咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点为( )
A.B.C.D.
3．已知两点，，直线线段相交，则k的取值范围是( )
A.B.或C.D.
4．如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则等于( )
A.B.C.D.
5．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知直线与,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为( )
A.B.C.D.
8．已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设l，m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列判断错误的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若直线，，且，，则
D.若l，m是异面直线，，，且，，则
10．下列结论正确的是( )
A.向量是直线的一个方向向量；
B.“”是“与直线互相垂直”的充要条件；
C.已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则l的方程为；
D.直线在y轴上的截距为.
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点E在上，点F在上，且，点P在线段上运动，下列说法正确的有( )
A.当点E是中点时，直线平面；
B.直线到平面的距离是；
C.存在点P，使得；
D.面积的最小值是
三、填空题
12．若方程表示圆，则实数的取值范围为________.
13．已知在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则的周长的最小值________.
四、双空题
14．在边长为1的正方形中，点E为线段的三等分点，,，则________；F为线段上的动点，G为中点，则的最小值为________.
五、解答题
15．若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程.
(2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度.
16．已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若底面为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积.
17．已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．如图，在棱长4的正方体中，E是的中点，点F在棱上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若P为平面内一点，且平面，求点P到平面的距离.
19．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得，
（1）证明：：
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为直线方程是，
所以该直线的斜率，
所以可得，
而
所以该直线的倾斜角是.
故选C
2．答案：A
解析：关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，
所以点关于x轴对称的点为.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为直线，如图
直线即恒过，
而，
因为直线l与线段相交，结合图形，
故直线l的斜率k的范围为：或.
故选：B
4．答案：B
解析：
因为N为BC中点，所以,
因为M在线段上，且，
所以，
所以，
故选：B
5．答案：C
解析：取的中点F，连接，，，
根据题意易知，
为异面直线与所成的角或其补角，
又，，
由余弦定理得.
故选：C.
6．答案：C
解析：当时,直线的方程为,直线的方程为,即,所以与平行,故充分性成立;若,则解得,所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选C.
7．答案：C
解析：因为
所以
即
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：圆的圆心为原点，半径为2，
过原点且与直线垂直的直线方程为，
则点到直线的距离为.
又因为原点到直线的距离为，
所以的最小值为，则，
故选：D
9．答案：ABC
解析：对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误.
对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误.
对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误.
对于D，因为，设平面平面，，所以，
因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，
因为，，，所以，
因为，，l，a相交，所以，D正确.
故选：ABC
10．答案：AD
解析：对于A中，直线的斜率为，所以向量是直线l的一个方向向量，所以A正确；
对于B中，当直线与直线互相垂直，则，
解得或，故“”是“与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，直线l过点，且在x，y轴上截距相等，当截距为0时，直线方程为；
当截距不为0时，可得直线方程为，所以C错误；
对于D中，由，令，可得，所以在y轴上的截距为，所以D正确.
故选：AD.
11．答案：AC
解析：对于A，由E是中点，，得点F是的中点，连接，显然F也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确；
对于B，M,N分别是棱,的中点，则，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
,，
，，，
由，得，B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,
对于C，设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点P，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为，所以当时，S取得最小值为，D错误.
故选：AC
12．答案：
解析：根据题意，方程表示圆，
则，解得.
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：
连接交l于B，交x轴于C，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
解析：如图：
设点A关于直线的对称点，点A关于x轴的对称点为，
连接交l于B，交x轴于C，
则此时的周长取最小值，且最小值为，
与A关于直线对称，
，解得：，
，易求得：，
的周长的最小值.
故答案为：.
14．答案：；
解析：解法一：因为，即，则，
可得，，所以；
由题意可知：，，
因为F为线段上的动点，设,，
则，
又因为G为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
可得，，，
因为，则，所以；
因为点F在线段,上，设,，
且G为中点，则，
可得,，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为和，线段的中点为，且，
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在x轴上，令，得，
故圆心为，半径，
则圆圆C的方程为.
（2）由圆心到直线的距离，.
故线段的长度为.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接交于点E，连接，
四边形是矩形，
E为的中点，又D是的中点，
，又平面,平面,
平面；
（2）,D是的中点，
，
又平面,平面,
,
,平面,
平面,
则是三棱锥的高,
又
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），所以直线的斜率为1，
所以直线的方程为，.
（2）线段的中点，
所以直线所在直线方程为，，.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）以D为坐标原点，,,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,，,.
设平面的法向量为，则，
取，则,，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为.
（2）设，则.
因为平面，所以，则，得,，即.
因为，所以点P到平面的距离为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题，，，又，
所以由余弦定理得，故.
又，所以.
由及翻折的性质知，，
又，平面PED，所以平面PED.
又平面PED，所以.
（2）如图，连接CE，由题，，，，故.
又，，所以，故.
又，，平面ABCD，所以平面ABCD.
EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，PE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
连接PA，则，，，.
设平面PCD的法向量为，
则，可取.
设平面PBF即平面PAF的法向量为，
则，可取.
所以.
故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为.