吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期10月 数学学科试题

这是一份吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期10月 数学学科试题，共18页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第三章~第三章3.1.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．(0,+∞)
3．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．5D．10
4．已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．若椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
8．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，下列选项正确的是（ ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．直线过定点
C．当时，
D．当时，
10．已知椭圆C：的左、右两焦点分别是、，其中.过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若AB的中点为M，AB所在直线斜率为k，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
11．已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线围成的图形面积为
C．若点在曲线上，则
D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知圆：和圆：内切，则 ．
13．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ；当取得最大值时，椭圆的焦距为 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；
（2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
16．已知圆与圆相交于A、B两点.
(1)求公共弦AB所在直线方程；
(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程.
17．如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是O，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．
这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．
(1)以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)求经过点F，且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C，D两点，求的面积．
18．如图，已知圆O：和点，由圆O外一点P向圆O引切线，Q为切点，且有 .
（1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?
（2）求的最小值；
（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.
19．已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.
(1)求的值；
(2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.
1．D
【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得该直线的倾斜角.
【详解】根据直线方程可知其斜率为，
设直线倾斜角为，则，则，可得．
故选：D．
2．B
【解析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．
【详解】方程化为标准方程为，有，∴．.
故选：B
3．B
【分析】判断出圆心在直线上即可求解.
【详解】圆即，故圆心为，
显然圆心在直线上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.
故选:B．
4．B
【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程.
【详解】联立，解得，
即直线：，：的交点为，
又直线的一个方向向量，
所以直线的斜率为，故直线的方程为，
即，
故选：B．
5．B
【分析】结合椭圆的定义及余弦定理即可求解.
【详解】由题意得，，则，
在中，由余弦定理可得，
,
所以.
故选：B．
6．D
【分析】根据题意，作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：如图，因为过点的直线与线段有公共点，
所以直线的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间，
因为点在直线上，
所以点是直线与直线的交点，
由图可知点的轨迹为线段，
由于，故直线的方程为，与联立得，即
所以实数的取值范围为
故选：D
7．B
【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【详解】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
8．C
【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.
【详解】如图所示.
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
故选：C
9．AD
【分析】利用垂直关系求出直线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；求出直线斜率判断垂直或平行判断CD.
【详解】对于A，设垂直于直线的直线方程为，
将点代入得，因此所求直线方程为，A正确；
对于B，直线的方程化为：，
由，得，因此直线过定点，B错误；
对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误；
对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率，又直线在上的截距分别为，因此，D正确.
故选：AD
10．AD
【分析】对A，由椭圆定义可知；
对B，设，，分别写出中点M，k，，点A、B在椭圆上的两程作差整理可得；
对C，当轴时，最小，由坐标求出即可建立齐次方程，求出离心率；
对D，，，结合椭圆方程化简得，由，可得，即可由齐次方程解出离心率范围.
【详解】对A，∵直线AB过左焦点，∴的周长为，A对；
对B，设，，则，点，∴．
由，①-②得，∴，∴，B错；
对C，当轴时，最小，令，由解得，∴，
整理得，即，解得或（舍），C错；
对D，，，∴，
∵，∴，即，即，可得，
则椭圆的离心率的取值范围是，D对．
故选：AD．
11．ABC
【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理，计算判断即可．
【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点有，即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，故选项A正确；
因为点在曲线上，点，点也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称，当，时，曲线的方程为，
表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），
因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，
所以曲线围成的图形的面积是，故选项B正确；
点，在曲线上，则，，
，，解得，故选项C正确；
曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故选项D不正确．
故选：ABC．
12．8
【分析】根据两圆内切可得方程，求解即可.
【详解】圆：，圆心，半径为，
圆：，圆心，半径，
因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）．
故答案为：
13．2
【分析】求出关于直线和的对称点，由两个对称点间距离得结论．
【详解】设点P关于直线AB的对称点为，
直线方程为，
因此．解得，即，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2．
故答案为：．
14．
【分析】知道点在椭圆内，建立不等式，得到参数范围；再利用椭圆解析式的特点得出焦点，利用椭圆的定义转化线段和，利用三角形三边定理建立不等关系，解出参数取值范围.
【详解】因为点是椭圆内一点，所以，
由，可得.
∵，则，知为椭圆的下焦点，
设椭圆的上焦点为，则.又，
当且仅当三点共线时等号成立，所以，
所以，所以，
故的取值范围是：.
当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4.
故答案为：，4.
15．（1）；（2）或
【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论；
（2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）因为，
所以线段的中点为，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线的方程为，即.
（2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为，
故所求直线方程为，即；
②当直线不过原点时，
由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为，
所求直线方程为：，即，
由①②知所求直线方程为或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）两圆方程相减即可得到公共弦AB所在直线方程；
（2）通过过交点的圆系方程设出圆，代入原点求解即可.
【详解】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为.
（2）设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
17．(1)
(2)
【分析】（1）设为椭圆上一点，得到，根据椭圆的定义即可求解；
（2）设直线：，联立椭圆的方程，得到；有两个方法求得弦长，法一：解方程得到、的坐标，由两点间的距离公式得到弦长；法二：利用韦达定理和弦长公式求得弦长，再求得点到直线CD：的距离，即可求解.
【详解】（1）如图，设为椭圆上一点，
由题意可知且，
所以点是以F，O为椭圆的左、右焦点，长轴长的椭圆，
即，，所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）经过F且与直线FO夹角为的直线的倾斜角为或，
由椭圆的对称性，不妨设直线的倾斜角为，即直线的斜率，
又，则直线CD：．
设，，
联立，消去y得．
方法一：解得，不妨取，，
将，的值分别代入，得，，
所以，，
所以．
点到直线CD：的距离，
故的面积．
方法二：，则，，
所以．
点到直线CD：的距离，
故的面积．
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
18．（1），轨迹是斜率为，在y轴上的截距为的直线，（2）（3）
【解析】(1)设点P,根据,列式化简即可得解;
(2)由可知,的最小值即为点A到直线的距离;
(3)结合圆的性质可知,与直线垂直,且圆与圆相切时,半径最小,据此求解即可.
【详解】(1)设点P的坐标为,
,,
由题意有,整理为:,
故点P的轨迹方程为,
点P的轨迹是斜率为,在y轴上的截距为的直线;
(2)由和(1)可知,
的最小值即为点A到直线的距离,
故其最小值为;
(3)由圆的性质可知,当直线与直线垂直时,
以此时的点P为圆心,且与圆O相外切的圆即为所求,
此时的方程为,
联立方程,解得,即,
又点O到直线的距离为,可得所求圆的半径为,
故所求圆的标准方程为.
【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需要学生有一定的分析和计算能力,属于中档题.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题可知，当时，设椭圆左焦点为，则，再根据椭圆定义和三角形面积可求得，，的值，即可求得；
（2）由题可知点，直线的斜率不为0，设其方程，并和椭圆方程联立，根据韦达定理及相关知识，可确定点的轨迹方程，设直线的倾斜角分别为，则，再根据两角差的正切公式即可求得结果.
【详解】（1）因为①，
设椭圆的左焦点为，因为，所以.
即，又，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以②，又③，
由①②③，解得，所以.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，
联立，得，
设，易得，则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
因为，所以，解得
所以动点的轨迹方程为.
由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为.