备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题04用导数研究函数的最值(学生版+解析)

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一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高三冲刺调研）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【解析】（1）因为，
所以，令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）函数在上有且仅有一个零点，证明如下：
函数，，则，
若，，
所以在区间上单调递增，又，
，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
(二) 求函数在非闭区间上的最值
求函数在非闭区间上的最值,一般通过研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.
【例2】（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试模拟预测）已知函数（）.
(1)当时，求的最值；
(2)当时，证明：对任意的，，都有.
【解析】（1）当时，，，
易知在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有最小值，无最大值.
（2）证明：.令，则，
所以在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以，.
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以当时，，
即当时，，
所以当时，且，
即且，
即对任意的，，都有.
(三) 含单参数的函数在闭区间上的最值问题
含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．
【例3】（2024届广东省东莞中学、广州二中等高三下学期六校联考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）的定义域为 ，
求导数，得 ，
若，则，此时在上单调递增，
若，则由得，当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
综上，当，的增区间为，无减区间，
若，减区间为，增区间为.
（2）由（1）知，当时，在区间上为增函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，在上为增函数，
函数的最大值为，
由，得，
若时，函数的最大值为，
若时，函数的最大值为，
综上，当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为.
(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题
有些不等式恒成立或有解问题,常通过分离参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.
【例4】（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）已知函数（为常数），是函数的一个极值点.
(1)求实数的值；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
(3)求证：.
【解析】（1）由题意得：，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得：，
则，
令，则，令，则，
所以是函数的一个极值点，
所以；
（2）由（1）得，定义域为，
所以问题等价于在上恒成立，
构造函数，，则，
令，，则，
所以时，，在递增，
所以，所以，
所以在递增，
所以，所以，
所以实数的最大值为2；
（3）由（2）得：时，，即，
整理得，
令，则，即，
时，，时，，
…，
时，，
将以上不等式两端分别相加得：
，
即.
(五) 含双参数的函数的最值问题
含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．
【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若，求b的最小值．
【解析】 (1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
(2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为
(六) 根据恒成立,求整数a的最大值
根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.
【例6】（2024届山东省日照市高三下学期三模）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对，，求正整数的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
①当时，有，此时函数在区间上单调递减；
②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增；
当时，，此时函数在区间上单调递减.
所以当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）当，时，恒成立，等价于恒成立，
设，，则，
当时，有，
函数在上单调递增，且，，
则存在唯一的，使得，即，
当时，，；当时，，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，则当时，，函数在上单调递减，
又因为，所以.
所以正整数的最大值是3.
【例1】（2024届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期5月月考）函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，
可知的定义域为，且，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，
所以；
当时，则，
设，则，
可知在递增，且．
则，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
可知函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
【例2】（2024届云南省昆明市第一中学高三考前适应性训练）已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【解析】（1）的定义域为，，
令解得，又因为当时，为增函数，
故当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故，故．
（2），，则，
故当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
故．
又因为，所以（当且仅当时，取“”），
所以．
【例3】（2024届河南省信阳市高级中学高三下学期三模）已知函数
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
【解析】（1），
①当时，，不符合题意.
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为.
所以.
（2）当时，，在区间上单调递增，
所以至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为，不妨设，
若，则，不符合题意；
若，则，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范围为.
【例4】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【解析】（1）解：（）（），
令，则，
当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以，.
当时，，则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，
而，.所以
综上所述，当时，，；
当时，所以，.
（2）方法一：隐零点法
因为，，所以，欲证，只需证明，
设，（），，
令，易知在上单调递增，
而，，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
所以
所以，因此.
方法二：（同构）
因为，，所以，欲证，只需证明，
只需证明，
因此构造函数（），
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增：
所以，所以，
所以，
因此.
【例5】（2024届江苏省宿迁市高三下学期三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
(2)若函数恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为，函数的定义域为，
所以，
由曲线在处的切线的方程为，得，
所以，
设，，
所以函数是上的递增函数，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切点坐标为，代入直线方程得．
（2），定义域为，
，
设，所以，
所以在上递减，又，，
所以当时，，即，函数递增，
当时，，即，函数递减，
所以函数的最大值 ，
又，
所以，
所以，
因为恒成立，即恒成立，
设，则，所以递增，
所以，即恒成立，
因为在上递减，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【例6】（山西省晋城5月第四次调研考）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
【解析】（1）函数，定义域为，则，
因为，设，，
则令得，，，
当时，，，单调递增，
当时，，，
单调递减，
当时，，，单调递增，
综上所述：的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解，
1．（2024届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考）已知函数，
(1)当时，求的最小值；
(2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当时，设为函数的极大值点，求证：.
2.（2024届广东省茂名市高州市高三一模）设函数，.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.
3.（2024届辽宁省凤城市第一中学高三下学期期初考）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
4.（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
5．（2024届河北省保定市九县一中三模）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值集合.
6．（2024届重庆市育才中学教育集团高三下学期5月模拟）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若，设曲线与轴正半轴的交点为，该曲线在点处的切线方程为，求证：
7.（2024届河北省秦皇岛市青龙县第一中学高三下学期5月模拟）已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
8.（2024届辽宁省实验中学高三下学期考前练）已知函数（）
9．（2024届陕西省西北工业大学附属中学高三适应性训练）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；
(2)①当时，求在上的最小值；
②证明：．
10．（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值.
11．（2024届山东省菏泽市高三下学期二模）已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）．
(1)求的解析式；
(2)求的单调区间和最大值．
12．（2024届湖北省武昌实验中学高三下学期5月高考适应性考试）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
13．（2024届安徽省鼎尖名校联盟高三下学期5月联考）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求函数在上的最值.
14．（2024届湖北省武汉市华中师范大学附属中学高三五月适应性考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有最大值，求实数的值．
15．（2024届四川省南充市高三三诊）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若.求证：
16．（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知函数（，且）．
(1)若，求函数的最小值；
(2)若，证明：．
专题4 用导数研究函数的最值
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.
(一) 求函数在闭区间上的最值
一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高三冲刺调研）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）函数在上有且仅有一个零点，证明如下：
函数，，则，
若，，
所以在区间上单调递增，又，
，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
(二) 求函数在非闭区间上的最值
求函数在非闭区间上的最值,一般通过研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.
【例2】（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试模拟预测）已知函数（）.
(1)当时，求的最值；
(2)当时，证明：对任意的，，都有.
【解析】（1）当时，，，
易知在上单调递增.
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有最小值，无最大值.
（2）证明：.令，则，
所以在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以，.
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以当时，，
即当时，，
所以当时，且，
即且，
即对任意的，，都有.
(三) 含单参数的函数在闭区间上的最值问题
含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．
【例3】（2024届广东省东莞中学、广州二中等高三下学期六校联考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）的定义域为 ，
求导数，得 ，
若，则，此时在上单调递增，
若，则由得，当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
综上，当，的增区间为，无减区间，
若，减区间为，增区间为.
（2）由（1）知，当时，在区间上为增函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，在上为增函数，
函数的最大值为，
由，得，
若时，函数的最大值为，
若时，函数的最大值为，
综上，当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为.
(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题
有些不等式恒成立或有解问题,常通过分离参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.
【例4】（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）已知函数（为常数），是函数的一个极值点.
(1)求实数的值；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
(3)求证：.
则，
令，则，令，则，
所以是函数的一个极值点，
所以；
（2）由（1）得，定义域为，
所以问题等价于在上恒成立，
时，，
将以上不等式两端分别相加得：
，
即.
(五) 含双参数的函数的最值问题
含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．
【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若，求b的最小值．
【解析】 (1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
(2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为
(六) 根据恒成立,求整数a的最大值
根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.
【例6】（2024届山东省日照市高三下学期三模）已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，对，，求正整数的最大值.
所以正整数的最大值是3.
【例1】（2024届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期5月月考）函数．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，
可知的定义域为，且，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，
所以；
当时，则，
设，则，
可知在递增，且．
则，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
可知函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
【例2】（2024届云南省昆明市第一中学高三考前适应性训练）已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【解析】（1）的定义域为，，
所以．
【例3】（2024届河南省信阳市高级中学高三下学期三模）已知函数
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
【解析】（1），
①当时，，不符合题意.
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为.
所以.
（2）当时，，在区间上单调递增，
所以至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为，不妨设，
若，则，不符合题意；
若，则，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范围为.
【例4】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【解析】（1）解：（）（），
令，则，
当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以，.
当时，，则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，
而，.所以
综上所述，当时，，；
当时，所以，.
（2）方法一：隐零点法
因为，，所以，欲证，只需证明，
设，（），，
令，易知在上单调递增，
而，，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
所以
所以，因此.
方法二：（同构）
因为，，所以，欲证，只需证明，
只需证明，
因此构造函数（），
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增：
所以，所以，
所以，
因此.
【例5】（2024届江苏省宿迁市高三下学期三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
(2)若函数恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为，函数的定义域为，
所以，
由曲线在处的切线的方程为，得，
所以，
设，，
所以函数是上的递增函数，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切点坐标为，代入直线方程得．
（2），定义域为，
，
设，所以，
所以在上递减，又，，
所以当时，，即，函数递增，
当时，，即，函数递减，
所以函数的最大值 ，
又，
所以，
所以，
因为恒成立，即恒成立，
设，则，所以递增，
所以，即恒成立，
因为在上递减，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【例6】（山西省晋城5月第四次调研考）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
【解析】（1）函数，定义域为，则，
因为，设，，
则令得，，，
当时，，，单调递增，
当时，，，
单调递减，
当时，，，单调递增，
综上所述：的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解，
当时，无非零解，
设，则，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以最小值为，
当时，，当时，，
故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0，
所以，所以，则，
，得，，，
所以，得，
设，则，
令，则，
因为时，，所以，则在单调递增，
又，
所以使得，所以，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以最小值，且，
得，
又因为，所以，因为，
所以，故整数的最大值为2.
1．（2024届浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考）已知函数，
(1)当时，求的最小值；
(2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当时，设为函数的极大值点，求证：.
【解析】（1）当时，，定义域为，
则，记
由，可得在单调递增，且，
故时，，单调递减；时，，单调递增，
则的最小值为.
（2）若在定义域内单调递增，则在上恒成立，
，
令，则，且可知，
下证时，，
由关于单调递增，则，
令，则，
故在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上所述，时，在定义域上单调递增.
（3），记
，，
易知在上单调递增，且x趋于0时，趋于，，
所以存在唯一，使得，
故在上单调递减，单调递增，其中，
根据函数在上单调递增且，得，
又，所以，
因为当x趋于0时，趋于，所以存在唯一极大值点，满足，
又，则，
由，故，
，
令，，
则，趋于0时，，时，，
所以，即.
2.（2024届广东省茂名市高州市高三一模）设函数，.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以不等式转化为，在上恒成立.
令，
所以.
当时，恒成立.
若，则在上恒成立，
在上单调递增，
故，符合题意；
若，令函数，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，且当时，.
所以，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为；
（2）因为，，
令，即，
所以.
令，，
则.
令，得.
所以当时，，单调递减；
当，时，单调递增.
所以当时，取得极小值，
即当时，取得极小值.
又因为，，
所以.
所以.
当取得极大值，
即当时，取得极大值.
又因为，，
所以.
所以，
所以当，.
所以.
又因为，
所以时，在上存在零点，
所以实数的取值范围为.
3.（2024届辽宁省凤城市第一中学高三下学期期初考）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为函数，所以，
记，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，所以在单调递减；
当时，，即，所以在单调递增，且，
所以.
（2）要证，
只需证明：对于恒成立，
令，则，
当时，令，
则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，，
所以存在使得，由，
得即即即，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，
即.
4.（2024届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，无极小值.
（2）因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
即在上恒成立，
当时，解得，
设，，
则，
令，则，
当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
因为，，，，
当，即时在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以恒成立，
当时使得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，则，解得，
综上可得，即的取值范围为.
5．（2024届河北省保定市九县一中三模）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值集合.
【解析】（1）由，得，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，，得，
若，则显然，不符合题意，
若，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
则，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当满足时，，
所以的取值集合为.
6．（2024届重庆市育才中学教育集团高三下学期5月模拟）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若，设曲线与轴正半轴的交点为，该曲线在点处的切线方程为，求证：
【解析】（1）因为函数，定义域为.
所以，
当时，，函数单调递减，此时，函数无最值.
当时，，，
则，在单调递增；
，在单调递减，
所以函数在处取得最大值，最大值为，无最小值.
（2）因为，所以函数，则
曲线与轴正半轴的交点为，
则切线斜率为，
切线方程为：.
则，
令
，
所以在单调递增，单调递减，
的最大值为，
所以，
即.
7.（2024届河北省秦皇岛市青龙县第一中学高三下学期5月模拟）已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【解析】（1）因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
8.（2024届辽宁省实验中学高三下学期考前练）已知函数（）
【解析】（1），
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，所以；
（2）对任意，不等式恒成立，
即，
即在上恒成立，
令，
则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以存在使得，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
又因，则，
所以正整数a的最大值为.
9．（2024届陕西省西北工业大学附属中学高三适应性训练）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；
(2)①当时，求在上的最小值；
②证明：．
【解析】（1）设点.
由于，则，得，
则，且，所以点的坐标为.
（2）①，
则，记，
则
易知在上单调递减，且,
，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为，
，得证.
10．（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值.
【解析】（1）
①当时，当 时， 单调递增；当 时，单调递减.
②当时，在单调递增. .
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减.
当时，在单调递增.
（2）由（1）得当时，当 时，取得最大值，
,易知单调递减 ，令，，
当时， 0，单调递增; 当时，单调递减，所以，当时，取得最大值
依题意，有，所以
令 则
由的单调性可知，当时，在时取得最大值0，即,从而可得 因此在上单调递减，又,
所以，.
11．（2024届山东省菏泽市高三下学期二模）已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）．
(1)求的解析式；
(2)求的单调区间和最大值．
【解析】（1）由题意与轴的交点，又，
在点处的切线的斜率，
在点处的切线方程为，即切线方程为
的最大值为．
12．（2024届湖北省武昌实验中学高三下学期5月高考适应性考试）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)讨论函数在区间上零点的个数.
【解析】（1）的定义域是，
，，
当时，，得.
时，单调递减
综上，当时，的增区间是，
当时，的增区间是，减区间是
（2）由（1）知当时，无最大值。
当时，，平方有，
解得．
15．（2024届四川省南充市高三三诊）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)①求证：有且仅有一个极值点；
②当时，设的极值点为，若.求证：
【解析】（1），令，
当时，，，
，故在上单调递增，又，
在上单调递减，
在上单调递增，
的最小值为.
（2）由（1）知，，
，故在上单调递增，即在上单调递增，
又，
，
16．（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知函数（，且）．
(1)若，求函数的最小值；
(2)若，证明：．
【解析】（1）若，则，，所以，
设则，得在上为增函数．
又，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值．所以的最小值为1．
（2）因为，，，所以，
设，其中，得，
所以在上为增函数，当时，时，，
所以存在使得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
①当时，由（1）知，由，有；
②当时，，由在上为增函数，
有，得在上单调递增，且，
所以存在使得，要证，
因为，在上单调递增，只要证，只要证，
又当时，成立，
所以当时，；
③当时，，由在上为增函数，
所以，且，所以存在使得，
要证，因为，在上单调递减，
且时，只要证，只要证，
又，由恒成立，故成立，
所以当时，也成立，
综上，当时，成立.