长春市第二实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角是( ).
A.B.C.D.
2、设点是直线上的动点,O为原点,则的最小值是( )
A.1B.C.2D.
3、双曲线上一点P到它的一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离等于( )
A.3B.7C.D.3或7
4、已知直线与互相垂直,且交点为,则( )
A.24B.20C.18D.10
5、已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则( )
A.3B.C.12D.2
6、已知,分别是椭圆的左,右焦点,P是椭圆C在第一象限内的一点,若,则( )
A.B.2C.D.
7、在椭圆上求一点M,使点M到直线的距离最大时,点M的坐标为( )
A.B.C.D.
8、已知F是椭圆的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若,且,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、关于直线,以下说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.时,直线l过第一,二,三象限
C.时,直线l不过第三象限
D.原点到直线l的距离的最大值为1
10、圆与圆相交于A,B两点,则( )
A.AB线方程为B.公共弦AB的长为
C.圆与圆的公切线长为D.线段AB的中垂线方程为
11、椭圆C的方程为,焦点为,,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的焦距为3B.椭圆C的长轴长为10
C.椭圆C的离心率为D.椭圆C上存在点P,使得为直角
12、若方程所表示的曲线为C则下面四个说法中正确的是( )
A.若,则C为椭圆
B.若C为椭圆,且焦点在y上,则
C.曲线C可能是圆
D.若C为双曲线,则
三、填空题
13、点P两定点,距离之和为6,则点P的轨迹方程是______.
14、有一光线从点射到直线以后,再反射到点,则这条光线的反射线所在直线的方程为_____________.
15、已知点P为椭圆上一点,点,分别为椭圆C的左,右焦点,若,则的内切圆半径为_____
16、已知点P是双曲线上一点,,分别是双曲线E的左,右焦点,的周长为,则的面积为_________.
四、解答题
17、已知平面直角坐标系内两点,.
（1）求直线AB的方程;
（2）若直线l平行于直线AB,且到直线AB的距离为2,求直线l的方程.
18、已知圆.
（1）若直线l与C交于A,B两点,线段AB的中点为,求;
（2）已知点P的坐标为,求过点P的圆C的切线l的方程.
19、已知圆C经过两点,,且圆心C在x轴上.
（1）求圆C的标准方程;
（2）已知直线l与直线AB平行,且与圆C相交所得弦长为,求直线l的方程.
20、如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
（1）求圆C的方程;
（2）若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处,正沿着北偏东方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?
21、已知椭圆,左右焦点分别为,,直线l与椭圆交于A,B两点,弦AB被点平分.
（1）求直线l的方程;
（2）求弦的长.
22、在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆外切,与圆内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程;
（2）直线l过点且与动圆圆心P的轨迹交于A,B两点.是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积的最大值;若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析:把直线方程化简为斜截式,得到,设倾斜角为,得到,根据倾斜角的定义,可得
故选:A
2、答案：B
解析:原点到直线的距离为,
故的最小值为.
故选:B.
3、答案：D
解析:双曲线,即,
所以,,则,,,
设P到另一个焦点的距离为m,
根据双曲线的定义可得,解得或,
即点P到另一个焦点的距离等于3或7.
故选:D.
4、答案：C
解析:因为两直线互相垂直,所以,得,直线为,代入交点,得,,再将交点代入直线,即,得,
所以.
故选:C
5、答案：A
解析：焦点在y轴上的椭圆，可得，，，
椭圆的离心率为，可得：，解得.
故选：A.
6、答案：A
解析:由椭圆的方程可得,,所以,
设,则,由P在第一象限可得,即,
因为,所以,
整理可得,
解得或2(舍),
即,,
所以在中,,
故选:A.
7、答案：A
解析:设直线与椭圆相切,
联立方程,得①,
因为直线与椭圆相切,所以,得,
当时,与的距离最大,最大距离为,
把代入①得,,得,
代入,得,
所以点M的坐标为,
故选:A
8、答案：C
解析:设椭圆右焦点为,连接,,
根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形,则,
因为,可得,所以,
则,,
由余弦定理可得,
即,即
故椭圆离心率
故选:C.
9、答案：ABD
解析:由过定点,A正确;
当,过一,二,三象限,B正确;
当,过二,三,四象限,C错误;
要使原点O直线l的距离的最大,只需,即距离等于,D正确.
故选:ABD
10、答案：ACD
解析:由,得,则,半径,
由,得,则,半径,
对于A,公共弦AB所在的直线方程为,
即,所以A正确,
对于B,到直线AB的距离,
所以公共弦AB的长为,所以B错误,
对于C,因为,,,
所以圆与圆的公切线长为,所以C正确,
对于D,根据题意可知线段AB的中垂线就是直线,因为,
所以直线为,即,所以D正确,
故选:ACD
11、答案：BC
解析:由题意,,,
椭圆的焦距为,A错误;
椭圆的长轴长为,B正确;
椭圆的离心率,C正确;
当点P为上顶点或者下顶点时,最大,此时又为锐角,可得,故,因此椭圆C上不存在点P,使得为直角,D错误
故选:BC
12、答案：BC
解析:方程所表示的曲线为C.
A.当,取时,方程为,表示圆,A误;
B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则,即,所以B正确;
C.时,方程为,表示圆,所以C正确;
D.C为双曲线,可得,解得或,所以D错误.
故选:BC
13、答案：
解析:明显可见,,,且,
满足P轨迹为焦点在y上的椭圆,解得,,
可得出,
所以,可得轨迹方程为:.
故答案为:
14、答案：
解析:设点关于直线的对称点为,
则,解得,,,
,
直线BC的方程为,
即.
故答案为:.
15、答案：或
解析:因为,,所以,
,,则,
等腰边上的高,
所以,
设的内切圆半径为,则,
所以.
故答案为:.
16、答案：
解析:根据对称性,不妨设P在双曲线E的右支上,则.
因为,的周长为,所以,
所以,.
在中,,则,
所以的面积为.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）或
解析:（1）,
由两点式可得直线AB的方程为,即.
（2）由（1）可设直线,
,解得或.
直线l的方程为或.
18、答案：（1）2
（2）或.
解析:（1）由题意圆心到直线l的距离为,圆半径为,
弦长;
（2）在直线l斜率不存在时,显然直线与圆C相切,
在直线l斜率存在时,设方程为,即,
由,解得,
切线方程,即.,
综上,切线方程为或.
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）设圆C的标准方程为,其中,半径为r,,
圆C经过点,,
解得,
圆C的标准方程为;
（2）由题意可得:,所以直线l的斜率为,
设的方程为,圆心到直线l的距离为,
直线l与圆C相交所得弦长为,解得或
经检验知,当时,直线l与直线AB重合,舍去
所以l的方程为.
20、答案：（1）;
（2）该船有触礁的危险.
解析:（1）依题意,因A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处,则点,
又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处,则,
设过O,A,B三点的圆C的方程为,
则,解得,
所以圆C的方程为.
（2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处,则,
而船D沿着北偏东方向行驶,则船D的航线所在直线l的斜率为1,直线l的方程为,
由（1）知,圆C的圆心为,半径,
则圆心C到直线l的距离,则,
所以该船有触礁的危险.
21、答案：（1）
（2）5
解析:（1）设交点坐标,,
因为弦AB被点平分,
所以,,
又,
两式相减得:,
所以直线l的斜率,
故直线l的方程为.
（2）由（1）可知,与椭圆方程联立,
所以,,
由弦长公式可知.
22、答案：（1）;
（2）存在,.
解析:（1）设点,动圆P的半径为r,
由题意知,,,
.
由椭圆定义可知,动圆圆心P在以M,N为焦点的椭圆上,
,,
.所以.
由于圆M内切于圆N于点,则.
因此,动圆圆心P的轨迹方程为.
（2）因为直线l过点,
若直线l的方程为,显然构成不了,故舍去;
故可设直线l的方程为,
则,整理得.
由.
设点,,
则,.
则,
因为.
设,则,
则.
设,
所以在区间上为增函数,
所以所以,
当且仅当时取等号,即.
因此,面积的最大值为.