吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第二章~第三章3.3.2抛物线的几何性质.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2.椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
3.已知，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线的一支 C.双曲线 D.射线
4.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的短轴长为2
C.椭圆的离心率为
D.椭圆的一个方程可能为
10.已知点及圆及，过圆上一点作圆的两条切线，圆为的外接圆，则（ ）
A.圆半径为定值
B.当轴时，直线方程为
C.的值不可能为4
D.当点横坐标为0时，直线的方程为或
11.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：）
A.若，则的方程为
B.若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上
C.若，点在上，则
D.当时，上第一象限内的点满足的面积为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若圆和圆外切，则__________.
13.已知双曲线是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为__________.
14.若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知直线.
（1）若，求的值；
（2）若，求过原点与点的直线的方程.
16.（本小题满分15分）
已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
17.（本小题满分15分）
设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足.
（1）求点所在圆的方程；
（2）已知圆与轴交于两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于两点，证明：.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆经过点，其右焦点为，下顶点为，直线与椭圆交于另一点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，过点作轴的垂线，垂足为，过点的直线与交于两点，直线与交于点，直线与交于点，设的面积为的面积为，试探究是否存在最小值.若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线的虚轴长为，一条渐近线方程为为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求的值；
（3）设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来.
长春二实验中学高二上学期月考数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.C 因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选C.
2.B .故选B.
3.B ，即，其中，所以，由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的一支.
4.D 因为抛物线，所以，由抛物线的定义得：，解得，则，所以点坐标为，故选D.
5.D 设直线的倾斜角为，则，旋转后的直线斜率为，又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点.故选D.
6.C 圆的圆心为，半径为，依题意可知，以原点为圆心，半径为的圆，与圆相交，，所以，即，所以.故选C.
7.A 由椭圆可知，，所以.又知，所以.设的上顶点为，要使满足条件的点有四个，则，易知为等腰三角形，当时，则，即，要满足，则，所以，且.故选A.
8.B 过分别作的垂线，垂足分别为，则，
，则
，
又，则，
，即在直线上，
，则
，
又，则，即，
，故离心率为，B正确.
9.CD 由题意易知椭圆的短半轴长，短轴长为截面与底面所成的角为椭圆的长轴长为，离心率为，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴在轴上，短轴在轴上时，则椭圆的方程为，故选CD.
10.ACD 对于A，由题意，所以的外接圆就是四边形的外接圆，其直径为，半径为，A正确；直线是弦的垂直平分线，当轴时，直线方程为错误；当的值为4时，为圆的直径，两切线平行，不可能都过点正确；当点坐标为时，圆方程为，即，圆方程为，两方程相减得，当点坐标为时，圆方程为，即，与圆方程相减得，D正确.故选ACD.
11.ACD 已知原点在上，则，设为上任意一点，则有，整理得.若，则的方程为，故A正确；若，则，将代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误；若，点在上，有，整理得，所以，故C正确；因为的面积，则，所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点，联立方程组解得，所以，故D正确.故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.2 圆的圆心为，半径为.圆的标准方程为，圆心为，半径为3.圆心距为，由于两个圆外切，所以.
13. 设，因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①②③④，
所以②-③得，整理得，
所以.
14.2 抛物线的焦点的坐标为，为圆的圆心，
设点，则由抛物线的定义得，
，
因为，所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.解：（1）因为直线斜率为，且，
所以，直线斜率为，
由得，解得或，
当或时均不重合，所以的值为3或.
（2）因为直线斜率为，且，
所以，直线斜率为，
由得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
16.解：（1）由题意知得
则，
所以双曲线的方程为.
（2）记双曲线的左焦点为，则，
，当三点共线时，最小，
且最小值为.故的最小值为.
17.（1）解：由题意可得，
设，则，
整理得，即圆的方程为.
（2）证明：对于圆，令，得或，所以.
设直线的方程为.
由得，
则.
，
则直线与关于轴对称，即.
18.解：（1）设，由，得，
由，得，所以，
所以，得，所以，
将点代入椭圆的方程得，即，解得，
所以.
故椭圆的方程为.
（2）由题意可知，，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程，
由得，
所以，
，
，
又的方程为，与直线联立可得，
的方程为，与直线联立可得，
所以，
则，
当时，，
所以，
又，
所以，
所以，当且仅当取得等号.
当时，，
所以.
又知一，
则.
综上可知，当时，存在最小值，
此时直线的方程为.
19.解：（1）由题意知得，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2），由题意可知，则直线的斜率，
所以直线的斜率，故直线的方程为，
联立直线和双曲线，得，显然，
由韦达定理得，
所以.
（3）设，则，
因为，故直线的方程为，代入，得点，
所以.
因为点在双曲线上，故满足双曲线方程，即，
所以，
所以，
，
又，联立直线双曲线，得，
根据题意知，此方程的两根即为，所以，
所以
所以，即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
D
D
C
A
B
题号
9
10
11
答案
CD
ACD
ACD