造，则转化为.
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以有极小值，且，
则转化为，
即，设，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
故，即得.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式恒成立，且，
分离参数得，所以，即，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
所以.
故选：C.
7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将变形为，构造函数，可判断在上单调递减，进而利用导数求出的递减区间，列出不等式，即可得答案.
【详解】由题意知，且，
故，即，
故，令，则在上单调递减，
又，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，则，
即的最小值是，
故选：B
8．（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，有恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，
令，得，当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C．
二、多选题
9．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求得，得到函数的单调性，把转化为在上恒成立，结合二次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，且，则且，
所以不等式，
即为在上恒成立，
即在上恒成立，
设，当时，可得，
所以，解得，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，在其图象上任取两个不同的点，，总能使得，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】BCD
【分析】根据结合，可得出，可知函数在上为增函数，可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】由以及，，
所以，
构造函数，则，
所以函数在上为增函数，
由于，则对任意的恒成立，
由，可得，
当时，则，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此实数的取值范围是.
故A错误，BCD正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式在上恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式转化为，构造函数，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为，设，求导讨论单调性得最值，即可打求得的取值范围.
【详解】整理得，即，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
则由不等式即为恒成立，所以在上恒成立，
故，设，则，
当时，恒成立，在上单调递增，则，符合题意；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增，
则，解得；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
12．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到，根据，得出，从而得解.
【详解】，即，
设，
则，令得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，即，
则，当且仅当时，取等号，
又易知单调递增，，，
所以在上存在唯一零点，故，
又恒成立，则.
故答案为：．
13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数最小值，依题意，即可得到关于的不等式，解得即可．
【详解】∵的定义域为，
∴，
令，，
又易知在上单调递增，
又，，
∴，使得，
∴时，即单调递减；
当时，即单调递增；
∴的最小值为，
∵，∴，，
∴的最小值为，
又恒成立，
∴，∴，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，而，
由得，由得，因此函数在上递减，在递增，
又当时，恒成立，，因此函数在存在唯一零点，
所以函数的零点个数是1.
（2）由（1）知函数存在唯一零点，且，
①当时，，由得：，即，
设，求导得，
在上单减，则，解得；
②当时，由得：，即，
设，求导得，而，
则，在上单增，则，解得，
综上得的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．（2024·浙江丽水·二模）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到且，利用导数求出的范围，即可求出的范围.
【详解】（1）当时定义域为，
且，
令，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）函数定义域为，
依题意在上恒成立，
设，，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
且当时，当时，
所以使得，即，
所以，
当时，，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而恒成立，不等式不恒成立，
所以实数a的取值范围是.
17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)
【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；
（2）可借助，得到，在的情况下，借助，从而构造函数，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到对任意的恒成立，通过研究得解.
【详解】（1）当时，，其定义域为，
，
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）方法1：由条件可知，于是，解得．
当时，，
构造函数，，
，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可．
，
令，则，
所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是．x
0
0
极大值
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增