备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题07函数中的双变量问题(学生版+解析)

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函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.
(一) 与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增.
【例1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期调研）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，令得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减；
综上，单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意存在且，不妨设，
由（1）知时，单调递减．
等价于，
即，
即存在且，使成立．
令，则在上存在减区间．
即在上有解集，即在上有解，
即，；令，，，
时，，在上单调递增，
时，，在单调递减，
∴，∴．
(二) 与极值点有关的双变量问题
与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
【例2】（2024届黑龙江省双鸭山市高三下学期第五次模拟）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：．
【解析】（1）当时，的定义域为，
所以，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
（2），
由题意可知，是方程的两根，
则，解得，所以，，
要证
，
即证，
只需证，
需证
令，则需证，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，因此
由得，，所以，故得证,
【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数.
(1)当时，试讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，证明：.
【解析】（1）当时，定义域为，
，
令解得或，且当或时，，当时，，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.
（2）由已知，可得，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，又，，
所以
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
令，则恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
又由对勾函数知在上单调递增，
所以，所以，即得证.
(三) 与零点有关的双变量问题
与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.
【例4】（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数.
(1)讨论函数的单调性，并求的极值；
(2)若函数有两个不同的零点（），证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，由题意，，
当时，，函数在单调递增，无极值.
当时，令，得
∴在单调递增，在单调递减，
所以函数在时取极大值，极大值为无极小值.
（2）由题意，令，且，则有，
两式相减可得，，要证.即证，
令，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，即有 .
，两式子相加得，，则要证，
即证，由上式只需证，
即证，
令，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，即有.综上：.
(四) 独立双变量,各自构造一元函数
此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.
【例5】（2024届陕西省宝鸡实验高中高三一模）已知函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若存在使得，试求的取值范围.
【解析】（1），，
当时，，，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，且时，，
故当时，函数的零点在内，满足条件．
同理，当时，函数的零点在内，满足条件，综上．
（2）问题当时，，
，
①当时，由，可知；
②当时，由，可知；
③当时，，在上递减，上递增，
时，，
而，设
（仅当时取等号），在上单调递增，而，
当时，即时，，
即，
构造，易知，在递增，
，即的取值范围是．
(五) 构造一元函数求解双变量问题
当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的.
【例6】（2024届山东省菏泽市高考冲刺押题卷）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.
所以在上单调递减，
故的单调递减区间为，没有单调递增区间.
（2）证明，
只需证：，
即证：，
令，所以，
只需证：，即证：，
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以.
(六) 独立双变量,把其中一个变量看作常数
若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量
【例7】已知函数，
(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；
(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；
(3)若，且，证明：>
【解析】 (1)，在处切线斜率，，所以切线，
又，设与相切时的切点为，则斜率，
则切线的方程又可表示为，
由，解之得．
(2)由题可得对于恒成立，即对于恒成立，
令，则，由得，
则当时，，由，得：，即实数的取值范围是．
(3)由题知，
由得，当时，，单调递减，
因为，所以，即，
所以，①同理，②
①+②得，
因为，由得，即，
所以，即，所以．
(七) 双变量,通过放缩消元转化为单变量问题
此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题
【例8】（2024届河北省衡水市高三下学期联合测评）过点可以作曲线的两条切线，切点为.
(1)证明：；
(2)设线段中点坐标为，证明：.
【解析】（1）证明：设切点，，所以，
即关于的方程有两个不相等的实数根.
设，则，.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以在处取值得最小值，即.
当时，，当时，，
若满足方程有两个不相等的实数根，则，
于是，即，得,
设，，得，
在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，
所以，在处取得最小值，即，所以.
（2）证明：设，
则，即，
在点处的切线方程都过，
于是，由，得，
由，得
两式相减整理得：，
，
不妨设，所以，则，
，所以在上单调递减，于是，
于是，即.
【例1】（2024届陕西省西安市一中高三考前模拟）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若，不相等的实数满足，求证：.
【解析】（1）依题意，，则，令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，无极大值；
（2）令，则，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以，
所以在上单调递增，
，即，
因为，所以，要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，令，则，
所以为上的增函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，都有，从而原命题得证.
【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
【解析】（1），令，解得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）要证，只需证，因为，
故只需证． 令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
【例3】（2024届天津市部分区高三二模）已知，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
(3)设，若存在，使得，证明：．
【解析】（1）由函数，可得其定义域为，
当时，可得，则，
当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，可得，则，
恒成立，即恒成立，令，
若，则，存在，使得，
即，不符合题意，，
取，则，可得，即存在，使得．
（3）由函数，可得，
设，由，可得，
则，
又由，可得，函数为单调递增函数，
，即，，
设，可得，
当时，，即，，
即，，
代入可得：，
则，．
【例4】（2024届四川省百师联盟高三联考三）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.
【解析】（1）当时，，
，，
则切线方程为，化简得.
（2）证明：由题，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需故，故.
又，，
所以
.
若证，
即证，即.
令，，
，则在上递增，且有，
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增；
所以，.
即得证.
【例5】（2024陕西省西安八校高三下学期联考）已知函数的图象在处的切线过原点．
(1)求的值；
(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．
【解析】（1）易知的定义域为，
又，
的图象在处的切线方程为，
将代入，得；
（2）．
当时，取得最小值，．由（1）知，．
，得的定义域为．
则，易知单调递增，
又．
即在上有唯一解，故．
4．（2024届湖南省高三“一起考”大联考下学期模拟）已知函数，，函数，有两条不同的公切线（与，均相切的直线），.
(1)求实数的取值范围；
(2)记，在轴上的截距分别为，，证明：.
5．（2024届天津市民族中学高三下学期4月模拟）已知函数．
(1)当时，试求函数图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点、；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围．
6．（2024届陕西省部分学校（菁师联盟）高三下学期5月份高考适应性考试）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，且.求证：.
7．（2024届广东省广州市二模）已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
8．（2024届重庆市名校联盟高三下学期全真模拟）T性质是一类重要的函数性质，具有T性质的函数被称为T函数，它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现，当的图像是一条连续不断的曲线时，下列两个关于T函数的定义是等价关系．
定义一：若为区间上的可导函数，且为区间上的增函数，则称为区间上的T函数．
定义二：若对，，都有恒成立，则称为区间上的T函数．请根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知函数．
①判断是否为上的T函数，并说明理由；
②若且，求的最小值
(2)设，当时，证明：．
9．（2024届河南省九师联盟高三下学期5月联考）已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．
10．（2024届湖北省宜荆荆随恩高三5月联考）设函数，
(1)讨论的单调性．
(2)若函数存在极值，对任意的，存在正实数，使得
（ⅰ）证明不等式．
（ⅱ）判断并证明与的大小．
11．（2024届江西省上饶市六校高三5月第二次联合考试）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，求的最大值．
12．（2024届山西省临汾市高三下学期考前适应性训练）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围；
(3)若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：．
13．（2024届江苏省扬州市仪征市四校高三下学期4月联合学情检测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
14．（2024届河北省保定市高三下学期第二次模拟）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
15．（2024届云南省高中毕业生第二次复习统一检测）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.递增
极大值
递减
+
0
↗
极大值
↘
专题7 函数中的双变量问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.
(一) 与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增.
【例1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期调研）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在且，使成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，令得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减；
综上，单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意存在且，不妨设，
由（1）知时，单调递减．
等价于，
即，
即存在且，使成立．
令，则在上存在减区间．
即在上有解集，即在上有解，
即，；令，，，
时，，在上单调递增，
时，，在单调递减，
∴，∴．
(二) 与极值点有关的双变量问题
与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
【例2】（2024届黑龙江省双鸭山市高三下学期第五次模拟）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若是的两个极值点，证明：．
【解析】（1）当时，的定义域为，
所以，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
（2），
由题意可知，是方程的两根，
则，解得，所以，，
要证
，
即证，
只需证，
需证
令，则需证，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，因此
由得，，所以，故得证,
【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数.
(1)当时，试讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，证明：.
【解析】（1）当时，定义域为，
，
令解得或，且当或时，，当时，，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.
（2）由已知，可得，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，又，，
所以
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
令，则恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
又由对勾函数知在上单调递增，
所以，所以，即得证.
(三) 与零点有关的双变量问题
与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.
【例4】（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数.
(1)讨论函数的单调性，并求的极值；
(2)若函数有两个不同的零点（），证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，由题意，，
当时，，函数在单调递增，无极值.
当时，令，得
∴在单调递增，在单调递减，
所以函数在时取极大值，极大值为无极小值.
（2）由题意，令，且，则有，
两式相减可得，，要证.即证，
令，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，即有 .
，两式子相加得，，则要证，
即证，由上式只需证，
即证，
令，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，即有.综上：.
(四) 独立双变量,各自构造一元函数
此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.
【例5】（2024届陕西省宝鸡实验高中高三一模）已知函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若存在使得，试求的取值范围.
【解析】（1），，
当时，，，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
，且时，，
故当时，函数的零点在内，满足条件．
同理，当时，函数的零点在内，满足条件，综上．
（2）问题当时，，
，
①当时，由，可知；
②当时，由，可知；
③当时，，在上递减，上递增，
时，，
而，设
（仅当时取等号），在上单调递增，而，
当时，即时，，
即，
构造，易知，在递增，
，即的取值范围是．
(五) 构造一元函数求解双变量问题
当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的.
【例6】（2024届山东省菏泽市高考冲刺押题卷）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.
所以在上单调递减，
故的单调递减区间为，没有单调递增区间.
（2）证明，
只需证：，
即证：，
令，所以，
只需证：，即证：，
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以.
(六) 独立双变量,把其中一个变量看作常数
若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量
【例7】已知函数，
(1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；
(2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；
(3)若，且，证明：>
【解析】 (1)，在处切线斜率，，所以切线，
又，设与相切时的切点为，则斜率，
则切线的方程又可表示为，
由，解之得．
(2)由题可得对于恒成立，即对于恒成立，
令，则，由得，
则当时，，由，得：，即实数的取值范围是．
(3)由题知，
由得，当时，，单调递减，
因为，所以，即，
所以，①同理，②
①+②得，
因为，由得，即，
所以，即，所以．
(七) 双变量,通过放缩消元转化为单变量问题
此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题
【例8】（2024届河北省衡水市高三下学期联合测评）过点可以作曲线的两条切线，切点为.
(1)证明：；
(2)设线段中点坐标为，证明：.
【解析】（1）证明：设切点，，所以，
即关于的方程有两个不相等的实数根.
设，则，.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以在处取值得最小值，即.
当时，，当时，，
若满足方程有两个不相等的实数根，则，
于是，即，得,
设，，得，
在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，
所以，在处取得最小值，即，所以.
（2）证明：设，
则，即，
在点处的切线方程都过，
于是，由，得，
由，得
两式相减整理得：，
，
不妨设，所以，则，
，所以在上单调递减，于是，
于是，即.
【例1】（2024届陕西省西安市一中高三考前模拟）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若，不相等的实数满足，求证：.
【解析】（1）依题意，，则，令，解得，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，无极大值；
（2）令，则，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以，
所以在上单调递增，
，即，
因为，所以，要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，令，则，
所以为上的增函数，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，都有，从而原命题得证.
【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
【解析】（1），令，解得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）要证，只需证，因为，
故只需证． 令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
【例3】（2024届天津市部分区高三二模）已知，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
(3)设，若存在，使得，证明：．
【解析】（1）由函数，可得其定义域为，
当时，可得，则，
当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，可得，则，
恒成立，即恒成立，令，
若，则，存在，使得，
即，不符合题意，，
取，则，可得，即存在，使得．
（3）由函数，可得，
设，由，可得，
则，
又由，可得，函数为单调递增函数，
，即，，
设，可得，
当时，，即，，
即，，
代入可得：，
则，．
【例4】（2024届四川省百师联盟高三联考三）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.
【解析】（1）当时，，
，，
则切线方程为，化简得.
（2）证明：由题，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需故，故.
又，，
所以
.
若证，
即证，即.
令，，
，则在上递增，且有，
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增；
所以，.
即得证.
【例5】（2024陕西省西安八校高三下学期联考）已知函数的图象在处的切线过原点．
(1)求的值；
(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．
【解析】（1）易知的定义域为，
又，
的图象在处的切线方程为，
将代入，得；
（2）．
当时，取得最小值，．由（1）知，．
，得的定义域为．
则，易知单调递增，
又．
即在上有唯一解，故．
于是当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
在处取得极小值也是最小值．
则，
对总，使成立，
只需，得．故整数的最大值为．
1．（2024届广东省汕头市第二次模拟）设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.
(1)判断，是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
【解析】（1）
当时，，满足条件②；
令，
则，
在上存在零点，即方程有实数根，满足条件①，
综上可知，
（2）不妨设在D上单调递增，
，即①
令 则，在D上单调递减，
，即，②
由①②得：
2．（2024届山东省滨州市高三下学期二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
【解析】（1）对于任意不同的，不妨设，即，
则，
所以为上的“2类函数”.
（2）因为为上的“3类函数”，对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
（3）（i）当，可得，符合题意；
（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，
①若，则；
②若，则
；
综上所述：，，.
3．（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三最后一卷）设函数的两个极值点分别为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题，定义域为．则，
由题可得有两个不等实数根，
于是有两个不同的实数根，
等价于函数与图像在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又有极大值为，当时，，
所以可得函数的草图（如图所示）．
所以，要使函数与图像在有两个不同的交点，
当且仅当，即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：是方程的两个实数根，且，
则，
即，令，
令，则，
所以在上单调递增，且，所以，
于是，当时，有，即，
综上所述，，即的取值范围是．
4．（2024届湖南省高三“一起考”大联考下学期模拟）已知函数，，函数，有两条不同的公切线（与，均相切的直线），.
(1)求实数的取值范围；
(2)记，在轴上的截距分别为，，证明：.
【解析】（1）设直线：同时与，的图象相切，切点分别为，，
由，知，，，且，，
则可同时表示为在的切线方程和在的切线方程，
即和，两条直线相同，故它们具有相同的斜率和截距，
所以①，②，结合①②有（）.
设，则由有.
从而在上单调递增，在上单调递减，最大值为.
可作出的大致图象如下，它与有两个交点，所以，解得.
所以实数的取值范围为.
（2）设，与的切点坐标分别为，不妨设，
则由（1）知，且，
要证明，即证明.
（方法一）因为，所以，设，，
则，所以（），
只需要证明，即.
设（），则，
所以在上单调递增，，则成立，从而.
故成立，证毕.
（方法二）在上单调递增，在上单调递减，所以.
要证明即，注意到，均在区间，
故由的单调性，只要证明，
即，整理得.
设（），则.
从而在时单调递增，所以，从而成立、
故成立，证毕.
5．（2024届天津市民族中学高三下学期4月模拟）已知函数．
(1)当时，试求函数图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点、；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围．
【解析】（1）时，，故.
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，即；
（2）（ⅰ），
函数在上有两个极值点，需满足在上有两个不等的根，.
由得， 则，故此时；
（ⅱ），，，则可得，，
由不等式恒成立，则，
，
令，则，
因为，，，
又.所以，即时，单调递减，
所以，即，
故实数的取值范围是.
6．（2024届陕西省部分学校（菁师联盟）高三下学期5月份高考适应性考试）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，且.求证：.
【解析】（1）因为，.
所以切线方程为，即.
（2）证明：由（1）得
当时，单调递增；当时，单调递增减；
所以在处有极大值.
又，且当时，.
所以由且，得且，令，
则.当时，，所以，即
因为.所以①令
当时，所以在上单调递减，
由，得
所以②
又因为，由①②得：，即
7．（2024届广东省广州市二模）已知函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
【解析】（1）因为，
当时，，此时有一个零点；
当时，，所以不是函数的零点，
令，
故只需讨论与的交点个数即可，
，
因为，所以在和上单调递减，在上单调递增，
，且时，，且时，，
所以的大致图象如图所示：
故当与有一个交点，当时，与有2个交点；
综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点．
（2）函数，
当时，，所以函数只有一个极值点，不满足条件；
当时，，所以函数无极值点；
当时，，令得或；令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为，时，，所以函数在上无零点，在上有一个零点，
所以；
当时，，令得或；令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，
因为时，，
，
所以函数在上有一个零点，且，
所以，综上，．
8．（2024届重庆市名校联盟高三下学期全真模拟）T性质是一类重要的函数性质，具有T性质的函数被称为T函数，它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现，当的图像是一条连续不断的曲线时，下列两个关于T函数的定义是等价关系．
定义一：若为区间上的可导函数，且为区间上的增函数，则称为区间上的T函数．
定义二：若对，，都有恒成立，则称为区间上的T函数．请根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知函数．
①判断是否为上的T函数，并说明理由；
②若且，求的最小值
(2)设，当时，证明：．
【解析】（1）①由于，所以
记，则，
由于，所以，故在单调递增，由定义一可知，为上的T函数，
②由于为上的T函数，令，
由定义二可知，
所以，故当时可取等号，
故的最小值为，
（2）设,为单调递增函数，
由定义一可得为上的函数，
，
由于，则，
由定义二可得，
即，故
所以
9．（2024届河南省九师联盟高三下学期5月联考）已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．
【解析】（1）当时，，则，
，
所以不等式在区间上不恒成立，不合题意；
当时，函数的定义域为，且．
由可得；由可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
则，即，即，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
（2）当时，由，得，
令，则，
由可得或；由可得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以极大值为，极小值为，
若有3个不同实根，则，即的取值范围为.
此时．令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递减，
则，即，可得．
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递增，则，即，
由和，两式相加可得．
10．（2024届湖北省宜荆荆随恩高三5月联考）设函数，
(1)讨论的单调性．
(2)若函数存在极值，对任意的，存在正实数，使得
（ⅰ）证明不等式．
（ⅱ）判断并证明与的大小．
【解析】（1），，
若，则，在上单调递增，
若，由得，
当时；当时，，
∴在单调递增，在单调递减.
（2）∵存在极值，由（1）知，
，
由题设得，
∵，设，
（ⅰ）要证明即证明，
设，（），则，
∴在上单调递增，，
∴，即得证，
（ⅱ），
，
∴，
∵在上是减函数，∴.
11．（2024届江西省上饶市六校高三5月第二次联合考试）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）时，，函数的定义域，
，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以时，取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）函数的定义域，，
当时，，函数在上单调递增，
趋向于时，趋向于，与矛盾.
当时，则时，，在上单调递减，
则时，，在上单调递增，
时，取得最小值，最小值为，
即，则，
令，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，取得最大值，最大值为，
即当，，的最大值为.
12．（2024届山西省临汾市高三下学期考前适应性训练）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围；
(3)若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：．
【解析】（1）由题可知，函数的定义域为，
，所以，又因为
所以函数在处的切线方程为．
（2）方法一：若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程
有且只有一个根，
设函数，即函数有唯一零点．
令，即
因为，所以
当即时，，所以在上单调递增，且
所以在上有唯一零点，符合题意．
当时，，使得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为，所以；当时，，
所以满足，不合题意.
综上可得的取值范围为．
方法二：若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程
有且只有一个根，因为时满足方程，
所以要使得方程有且只有一个根，则当时方程无根，即函数与函数的图象没有交点．
设则
令则
，
所以在上单调递减，又，所以，所以．
当时成立．综上可得：．
13．（2024届江苏省扬州市仪征市四校高三下学期4月联合学情检测）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明．
【解析】（1）首先由可知的定义域是，从而.
故，从而当时，当时.
故在上递增，在上递减，所以具有最大值.
所以命题等价于，即.所以的取值范围是.
（2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有.
在的范围内定义函数.
则，所以单调递增.
这表明时，即.
又因为，且和都大于，
故由在上的单调性知，即.
14．（2024届河北省保定市高三下学期第二次模拟）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
【解析】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
15．（2024届云南省高中毕业生第二次复习统一检测）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
【解析】（1）由已知得的定义域为，
且
，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，
，
，
，即的取值范围为.
（2）由（1）知，的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.
、是的零点，且，
、分别在、上，不妨设，
设，
则
当时，，即在上单调递减.
，，即，
，，
，，
又，在上单调递增，，即.
递增
极大值
递减
+
0
↗
极大值
↘