备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题06不等式恒成立问题(学生版+解析)

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函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②分离变量,把问题转化为函数的最值问题．
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
= 1 \* GB3 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
= 2 \* GB3 ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max = 3 \* GB3 ③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；
= 4 \* GB3 ④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0；
= 5 \* GB3 ⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；
= 6 \* GB3 ⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) 【例1】（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知函数,,其中．
(1)若,求实数a的值
(2)当时,求函数的单调区间；
(3)若存在使得不等式成立,求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为,则,
由可得,解得.
（2）函数的定义域为,
且,
当时,令,可得或,
①当,即时,对任意的,,的单调递增区间为．
②当,即时,,得或,,得,
的单调递增区间为和,单调递减区间为
③当,即时,得或；,得,
的单调递增区间为和,单调递减区间为,
综上所述,时,函数的单调增区间为；
时,函数的单调增区间为和,单调减区间为；
时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.
（3）由,可得,即,其中,令,,
若存在,不等式成立,则,,
,令,得,当时,,当时,,
所以函数在上递增,在上递减,
所以函数在端点或处取得最小值．
因为,,所以,所以,所以,
因此,实数的取值范围是．
【例2】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月第三次质量抽测）已知函数,.
(1)当时,函数恒成立,求实数的最大值；
(2)当时,若,且,求证：；
(3)求证：对任意,都有.
【解析】（1）当时,恒成立,
即恒成立,只需即可,
令,,则,
令,,则,
当时,恒成立,在单调递增,所以,
所以在恒成立,在单调递增,
所以,所以,即实数的最大值为.
（2）当时,,,
所以,在上单调递增,
又,且,不妨设,
要证,即证明,
因为在上单调递增,即证,
因为,即证,
设
,,
令,则,则,,
由可得,在单调递增,
所以,即,
所以成立,所以.
（3）由（2）可知当时,在单调递增,且,
由得,即,
令,则,即,
所以,,,…,,
相加得.
(二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题
若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数 在上是增（减）函数,则时（或）恒成立.
【例3】（2024届湖北省黄冈中学高三5月模拟）已知函数.
(1)当时,求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时,,,
,,,所以的图象在处的切线方程为：.
（2）,
若函数在上单调递增,则对于恒成立,
即对于恒成立,
令,当时,,
则函数在上单调递增,所以,故.
(三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题
对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解.基本结论：
(1)“若任意,,或对任意,,则是增函数；
(2) 对任意,,则是增函数；
【例4】（2024届山西省吕梁市高三三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的,使恒成立,则实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
令,又,
,当,即时,,此时在上单调递增
,当,即时,令,解得
其中,当时,
，所以在单调递增,在单调递减；
当时,,
故在单调递减,单调递增.综上：在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递减,在上单调递增.
（2）.
令,则只需在单调递增,
即恒成立,
,令,则恒成立；又,
①当时,在单调递增成立；
②当时,在单调递增,又,故不恒成立.不满足题意；
③当时,由得在单调递减,在单调递增,
因为恒成立,所以,
解得,综上,.
(四)形如“若,则”的恒成立问题
求解此类问题的思路是：先确定是使的参数的取值范围,当,由为增函数及可得恒成立,当时确定存在,使得,,递减,即时,故原不等式不恒成立.
【例5】函数的图像与直线相切.
(1)求实数a的值；
(2)当时,,求实数m的取值范围.
【解析】 (1),设切点为,
所以有,因为是切线,所以有,
设,显然当时,单调递增,所以有,
当时,,所以无实数根,
因此当时,方程有唯一实数根,即,
于是有,因此有；
(2)令,则在恒成立
.
若,即时,当时,由得,所以在单调递增,又,所以在恒成立；当时,所以.所以在恒成立.
若即时,,则存在,使得在单调递减,则当时,矛盾,舍，综上所述,的取值范围时.
(五)根据不等式恒成立求整数参数的最值
此类问题通常可分类参数,把问题转化为（）, 的形式,有最小（大）值,但无法求出,只能引入导函数的隐零点,估计的范围,再确定整数 的最大（小）值.
【例6】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若,函数在上恒成立,求整数a的最大值.
【解析】（1）根据题意可得,
若,在上恒成立,此时函数在上单调递增；
若,此时,当时,满足,此时函数在,上单调递增；当时,满足,此时函数在单调递减；
若,此时,当时,满足,此时函数在,上单调递增,当时,满足,此时函数在单调递减；
综上可知,时,在上单调递增；
时,在和上单调递增,在单调递减；
时,在和上单调递增,在单调递减；
（2）由可得,解得；
所以,则,易知时,,
若函数在上恒成立,等价成在上恒成立；
令,则；
令,则在上恒成立,
即函数在上单调递增,
易知,由于,所以,
而,且,所以；
因此在有且仅有一个零点,满足,且；
所以当时,,当时,；
因此函数在上单调递减,在上单调递增；
所以的最小值为,显然,
因此,又是整数,所以的最大值为4.
(六)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题
= 1 \* GB3 ①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,
= 2 \* GB3 ②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.
= 3 \* GB3 ③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.
= 4 \* GB3 ④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
【例7】设函数,其中.
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)若,求实数的取值范围.
【解析】 (1),.
当时,恒成立,则在上为减函数,
当时,令,可得,则,解得,
令,解得,综上,当时,的减区间为；
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由,可得设,
则.
①当时,,单调递增,而,所以不满足题意,
②当时,令,解得,
当时,,为减函数,当时,,为增函数,
所以.
令,,
当时,,为增函数,当时,,为减函数,
所以,又.
则,解得,所以实数的取值范围是.
(七) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值
= 1 \* GB3 ①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.
= 2 \* GB3 ②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.
= 3 \* GB3 ③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.
【例8】（2024届四川省绵阳市江油市高三下学期模拟）已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为,
当时,,所以,
当时,,在上为减函数,
当时,,在上为增函数,
综上所述：在上为减函数,在上为增函数；
（2）若,不等式恒成立,
则对均成立,所以
令,则,
令,显然为上的减函数,
又,所以,,则在上为增函数,
当时,,则在上为减函数,
所以,所以,所以,
所以实数的取值范围为.
(八) 先用特殊值确定或缩小参数范围,求解不等式恒成立问题
此类问题通常是先在自变量允许值范围内取一个特殊值代入,缩小参数范围,然后在该范围内求解,减少讨论,也有可能该范围就是所求范围,此时只需证明在该范围内不等式恒成立即可.
【例9】（2024届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数.
(1)时,求的零点个数;
(2)若恒成立,求实数的最大值;
(3)求证:.
【解析】（1）当时,,则,
所以,令,则,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
当时,,所以在上为增函数,
当时,,所以在上为减函数,
又,,
且时,,则存在,,使得,
所以有两个零点.
（2）令由,得,
令所以,
令,可得,
所以在上为增函数,所以,
所以,所以,
所以在上单调递增,所以,即,
所以恒成立,所以实数的最大值是实数；
（3）因为,
由（2）可得,所以,
所以,
所以,
又,
所以.
【例1】（2024届高考全国甲卷真题）已知函数．
(1)当时,求的极值；
(2)当时,,求的取值范围．
【解析】（1）当时,,
故,
因为在上为增函数,
故在上为增函数,而,
故当时,,当时,,
故在处取极小值且极小值为,无极大值.
（2）,
设,
则,
当时,,故在上为增函数,故,即,
所以在上为增函数,故.
当时,当时,,
故在上为减函数,故在上,
即在上即为减函数,
故在上,不合题意,舍.当,此时在上恒成立,
同理可得在上恒成立,不合题意,舍；综上,.
【例2】（2024届天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立,求的值；
(3)若,证明．
【解析】（1）由于,故.
所以,,所以所求的切线经过,且斜率为,故其方程为.
（2）设,则,从而当时,当时.
所以在上递减,在上递增,这就说明,即,且等号成立当且仅当.
设,则
.
当时,的取值范围是,所以命题等价于对任意,都有.
一方面,若对任意,都有,则对有
,
取,得,故.
再取,得,所以.
另一方面,若,则对任意都有,满足条件.
综合以上两个方面,知的值是2.
（3）先证明一个结论：对,有.
证明：前面已经证明不等式,故,
且,
所以,即.
由,可知当时,当时.
所以在上递减,在上递增.
不妨设,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时,有,结论成立；
情况二：当时,有.
对任意的,设,则.
由于单调递增,且有
,
且当,时,由可知
.
所以在上存在零点,再结合单调递增,即知时,时.
故在上递减,在上递增.
①当时,有；
②当时,由于,故我们可以取.
从而当时,由,可得
.
再根据在上递减,即知对都有；
综合①②可知对任意,都有,即.
根据和的任意性,取,,就得到.
所以.
情况三：当时,根据情况一和情况二的讨论,可得,.
而根据的单调性,知或.
故一定有成立.综上,结论成立.
【例3】（2024届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期5月月考）函数．
(1)若,求函数的最大值；
(2)若在恒成立,求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为,
可知的定义域为,且,
由,解得；由,解得．
可知在内单调递增,在内单调递减,
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立,
等价于在恒成立．
设,,
则,
当时,则,且,可得,所以；
当时,则,设,则,
可知在递增,且．则,使得．
当时,；当时,．当时,；当时,．
可知函数在递增,在递减,在递增．
由,得,且．
可得,
且,则,
又因为,可知当时,,所以的取值范围是．
【例4】（2024届河南省信阳市高三下学期高考考前押题）已知函数,．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立,求的取值范围．
【解析】（1）因为,
构建,则在内恒成立,
可知在内单调递减,且,则有：
若,则,即；若,则,即；
若,则,即.
（2）若恒成立,则,
构建,原题意等价于在内恒成立,
则,
1.若,则，当时,；当时,；
可知在内单调递增,在内单调递减,则,不符合题意；
2.若,则有：（ⅰ）若,则,当时,；当时,；
可知在内单调递减,在内单调递增,则,符合题意；
（ⅱ）若时,令,解得或,
①若,即时,当时,,
可知在内单调递减,此时,不合题意；
②若,即时,则,可知在内单调递增,
当时,此时,不合题意；
(1)讨论函数的单调性；
(2)令,若恒成立,求实数a的取值范围.
2．（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知函数,.
(1)求函数的单调区间；
(2)若当时,恒成立,求实数m的取值范围.
3．（2024届重庆市高三第三次联合诊断）已知函数
(1)当时,求在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
4．已知
(1)当时,求在处切线方程；
(2)若在恒成立,求的取值范围；
(3)求证：．
5．（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试）已知函数（）.
(1)当时,求的最值；
(2)当时,证明：对任意的,,都有.
6．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立,求实数的取值范围；
(3)求证：．（且）
7．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数,.
(1)当时,在上恒成立,求实数的取值范围；
(2)若在上存在零点,求实数的取值范围.
8．（2024届四川省绵阳南山中学高三下学期高考仿真演练）已知函数,其中为常数.
(1)当时,讨论函数在上的单调性；
(2)若,,求实数的取值范围.
9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数,.
(1)当时,求的极值；
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
10．（2024届山西省部分学校高三高考考前巩固卷）已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设
(1)当,求函数的零点个数.
(2)函数,若对任意,恒有,求实数的取值范围
12．（2024届天津市新华中学高三统练十一））已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求的值；
(3)求证：．
13．（2024届福建省福州市福建师范大学附属中学高三下学期校模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求的值
14．（2024届福建省福州第一中学高三下学期5月模拟）已知函数,,其中为自然对数的底数.
(1)证明：时,；
(2)求函数在内的零点个数；
(3)若,求的取值范围.
15．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)函数．
①讨论函数的单调性；
②函数,求实数的取值范围．
专题6 不等式恒成立问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②分离变量,把问题转化为函数的最值问题．
(一) 与不等式恒成立问题有关的结论
= 1 \* GB3 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
= 2 \* GB3 ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max = 3 \* GB3 ③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；
= 4 \* GB3 ④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0；
= 5 \* GB3 ⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；
= 6 \* GB3 ⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) 【例1】（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知函数,,其中．
(1)若,求实数a的值
(2)当时,求函数的单调区间；
(3)若存在使得不等式成立,求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为,则,
由可得,解得.
（2）函数的定义域为,
且,
当时,令,可得或,
①当,即时,对任意的,,的单调递增区间为．
②当,即时,,得或,,得,
的单调递增区间为和,单调递减区间为
③当,即时,得或；,得,
的单调递增区间为和,单调递减区间为,
综上所述,时,函数的单调增区间为；
时,函数的单调增区间为和,单调减区间为；
时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.
（3）由,可得,即,其中,令,,
若存在,不等式成立,则,,
,令,得,当时,,当时,,
所以函数在上递增,在上递减,
所以函数在端点或处取得最小值．
因为,,所以,所以,所以,
因此,实数的取值范围是．
【例2】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月第三次质量抽测）已知函数,.
(1)当时,函数恒成立,求实数的最大值；
(2)当时,若,且,求证：；
(3)求证：对任意,都有.
【解析】（1）当时,恒成立,
即恒成立,只需即可,
令,,则,
令,,则,
当时,恒成立,在单调递增,所以,
所以在恒成立,在单调递增,
所以,所以,即实数的最大值为.
（2）当时,,,
所以,在上单调递增,
又,且,不妨设,
要证,即证明,
因为在上单调递增,即证,
因为,即证,
设
,,
令,则,则,,
由可得,在单调递增,
所以,即,
所以成立,所以.
（3）由（2）可知当时,在单调递增,且,
由得,即,
令,则,即,
所以,,,…,,
相加得.
(二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题
若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数 在上是增（减）函数,则时（或）恒成立.
【例3】（2024届湖北省黄冈中学高三5月模拟）已知函数.
(1)当时,求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时,,,
,,,所以的图象在处的切线方程为：.
（2）,
若函数在上单调递增,则对于恒成立,
即对于恒成立,
令,当时,,
则函数在上单调递增,所以,故.
(三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题
对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解.基本结论：
(1)“若任意,,或对任意,,则是增函数；
(2) 对任意,,则是增函数；
【例4】（2024届山西省吕梁市高三三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的,使恒成立,则实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
令,又,
,当,即时,,此时在上单调递增
,当,即时,令,解得
其中,当时,
，所以在单调递增,在单调递减；
当时,,
故在单调递减,单调递增.综上：在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递减,在上单调递增.
（2）.
令,则只需在单调递增,
即恒成立,
,令,则恒成立；又,
①当时,在单调递增成立；
②当时,在单调递增,又,故不恒成立.不满足题意；
③当时,由得在单调递减,在单调递增,
因为恒成立,所以,
解得,综上,.
(四)形如“若,则”的恒成立问题
求解此类问题的思路是：先确定是使的参数的取值范围,当,由为增函数及可得恒成立,当时确定存在,使得,,递减,即时,故原不等式不恒成立.
【例5】函数的图像与直线相切.
(1)求实数a的值；
(2)当时,,求实数m的取值范围.
【解析】 (1),设切点为,
所以有,因为是切线,所以有,
设,显然当时,单调递增,所以有,
当时,,所以无实数根,
因此当时,方程有唯一实数根,即,
于是有,因此有；
(2)令,则在恒成立
.
若,即时,当时,由得,所以在单调递增,又,所以在恒成立；当时,所以.所以在恒成立.
若即时,,则存在,使得在单调递减,则当时,矛盾,舍，综上所述,的取值范围时.
(五)根据不等式恒成立求整数参数的最值
此类问题通常可分类参数,把问题转化为（）, 的形式,有最小（大）值,但无法求出,只能引入导函数的隐零点,估计的范围,再确定整数 的最大（小）值.
【例6】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若,函数在上恒成立,求整数a的最大值.
【解析】（1）根据题意可得,
若,在上恒成立,此时函数在上单调递增；
若,此时,当时,满足,此时函数在,上单调递增；当时,满足,此时函数在单调递减；
若,此时,当时,满足,此时函数在,上单调递增,当时,满足,此时函数在单调递减；
综上可知,时,在上单调递增；
时,在和上单调递增,在单调递减；
时,在和上单调递增,在单调递减；
（2）由可得,解得；
所以,则,易知时,,
若函数在上恒成立,等价成在上恒成立；
令,则；
令,则在上恒成立,
即函数在上单调递增,
易知,由于,所以,
而,且,所以；
因此在有且仅有一个零点,满足,且；
所以当时,,当时,；
因此函数在上单调递减,在上单调递增；
所以的最小值为,显然,
因此,又是整数,所以的最大值为4.
(六)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题
= 1 \* GB3 ①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,
= 2 \* GB3 ②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.
= 3 \* GB3 ③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.
= 4 \* GB3 ④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
【例7】设函数,其中.
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)若,求实数的取值范围.
【解析】 (1),.
当时,恒成立,则在上为减函数,
当时,令,可得,则,解得,
令,解得,综上,当时,的减区间为；
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由,可得设,
则.
①当时,,单调递增,而,所以不满足题意,
②当时,令,解得,
当时,,为减函数,当时,,为增函数,
所以.
令,,
当时,,为增函数,当时,,为减函数,
所以,又.
则,解得,所以实数的取值范围是.
(七) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值
= 1 \* GB3 ①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.
= 2 \* GB3 ②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.
= 3 \* GB3 ③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.
【例8】（2024届四川省绵阳市江油市高三下学期模拟）已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间；
(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为,
当时,,所以,
当时,,在上为减函数,
当时,,在上为增函数,
综上所述：在上为减函数,在上为增函数；
（2）若,不等式恒成立,
则对均成立,所以
令,则,
令,显然为上的减函数,
又,所以,,则在上为增函数,
当时,,则在上为减函数,
所以,所以,所以,
所以实数的取值范围为.
(八) 先用特殊值确定或缩小参数范围,求解不等式恒成立问题
此类问题通常是先在自变量允许值范围内取一个特殊值代入,缩小参数范围,然后在该范围内求解,减少讨论,也有可能该范围就是所求范围,此时只需证明在该范围内不等式恒成立即可.
【例9】（2024届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数.
(1)时,求的零点个数;
(2)若恒成立,求实数的最大值;
(3)求证:.
【解析】（1）当时,,则,
所以,令,则,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
当时,,所以在上为增函数,
当时,,所以在上为减函数,
又,,
且时,,则存在,,使得,
所以有两个零点.
（2）令由,得,
令所以,
令,可得,
所以在上为增函数,所以,
所以,所以,
所以在上单调递增,所以,即,
所以恒成立,所以实数的最大值是实数；
（3）因为,
由（2）可得,所以,
所以,
所以,
又,
所以.
【例1】（2024届高考全国甲卷真题）已知函数．
(1)当时,求的极值；
(2)当时,,求的取值范围．
【解析】（1）当时,,
故,
因为在上为增函数,
故在上为增函数,而,
故当时,,当时,,
故在处取极小值且极小值为,无极大值.
（2）,
设,
则,
当时,,故在上为增函数,故,即,
所以在上为增函数,故.
当时,当时,,
故在上为减函数,故在上,
即在上即为减函数,
故在上,不合题意,舍.当,此时在上恒成立,
同理可得在上恒成立,不合题意,舍；综上,.
【例2】（2024届天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立,求的值；
(3)若,证明．
【解析】（1）由于,故.
所以,,所以所求的切线经过,且斜率为,故其方程为.
（2）设,则,从而当时,当时.
所以在上递减,在上递增,这就说明,即,且等号成立当且仅当.
设,则
.
当时,的取值范围是,所以命题等价于对任意,都有.
一方面,若对任意,都有,则对有
,
取,得,故.
再取,得,所以.
另一方面,若,则对任意都有,满足条件.
综合以上两个方面,知的值是2.
（3）先证明一个结论：对,有.
证明：前面已经证明不等式,故,
且,
所以,即.
由,可知当时,当时.
所以在上递减,在上递增.
不妨设,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时,有,结论成立；
情况二：当时,有.
对任意的,设,则.
由于单调递增,且有
,
且当,时,由可知
.
所以在上存在零点,再结合单调递增,即知时,时.
故在上递减,在上递增.
①当时,有；
②当时,由于,故我们可以取.
从而当时,由,可得
.
再根据在上递减,即知对都有；
综合①②可知对任意,都有,即.
根据和的任意性,取,,就得到.
所以.
情况三：当时,根据情况一和情况二的讨论,可得,.
而根据的单调性,知或.
故一定有成立.综上,结论成立.
【例3】（2024届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期5月月考）函数．
(1)若,求函数的最大值；
(2)若在恒成立,求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为,
可知的定义域为,且,
由,解得；由,解得．
可知在内单调递增,在内单调递减,
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立,
等价于在恒成立．
设,,
则,
当时,则,且,可得,所以；
当时,则,设,则,
可知在递增,且．则,使得．
当时,；当时,．当时,；当时,．
可知函数在递增,在递减,在递增．
由,得,且．
可得,
且,则,
又因为,可知当时,,所以的取值范围是．
【例4】（2024届河南省信阳市高三下学期高考考前押题）已知函数,．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立,求的取值范围．
【解析】（1）因为,
构建,则在内恒成立,
可知在内单调递减,且,则有：
若,则,即；若,则,即；
若,则,即.
（2）若恒成立,则,
构建,原题意等价于在内恒成立,
则,
1.若,则，当时,；当时,；
可知在内单调递增,在内单调递减,则,不符合题意；
2.若,则有：（ⅰ）若,则,当时,；当时,；
可知在内单调递减,在内单调递增,则,符合题意；
（ⅱ）若时,令,解得或,
①若,即时,当时,,
可知在内单调递减,此时,不合题意；
②若,即时,则,可知在内单调递增,
当时,此时,不合题意；
③若,即时,则,
由（1）可知：当时,,
则,
可得,不合题意；
综上所述：的取值范围为.
【例5】（2024届河北省保定市九县一中三模）已知函数.
(1)若,求的单调区间；
(2)若恒成立,求的取值集合.
【解析】（1）由,得,定义域为,则,
当时,,当时,,
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）由,,得,
若,则显然,不符合题意,若,令,解得,
则当时,,单调递增,当时,,单调递减,
,则,即,
令,则,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以,当满足时,,所以的取值集合为.
1．（2024届青海海西格尔木三校高三第三次联考）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)令,若恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】（1）由,,
①当时,,可得,此时函数在R上单调递增；
②当时,,关于x的一元方程的两根为,
此时函数的减区间为,增区间为,；
（2）若恒成立,必有,可得,
下面证明时恒成立.
由及,有,
要证不等式,只需证,
又由,只需证,令,
有,
令,有,
①当时,,,有；
②当时,,,有．
由①②可知,故函数单调递增,
又由,可知当时,即；
当时,即,可得函数的减区间为,增区间为,
有．由上知,若恒成立,则实数a的取值范围为.
2．（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知函数,.
(1)求函数的单调区间；
(2)若当时,恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】（1）依题意,函数的定义域为,
求导得,当且仅当时取等号,
即在上单调递减,所以函数的递减区间为,无递增区间.
（2）当时,恒成立,
令,求导得,当时,,当时,,
即函数在上递减,在上递增,则当时,,
令,依题意,,恒成立,
令,求导得,则函数在上单调递增,
当时,,因此,所以实数m的取值范围.
3．（2024届重庆市高三第三次联合诊断）已知函数
(1)当时,求在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】（1）解：当时,,,
则,,
所以当时,在点处的切线方程为
（2）,因为在区间上单调递增,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,所以在区间上恒成立,
因为当时,,所以,即a的取值范围是
4．已知
(1)当时,求在处切线方程；
(2)若在恒成立,求的取值范围；
(3)求证：．
【解析】（1）当时,,求导得,则,而,
所以在处切线方程为,即.
（2）,
当时,,当时,,则不等式恒成立,此时,
当时,令函数,求导得,
函数在上单调递增,不等式,即,因此,
从而,令,
求导得,函数在上单调递增,,
则,所以的取值范围是.
（3）由（2）知,当时,不等式对恒成立,
取,得,即,
因此,即,
则
,所以原不等式成立.
5．（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试）已知函数（）.
(1)当时,求的最值；
(2)当时,证明：对任意的,,都有.
【解析】（1）当时,,,易知在上单调递增.
因为,所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以有最小值,无最大值.
（2）证明：.令,则,
所以在上单调递增.
又,所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
即当时,在上单调递减,在上单调递增.
所以,.
令,则,当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为,,所以当时,,
即当时,,
所以当时,且,
即且,
即对任意的,,都有.
6．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立,求实数的取值范围；
(3)求证：．（且）
【解析】（1）函数的定义域为．．
①时,,的递增区间为,无递减区间；
③时,令得；令得,
所以的递增区间为,递减区间为．
（2）由（1）知,时,在上递增,,不合题意,
故只考虑的情况,由（1）知
即，综上,的取值范围为．
（3）由（2）知：当时,恒成立,所以,
所以当恒成立,令,进而,
即,．
所以．（且）
即．（且）
7．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数,.
(1)当时,在上恒成立,求实数的取值范围；
(2)若在上存在零点,求实数的取值范围.
【解析】（1）当时,,
所以不等式转化为,在上恒成立.
令,所以.
当时,恒成立.
若,则在上恒成立,在上单调递增,
故,符合题意；
若,令函数,则在上恒成立,
所以在上单调递增,
因为,且当时,.
所以,,
故当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
则,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为；
（2）因为,,令,即,
所以.令,,
则.令,得.
所以当时,,单调递减；
当,时,单调递增.
所以当时,取得极小值,
即当时,取得极小值.
又因为,,
所以.所以.
当取得极大值,即当时,取得极大值.
又因为,,
所以.所以,
所以当,.所以.
又因为,所以时,在上存在零点,
所以实数的取值范围为.
8．（2024届四川省绵阳南山中学高三下学期高考仿真演练）已知函数,其中为常数.
(1)当时,讨论函数在上的单调性；
(2)若,,求实数的取值范围.
【解析】（1）时,,,
因为,有,,所以,
于是函数在上单调递增.
（2）解法一：,即.
因为,所以,于是.
令,则.
当时,,,,,
则有,
于是,所以在上是增函数,,所以.
即实数的取值范围为.
解法二：令,.
当时,,在上是增函数,.
当时,,而,不满足条件；
当时,在上恒成立；
当时,,,在上恒成立.
综上：,即实数的取值范围为.
解法三：令,由得.
下证当时,.
因为且,,,所以,
所以,即实数的取值范围为.
9．（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数,.
(1)当时,求的极值；
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】（1）当时,所以,
所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,即,无极小值.
（2）因为当时,恒成立,即当时,恒成立,
即在上恒成立,当时,解得,
设,,
则,
令,则,
当时,则单调递增,
当时,则单调递减,
因为,,,,
当,即时在上恒成立,
所以在上单调递增,所以,所以恒成立,
当时使得,
所以当时,单调递增；
当时,单调递减；
所以,则,解得,
综上可得,即的取值范围为.
10．（2024届山西省部分学校高三高考考前巩固卷）已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】（1）,
当时,恒成立,从而在上单调递增,
当时,,,,,
从而在上递增,在上单调递减,
综上,当时,的单调递增区间为,没有单调递减区间；
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为；
（2）由题可知,要使恒成立,只要,
,由于,,所以恒成立,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,解得,所以的取值范围为.
11．（2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设
(1)当,求函数的零点个数.
(2)函数,若对任意,恒有,求实数的取值范围
【解析】（1）当时,,,
当时,,,,在上无零点.
当时,,在上单增.
,,,
,,在上有一个零点.
当时,又,
,在上无零点.
综上所述, 在上只有一个零点.
（2）时,,
,设,
,
当,在递增,在上递减,
,,
,,
当时,在递减,在递增,在递减,
只需, ,
,与 矛盾,舍去；
当时,在上递减,只需,,矛盾,舍去；不满足条件.
当,在上递减,在上递增,在上递减.
,,只需,
,,,
又, ,
,满足条件. 综上所述,
12．（2024届天津市新华中学高三统练十一））已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求的值；
(3)求证：．
【解析】（1）,有,
因为,所以,
则曲线在点处的切线方程为．
（2）因为,的定义域为,
所以是的极大值点,因为,
所以,所以,
需验证,当时,恒成立即可,因为,
令,则,
①当时,,则在上单调递减,
所以在上单调递增,,
②当时,,则在上单调递减,所以,
综上,符合题意．所以恒成立时,.
（3）由（2）可知,,当且仅当时取等号,
当时,,所以,
,
因为
,所以即证,
令,则,当时,,,
所以即证：,令,则,
所以时,单调递减,
所以,即,
综上,.
13．（2024届福建省福州市福建师范大学附属中学高三下学期校模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立,求的值
,
①时,由（1）知,
,在没有零点；
②时,,所以是函数的零点；
③当时,,
令,则,
则函数在上单调递增,则,
则函数在上单调递减,则,在没有零点；
④当,,没有零点.
综上所述,当时,函数的零点个数为1.
（3）由（2）知,当时,,令
,
则,令
,故单调递增,
①当时,,
,使得,
当时,,单调递减,不符合题意；
②当时,,若时,总有（不恒为零）,
则在上为增函数,但,故当时,,不合题意.
故在上,有解,故,使得,
又在时单调速增,所以当时,,单调递增,
故当时,,不符合题意,故不符合题意；
③当时,,由于单调递增,,
故时,,单调递减；时,,单调递增,此时,
当时,；综上可得,.
15．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)函数．
①讨论函数的单调性；
②函数,求实数的取值范围．
【解析】（1）函数,,则,
令,解得或,
则,,的关系表如下所示：
由上表,函数极大值为,极小值为；
（2）①,则,
记,则,
当时,,则在上单调递增,
所以时,,所以,所以是上的增函数．
②,当时,恒成立；
当时,,
令,
当时,令,则,
所以在上单调递增,所以,即,
所以,
因为,所以,不满足题意,所以不成立．
当时,
记,,
由①知时,,
所以
,
所以．所以成立．
综上所述：．
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增