长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l的一个方向向量为,则直线l的倾斜角( )
A.B.C.D.
2．椭圆上的动点P到其左焦点的距离的最大值为( )
A.4B.5C.6D.8
3．已知,,动点P满足,则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线的一C.双曲线D.射线
4．O为坐标原点,F为抛物线的焦点,P为C上一点,若,则P点的坐标为( )
A.B.C.D.
5．已知直线与y轴交于点P,将l绕点P逆时针旋转后与x轴交于点Q,要使直线l平移后经过点Q,则应将直线l( )
A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
6．已知在圆上恰有两个点到原点的距离为,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆的左､右焦点分别为,,点P在C上,O为坐标原点,若满足的点P有四个,则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8．已知,分别为双曲线的左､右焦点,过点的直线与双曲线的右支交于A,B两点,记的内切圆的半径为,的内切圆的半径为,若,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.3
二、多项选择题
9．如图所示,一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论正确的是( )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的短轴长为2
C.椭圆的离心率为
D.椭圆的一个方程可能为
10．已知点及圆及,过圆上一点P作圆的两条切线,,圆C为的外接圆,则( )
A.圆C半径为定值
B.当轴时,直线方程为
C.的值不可能为4
D.当点P横坐标为0时,直线的方程为或
11．“”可以看作数学上的无穷符号,也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点,的距离之积为定值.则下列说法正确的是( )
（参考数据：）
A.若,则C的方程为
B.若C上的点到两定点,的距离之积为16,则点在C上
C.若,点在C上,则
D.当时,C上第一象限内的点P满足的面积为,则
三、填空题
12．若圆和圆外切,则__________.
13．已知双曲线,M,N是C上的两点,P是的中点,O为坐标原点,直线的斜率为,则直线的斜率为__________.
14．若点A在抛物线上运动,点B在圆上运动,,则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知直线,.
（1）若,求a的值;
（2）若,求过原点O与点的直线l的方程.
16．已知双曲线的离心率为,为双曲线的右焦点,且点F到直线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若点,点P为双曲线C左支上一点,求的最小值.
17．设A,B是平面上两点,则满足（其中k为常数,且）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知,,且点P满足.
(1)求点P所在圆M的方程;
(2)已知圆与x轴交于C,D两点（点C在点D的左边）,斜率不为0的直线l过点D且与圆M交于E,F两点,证明：.
18．已知椭圆经过点,其右焦点为,下顶点为B,直线与椭圆C交于另一点D,且.
(1)求椭圆C的方程;
(2)O为坐标原点,过点M作x轴的垂线,垂足为A,过点A的直线与C交于P,Q两点,直线与交于点H,直线与交于点G,设的面积为,的面积为,试探究是否存在最小值.若存在,求出此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
19．已知双曲线的虚轴长为,一条渐近线方程为为双曲线的右焦点,过F作直线交双曲线于A,B两点,过F点且与直线垂直的直线交直线于P点,直线交双曲线于M,N两点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线的斜率为,求的值;
(3)设直线,,,的斜率分别为,,,且,记,,,试探究v与u,w满足的方程关系,并将v用w,u表示出来.
参考答案
1．答案：C
解析：因为直线l的一个方向向量为,所以直线l的斜率,
又因为,所以,
故选：C.
2．答案：B
解析：,,,.
故选：B.
3．答案：B
解析：,即,
其中,,,
所以,由双曲线的定义可知,点P的轨迹为双曲线的一支.
4．答案：D
解析：因为抛物线,所以,
由抛物线的定义得：,
解得,则,所以P点坐标为,
故选：D.
5．答案：D
解析：设直线l的倾斜角为,则,旋转后的直线斜率为,
又点P坐标为,所以旋转后的直线方程为,因为直线l过点,
所以把直线l向右平移个单位长度后经过点Q.
故选：D.
6．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为,
依题意可知,以原点为圆心,半径为的圆,与圆C相交,,
所以,即,所以.
故选：C.
7．答案：A
解析：由椭圆可知,,所以.又知,
所以.设C的上顶点为A,要使满足条件的点P有四个,则,
易知为等腰三角形,当时,则,即,要满足,
则,所以,且.
故选：A.
8．答案：B
解析：过分别作,,的垂线,垂足分别为D,E,F,
则,,,
,则,
又,则,
,即在直线上,
,,
则,
又,则,即,
,故离心率为,B正确.
9．答案：CD
解析：由题意易知椭圆的短半轴长,短轴长为,截面与底面所成的角为,
椭圆的长轴长为,,,
离心率为,,当建立坐标系以椭圆中心为原点,椭圆的长轴在x轴上,
短轴在y轴上时,则椭圆的方程为,
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：对于A,由题意,,所以的外接圆就是四边形的外接圆,
其直径为,半径为,A正确;
直线是弦的垂直平分线,当轴时,直线方程为,B错误;
当的值为4时,为圆的直径,两切线平行,不可能都过点P,C正确;
当点P坐标为时,圆C方程为,即,
圆方程为,两方程相减得,当点P坐标为时,
圆C方程为,即,
与圆方程相减得,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：已知原点O在C上,则,设为C上任意一点,
则有,整理得.
若,则C的方程为,故A正确;
若,则,将代入方程得,显然点不在此曲线上,故B错误;
若,点在C上,有,整理得,
所以,故C正确;
因为的面积,,则,
所以点P是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点,
联立方程组解得,,所以,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：2
解析：圆C的圆心为,半径为r.圆D的标准方程为,圆心为,半径为3.
圆心距为,由于两个圆外切,所以.
13．答案：-4
解析：设,,,因为M,N是C上的两点,P是的中点,O为坐标原点,直线的斜率为,
所以①②③④,
所以②-③得,整理得,
所以.
14．答案：2
解析：抛物线的焦点的坐标为,准线方程为,
为圆的圆心,圆的半径为,
设点,则由抛物线的定义得,
,
由三角形三边关系得到,当且仅当A,B,F共线时,等号成立,
所以,
令,则,
所以,
当且仅当,即时等号成立,故的最小值为2.
故答案为:2
15．答案：（1）3或
（2）
解析：（1）因为直线斜率为,且,
所以,直线斜率为,
由得,解得或,
当或时,均不重合,所以a的值为3或.
（2）因为直线斜率为,且,
所以,直线斜率为,
由得,
所以直线l的斜率为,
所以直线l的方程为,即.
16．答案：(1)
(2)23
解析：(1)由题意知得
则,
所以双曲线C的方程为.
(2)记双曲线C的左焦点为,则,
,当P,,A三点共线时,最小,
且最小值为.故的最小值为.
17．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由题意可得,
设,则,
整理得,即圆M的方程为.
(2)证明：对于圆,令,得或,所以,.
设直线l的方程为,,.
由得,
则.
,
则直线与关于x轴对称,即.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,由,,得,,
由,得,所以,,
所以,得,所以,
将点代入椭圆C的方程得,即,解得,
所以.
故椭圆C的方程为.
(2)由题意可知,,直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程,,,
由得,
所以,,
,
,
又的方程为,与直线联立可得,
的方程为,与直线联立可得,
所以,
则,
当时,,
所以,
又,,
所以,
所以,当且仅当取得等号.
当时,,
所以.
又知一,
则.
综上可知,当时,存在最小值,
此时直线的方程为.
19．答案：(1)
(2)30
(3)
解析：(1)由题意知得,,则,,
所以双曲线的标准方程为.
(2),由题意可知,则直线的斜率,
所以直线的斜率,故直线的方程为,
联立直线和双曲线,得,显然,
由韦达定理得,,
所以.
(3)设,,,则,
因为,故直线的方程为,代入,得点,
所以.
因为点在双曲线上,故,满足双曲线方程,即,
所以,
所以,
,
又,联立直线双曲线,得,
根据题意知,此方程的两根即为,所以,
所以
所以,即.