沧县中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份沧县中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A.B.C.D.
2．已知点,,若过点的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
3．下列命题中正确的是( )
A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
D.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若,则
4．已知曲线与直线有两个相异的交点,那么实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知点,,若圆上存在点P（不同于点A,B）使得,则实数r的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知曲线，设曲线C上任意一点A与定点连线的中点为P，则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
7．已知圆直线,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M相切于点A,B.则下列说法正确的是( )
A.四边形PAMB的面积最小值为
B.最短时,弦AB长为
C.最短时,弦AB直线方程为
D.直线AB过定点
8．已知圆,过点的直线l与x轴交于点P,与圆C交于A,B两点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知实数x,y满足曲线C的方程,则下列选项正确的是( )
A.的最大值是
B.的最大值是
C.的最小值是
D.过点作曲线C的切线,则切线方程为
10．如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是2,且它们彼此的夹角都是,P为与的交点,若,,,则下列正确的是( )
A.B.C.D.的长为
11．如图，点，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线.则( )
A.曲线与x轴围成的图形的面积等于
B.与的公切线的方程为
C.所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为
D.所在的圆截直线所得弦的长为
三、填空题
12．已知直线l经过直线和的交点,且直线l在坐标轴上的截距相等,则直线l的方程是________.
13．台风中心从A地以每小时10km的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险地区,城市B在A地正东40km处,B城市处于危险区内的时间为________小时.
14．已知圆,点,M、N为圆O上两个不同的点,且若,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知的顶点,边AB上的中线所在直线方程为,边AC上的高所在直线方程为.
（1）求顶点C的坐标;
（2）求直线BC的方程.
16．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，.
(1)证明：;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点M为线段上一点，求点M到平面的距离.
17．已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线l与圆A相交于M,N.
（1）求圆A的方程;
（2）当时,求直线l的方程.
18．如图,在四棱锥中,,,,平面平面ABCD,E为PD中点.
（1）求证:平面PCA;
（2）点Q在棱PA上,CQ与平面PDC所成角的正弦值为,求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值.
19．已知圆.
（1）证明:圆C过定点.
（2）当时,求直线被圆C截得的弦长.
（3）当时,若直线与圆C交于M,N两点,且,其中O为坐标原点,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：方法一直线的一个方向向量为，，
直线的方程为，即.
方法二由题意知直线的一个法向量为，
直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为.
故选：B
2．答案：B
解析：记为点P,直线PA的斜率,直线的斜率,
因为直线l过点,且与线段AB相交,
结合图象,可得直线l的斜率k的取值范围是.
故选:B.
3．答案：C
解析：对于A,点关于平面yOz对称的点的坐标是,A选项错误;
对于B,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
,有,则或,B选项错误;
对于C,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,
则直线l与平面所成的角为,C选项正确;
对于D,已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,
若,则,解得,D选项错误.
故选:C.
4．答案：B
解析：,变形得到,
故曲线轨迹为以为圆心,2为半径的上半圆,
恒过定点,把半圆和直线画出,如下：
当过点时,满足两个相异的交点,
且此时k取得最小值,最小值为,
当与相切时,
由到直线距离等于半径可得,解得,
故要想曲线与直线有两个相异的交点,
则.
故选：B.
5．答案：A
解析：根据直径对的圆周角为,
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点,
因为点P（不同于点A,B）,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为,两个圆的圆心距为3,
故|,求得,
故选：A．
6．答案：B
解析：设，，因为P为的中点，所以，即，
又因为点A在曲线上，所以，所以.
所以点P的轨迹方程为即.
故选：B
7．答案：B
解析：对于A,四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和,
即,
最短时,面积最小,故当时,最短,
即,
,故A错误;
由上述可知,时,最短,故最小,
且最小值为,
所以,故B正确;
当最短时,则,又,所以,,
,
可设的直线方程为,
圆心到直线AB的距离,
解得或,
由于直线AB在圆心的右侧,且在直线l的左侧,
所以,
所以,
即直线AB的方程为,故C错误;
设圆上一点,,,
,,,
易知,
由于,
所以,
同理,
,
,
,即,
令,解得,
所以直线AB过定点为,故D错误.
故选:B.
8．答案：D
解析：如图,取线段AB的中点D,连接CD,则,
由,
因直线l经过点,考虑临界情况,
当线段AB中点D与点M重合时（此时）,弦长AB最小,此时CD最长,
为,（但此时直线l与x轴平行,点P不存在）;
当线段AB中点D与点C重合时,点P与点O重合,CD最短为0（此时符合题意）.
故的范围为.
故选:D.
9．答案：BD
解析：由圆可化为,可得圆心,半径为,
对于A中,由表示圆C上的点到定点的距离的平方,
所以它的最大值为,所以A错误;
对于B中,表示圆上的点与点的斜率k,设,即,
由圆心到直线的距离,解得,
所以的最大值为,所以B正确;
对于C中,由表示圆上任意一点到直线的距离的倍,
圆心到直线的距离,所以其最小值为,所以C错误;
对于D中,因为点满足圆C的方程,即点在圆C上,
则点C与圆心连线的斜率为,
根据圆的性质,可得过点作圆C的切线的斜率为,
所以切线方程为,即,所以D正确.
故选:BD.
10．答案：AC
解析：,故A正确.
.故B错误.
又,.
,;
,
.
.
.故C正确.
,.故D错误.
故选:AC.
11．答案：BC
解析：，，所在圆的方程分别为，，.曲线与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；设与的公切线方程为（，），则，所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；由及，两式相减得，即公共弦所在直线方程，故C正确；所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，则所求弦长为，故D错误.
12．答案：或
解析：由,解得,即直线l过点,
当直线l过原点时,直线l的方程为,
当直线l不过原点时,设直线l的方程为,则,解得,方程为,
所以直线l的方程为或.
故答案为:或
13．答案：2
解析：以城市B为圆心,30km为半径画圆,如图所示,AC所在直线为台风中心的移动轨迹,,,,过点B作于点E.
在中,由锐角三角函数,
得,
在中,由勾股定理,
得,
所以,
因为台风中心的移动速度为,
所以B城市处于危险区内的时间为.
故答案为:2.
14．答案：/
解析：解法1:如图,因为,所以,故四边形PMQN为矩形,
设MN的中点为S,连接OS,则,
所以,
又为直角三角形,所以,故①,
设,则由①可得,
整理得:,
从而点S的轨迹为以为圆心,为半径的圆,
显然点P在该圆内部,所以,
因为,所以;
解法2:如图,因为,所以,
故四边形PMQN为矩形,由矩形性质,,
所以,从而,
故Q点的轨迹是以O为圆心,为半径的圆,
显然点P在该圆内,所以.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）因为边AC上的高所在直线方程为,
设线AC的斜率为k,则,解得,
又因为直线AC过点,
则直线AC的方程为,,
又边AB上的中线所在直线方程为,且该直线过点C,
所以联立,
解得C的坐标为.
（2）设,因为边AB上的中线所在直线方程为,
所以AB的中点在直线上,
且边AC上的高所在直线过顶点B,
所以,解得,即B的坐标为.
由（1）知,由两点式方程得,
化简得.
即直线BC的方程为.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为，，
所以，所以，
因为为直四棱柱，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以
（2）由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为，，.设，
所以，，，，，，
所以，，，，，
设平面的一个法向量为
则，
令，则，所以
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，所以
所以点B到平面的距离为
因为，所以
因为不在平面，所以平面，
因为M在线段上，所以点M到平面的距离等价于点B到平面的距离，为
故点M到平面的距离.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）易知到直线的距离为圆A半径r,
所以,
则圆A方程为
（2）过A做,由垂径定理可知,且,
在中由勾股定理易知
当动直线l斜率不存在时,设直线l的方程为,
经检验圆心到直线l的距离为1,且根据勾股定理可知,
显然合题意,
当动直线l斜率存在时,l过点,设l方程为:,
由到l距离为1知得,
代入解之可得,
所以或为所求l方程.
18．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）由题意:,,,同理,
又,,.而,即
又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
平面PCD,平面PCD,
,又,且面PCA,面PCA,,
平面PCA.
（2）以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设,有,
取面PCD的一个法向量,
则,
故.
令是平面CDQ的一个法向量,则,即
令,有,则,
故平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明:由,
得,
令,得,解得,,
所以圆C过定点,且定点的坐标为.
（2）当时,圆C的标准方程为,则圆C的圆心到直线
的距离,
所以直线被圆C截得的弦长为.
（3）将代入,得.
设,,则,,
恒成立,
所以
,整理得,
所以k的取值范围是.