2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06利用导函数研究能成立(有解)问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06利用导函数研究能成立(有解)问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共38页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1575" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc1575 \h 1
\l "_Tc4158" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4158 \h 2
\l "_Tc5237" 题型一：单变量有解问题 PAGEREF _Tc5237 \h 2
\l "_Tc20879" 题型二：双变量不等式有解问题 PAGEREF _Tc20879 \h 3
\l "_Tc26991" 题型三：双变量等式有解问题 PAGEREF _Tc26991 \h 5
\l "_Tc28402" 三、专项训练 PAGEREF _Tc28402 \h 6
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2024·四川成都·一模）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，设函数，求证：有解.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
5．（2024·广东珠海·一模）已知函数．
（1）讨论的单调性﹔
（2）若存在，求的取值范围．
题型二：双变量不等式有解问题
1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
2．（2024·广西柳州·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
题型三：双变量等式有解问题
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
三、专项训练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在R上的值域；
(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，，
(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.
①函数在定义域为上为偶函数;
②函数在区间上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．
10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
12．（2023·青海西宁·二模）设函数．
(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．
13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围．
专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1575" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc1575 \h 1
\l "_Tc4158" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4158 \h 1
\l "_Tc5237" 题型一：单变量有解问题 PAGEREF _Tc5237 \h 1
\l "_Tc20879" 题型二：双变量不等式有解问题 PAGEREF _Tc20879 \h 6
\l "_Tc26991" 题型三：双变量等式有解问题 PAGEREF _Tc26991 \h 11
\l "_Tc28402" 三、专项训练 PAGEREF _Tc28402 \h 15
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2024·四川成都·一模）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，设函数，求证：有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）化简得出函数的解析式，利用可证得结论成立.
【详解】（1）解：当时，，则，
，则，
故当时，在处的切线方程为，即.
（2）证明：当时，，，
，
因为，故不等式有解.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；
（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．
【详解】（1），则．
因为函数在处取得极值4，
所以，解得
此时．
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，符合题意．故，．
（2）若存在，使成立，则．
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数在区间，上均单调递减
(2)
【分析】（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；
（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.
【详解】（1）解：的定义域为
因为，所以．
令，则，
所以函数在区间单增；在区间单减．
又因为，所以当时，
所以函数在区间，上均单调递减；
（2）解：
当，时，所求不等式可化为，
即，
易知，
由（1）知，在单调递减，
故只需在上能成立．
两边同取自然对数，得，即在上能成立．
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
所以，又，故的取值范围是．
5．（2024·广东珠海·一模）已知函数．
（1）讨论的单调性﹔
（2）若存在，求的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．
【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解；
(2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解.
【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，
当时，，则在上递增，
当时﹐由得，
由，得，由，得，
于是有在上递增，在上递减；
由，得，
，当时，，满足题意，
当时，令，，在上递增，则不合题意，
当时，由，得，由，得，
于是有在上递减，在上递增，，
则时，，
综上，的取值范围为．
【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3
(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；
（2）存在，使，转化为在区间上,即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，
∴，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2），令，
若，则，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当时，f（x）在上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为，
，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴g（x）单调递增，
∴在上的最小值为，
由题意可知，解得，
又∵，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
2．（2024·广西柳州·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
而，当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，
任意，存在，使等价于，恒成立，
则有，成立，令，
则，当时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，，
因此当时，最大值为，则，
所以实数的取值范围是.
3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；
（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.
【详解】（1）由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）由题知的定义域为，，
令，解得或，
因为所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增区间为，减区间为．
因为，所以函数在区间的最大值为，
函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是.
4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．
（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．
【详解】（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（Ⅲ）由已知，转化为， 且的对称轴所以 .
由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以当时，.
所以，即，因此，的取值范围是.
【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．
5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
题型三：双变量等式有解问题
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）当时，，
对称轴为，且，，
所以对任意的，.
时，是增函数，，
由得，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
当时，此时；
当时，，
因为，故，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
故；
综合得：；
（2）记，，
因为对，，使得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，在上单调递增，
所以，
故，
因为，
所以，即，
又，
故.
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决；
（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减
因为函数在区间上存在零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）记函数，的值域为集合，
，的值域为集合，
则对任意的，总存在，使得成立，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以当，
，，
得，
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，
因为，
所以，解得；
当时，的值域为，
因为，所以，解得，
综上，实数的取值范围为.
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；
（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.
【详解】（1）依题意，
，
设，，则.
令，.
由已知性质得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
又∵，，，
∴.
∴的值域为.
（2）为减函数，
故，.
由题意得，当时，的值域是的值域的子集，
∴解得.
【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.
三、专项训练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在R上的值域；
(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所选条件，利用函数的单调性和奇偶性求a，b的值；
（2）根据函数解析式，利用函数奇偶性结合基本不等式，求函数在R上的值域；
（3）由已知条件，分类讨论即可求解.
【详解】（1）选①函数在上的值域为，
，函数在上单调递增，可得，解得．
选②函数在定义域上为偶函数，
可得，解得.
所以.
（2），函数定义域为R，因 ， 则为奇函数．
当时，，由，当且仅当，即时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当时，；
所以的值域为 .
（3）若，使得成立，则有，即，
当时，，不合题意；
当时，在上单调递增，，解得；
当时，在上单调递减，，解得；
所以c的取值范围为.
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，，
(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，通过分类讨论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数的取值范围.
（2） 在为单调增函数，所以，由 对任意都恒成立，求解t的取值范围.
【详解】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，即，
函数 在上是增函数， ， ，
函数图像开口向上，对称轴为直线，
①当时，函数在上为增函数，， ，∴ ， 此时无解；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，， ， ， 此时无解；
③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，， ，解得 ；
④当时，函数在上为减函数，，，∴ ， 解得；
综上所述，实数a的取值范围是 .
（2）由题意知，对任意都恒成立，
由 在为单调增函数，所以，
即对都恒成立，
，解得，即t的取值范围为 .
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.
①函数在定义域为上为偶函数;
②函数在区间上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;
(2)
【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,
选②时,根据单调性,代入函数值可求出,
根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;
(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.
【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,
所以,所以,
且为偶函数,所以
故
所以,;
当选②时:因为单调递增,
在区间上的值域为,
所以
即 ,
解得,
综上:.
因为,
所以,
所以,
故,
所以是奇函数;
（2）解:由(1)知,,
当时,,当且仅当时成立,
所以,
即时,,
当,,
因为是奇函数,
所以即时,,
综上:,
记值域为集合,
,
,
记值域为集合,,
,,使得成立,
,
,
.
4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇偶性求得参数值，设，则函数的图象开口向上，
，从而得到实数的取值范围；
（2）对任意，总存在，使得成立等价于的值域是值域的子集.
【详解】（1）是上的奇函数，，即，又，．
即关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，
设，则函数的图象开口向上，
∴，即，∴实数的取值范围是；
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，此时，∴，
当时，，此时，∴，
综上，的值域；
∵，，∴的值域.
∵对任意，总存在，使得成立，
∴，即，所以，
实数的取值范围为．
5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导函数的解析式，对参数分类讨论结合导函数的符号即可求解；
（2）根据不等式的有解性问题，分离参数、构造新函数求出新函数的最值即可秋求解.
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
所以，所以，
故实数的取值范围是.
6．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)递增；
(3)存在，.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由导数值恒正判断函数单调递增.
（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解.
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，因此，
所以函数在区间上的单调递增.
（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上递增，
则，即，于是，而，
因此，函数在上单调递增，，，则，
所以的取值范围是.
7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性；
（2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可.
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】将，，使成立，等价为，再求出和，代入化简求解即可．
【详解】将，，使成立，等价为，
由，，则，
又，且，则，
则当时，；当时，，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以．
又，，则，
又，，
所以在区间上单调递增，
所以，
又，则，解得，
故m的取值范围为．
10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；
（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1），由得，
∴，，
即切点为，代入方程得，
所以，；
（2）由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，
∴，
．
①当时， 在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，解得或，
∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.
综上，.
11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
又，所以当时，，
即函数在区间上单调递增，故，
由（1）知，
因为，又的判别式，
①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，
故，故，即，得，
又，所以；
②当时，的两根为，，
此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以
综上，a的取值范围为．
13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）根据已知条件可知得求解即可.
（2）运用分离参数求最值解决存在性问题，再运用导数研究函数的最值即可.
【详解】（1）
，
因为函数在处取到极值，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极值，所以，．
（2）
因为存在，使得成立，所以，
由（1）知，，
令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以．
又，所以，所以．
所以实数t的取值范围是．