石河子第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份石河子第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标是( )
A.B.C.D.
2．过原点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.
3．若两平行直线与之间的距离是，则( )
A.B.2C.0D.
4．已知平面的一个法向量为,点M在外,点N在内,且,则点到平面的距离( )
A.1B.2C.3D.
5．平行六面体中，O为与的交点，设,,，用,,表示，则( )
A.B.C.D.
6．已知直线,，若，则( )
A.或2B.1C.1或D.
7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A.B.C.D.
8．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A.向量与向量的夹角为
B.
C.向量在向量上的投影向量为
D.向量与向量，共面
10．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是( )
A.A点的坐标为B.
C.D.的最大值为5
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则( )
A.与平面的夹角的正弦值为
B.点到的距离为
C.线段的长度的最大值为
D.与的数量积的范围是
三、填空题
12．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为（用一般式表示）________.
13．平面上三个点，，，写出平面的一个法向量为________.
14．已知为直线上的一点，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱，的中点，点G为线段的中点.
(1)用，，表示；
(2)求的值.
16．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点B的坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点C的坐标.
17．已知直线.
（1）求证：直线l经过一个定点；
（2）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
18．在如图所示的平行六面体中,,,,,.
（1）求的长度;
（2）求二面角的大小;
（3）求平行六面体的体积.
19．已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，E为上一点，.
(1)求的长；
(2)若E为的中点，求二面角的余弦值；
(3)若M为上一点，且满足，求.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标为.
故选:C.
2．答案：C
解析：直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为，
又直线过原点，故其方程为.
故选：C.
3．答案：D
解析：因直线与直线平行，则，即
又因直线与直线的距离为，
则有，即,解得或（舍去），
故.
故选：D
4．答案：A
解析：.
5．答案：D
解析：如图：
由平行六面体的性质可得
，
故选：D.
6．答案：B
解析：因为，,，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线,重合，不满足要求，
当时，，，直线,平行，满足要求，
故选：B.
7．答案：A
解析：由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心M在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，
解得，即：，
则，
故欧拉线方程为：，
即：，
故选：A.
8．答案：C
解析：因为，所以，可化简为：，即，
由于A，B，C，P四点共面，则，解得：；
故选：C
9．答案：ABD
解析：因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以C错误；
由向量，，，可知，
向量与向量，共面，所以D正确.
故选：ABD
10．答案：ABC
解析：因为可以转化为，
故直线恒过定点，故A选项正确；
又因为，即恒过定点，
由和,满足，
所以,可得,故B选项正确；
所以,故C选项正确；
因为,设,为锐角,
则,，
所以,
所以当时,取最大值,故选项D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：如图，以D为坐标原点，,,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，设，，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即，.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值3，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意可得，解得交点坐标为，
又所求直线的倾斜角为，故斜率为，
所以直线方程为，
故答案为：.
13．答案：(答案不唯一)
解析：由，，，则，，
设平面的法向量为，则由,可取.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，为点到原点O和到点的距离之和，
即.
设关于直线对称的点为，
则解之得即.
易得，当A,P,B三点共线时，取到最小值，
且最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2).
解析：（1）在正四面体中，E，F分别为棱，的中点，点G为线段的中点，
，
所以
.
（2）正四面体的棱长为1，则，
所以.
16．答案：（1）；
（2），
解析：（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程.
（2）由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角A平分线x轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得C点的坐标为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2），.
解析：（1）直线，化为，当时，对任意实数k，恒有，所以直线l过定点.
（2）依题意，显然，直线交x轴于点，交y轴于点，而点A，B分别在x，y轴的正半轴上，即，，于是，
则的面积为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，直线l的方程的方程为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根据图形可知:,
则
（2）作,,则等于二面角的一个平面角,
因为,,,,
则,,,
易知
,
所以,所以,
即二面角的大小为;
（3）由（2）知平面,而四边形的面积,
则平行六面体的体积.
19．答案：(1)2；
(2)；
(3)10
解析：（1）因为底面为矩形，
所以，，
因为底面，底面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，
，
在中，
又，所以，解得或（舍去），
所以；
（2）在平面内过点D作交的延长线于点F，连接，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为E为的中点，
所以，，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为；
（3）依题意，，又，
所以，，又，所以，
又，平面，所以平面，
在平面内过点D作，垂足为N，
由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
在平面内过点N作交于点M，在上取点E，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以.