石河子第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份石河子第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、在等差数列中,若,则( )
A.12B.18C.6D.9
2、若直线,平行,则实数a的值为( )
A.-1B.3C.1或-3D.-1或3
3、在各项均为正数的等比数列中,,,则( )
A.16B.C.24D.
4、已知直线与圆交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线方程为( )
A.B.C.D.
5、空间中有三点,,则点P到直线MN的距离为( )
A.B.C.D.
6、已知等差数列的前n项和为,,,则使得不等式成立的最大的n的值为( )
A.9B.10C.11D.12
7、设抛物线的焦点为F,点P在C上,,若,则( )
A.B.12C.D.
8、数列满足,,则数列的前80项和为( )
A.1640B.1680C.2100D.2120
二、多项选择题
9、下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B.数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C.在数列1,,,2,,···中,第8个数是
D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
10、已知正三棱柱的各棱长都为1,E为AB的中点,则( )
A.直线与直线为异面直线
B.平面
C.二面角的正弦值为
D.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
11、已知正项数列的前n项和为,且,则( )
A.是递减数列B.是等差数列
C.D.
12、已知椭圆的左右焦点分别为、,点在椭圆内部,点Q在椭圆上,椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是( )
A.离心率e的取值范围为
B.当时,的最大值为
C.存在点Q,使得
D.的最小值为1
三、填空题
13、若焦点在x轴上的椭圆的焦距为,则实数m的值为____________．
14、已知为等比数列,公比,,且,,成等差数列,则通项公式_________．
15、已知数列满足．则的通项公式为___________．
16、已知圆与双曲线,若在双曲线上存在一点P,使得过点P所作的圆的两条切线,切点为A、B,且,则双曲线的离心率的取值范围是_________．
四、解答题
17、在平面直角坐标系xOy中,点C到,两点的距离之和为4.
（1）写出C点轨迹的方程;
（2）若直线与轨迹C有两个交点,求m的取值范围.
18、回答下列问题.
（1）已知等差数列的前n项和为,且满足,．求数列的通项公式;
（2）已知数列满足,,求通项公式.
19、已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
（1）求圆C的标准方程;
（2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
20、已知数列中,,．
（1）证明数列是等差数列,并求通项公式;
（2）若对任意,都有成立,求k的取值范围．
21、已知四棱锥的底面ABCD为等腰梯形,,,,平面ABCD.
（1）求证：;
（2）若四棱锥的体积为2,求平面PCD与平面PCB夹角的余弦值.
22、已知双曲线经过点,且离心率为2.
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线,交直线于点M,交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为,,若,求.
参考答案
1、答案：D
解析：因为等差数列中,
所以,所以.
故选：D.
2、答案：D
解析：由于两直线平行,所以,
解得或,
当时,,两直线平行.
当时,,两直线平行.
综上所述,a的值为-1或.
故选：D.
3、答案：C
解析：在各项均为正数的等比数列中,,,
所以,
解得或（舍去）或（舍去）,
此时,
所以,
故选：C.
4、答案：A
解析：由,圆心坐标为,
由,所以直线l的斜率为,
因此直线l的垂直平分线的斜率为2,
所以直线l的垂直平分线方程为：,
故选：A.
5、答案：A
解析：,
则,,
则,
所以点P到直线MN的距离为.
故选：A.
6、答案：C
解析：是等差数列, ,又,
所以,公差,
因此中,当时递减,是最小值,从开始,递增,
又,,
所以使得的最大的n为11,
故选：C．
7、答案：C
解析：由抛物线,可得,所以焦点,
因为,根据抛物线的定义,可得,
又因为,所以,
因为,即抛物线的通径长为20,所以轴,
所以.
故选：C.
8、答案：A
解析：设,因为的周期为,
所以的周期为.
又,,所以当n为奇数时,,
所以当n为偶数时,.
又,所以,,
,于是得到,同理可求出
,…,
设,则数列是以6为首项,8为
公差的等差数列,所以数列的前80项和为数列的前20项和
.故B,C,D错误.
故选：A.
9、答案：BCD
解析：因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,
所以两个数列不是同一个,故选项A错误;
当时,解得:或(舍),
即110是该数列的第10项,故选项B正确;
因为数列1,,,2,,···可写为: 1,,, ,,···,
所以第8个数是,故选项C正确;
因为,,
,
所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.
故选：BCD.
10、答案：ABD
解析：连接、交于点F,连接EF,则F为的中点,
又E为AB中点,所以,平面,平面,
所以平面,故B正确；
又,EF,平面,所以与不平行且无公共点,
所以直线与直线为异面直线,故A正确；
取的中点D,连接ED,则,又平面ABC,则平面ABC,又,
如图建立空间直角坐标系,则,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,取,
又平面ACE的法向量可以为,
设二面角为,显然为锐二面角,
则,所以,
即二面角的正弦值为,故C错误；
外接圆的半径,
所以正三棱柱外接球的半径,
所以该球的表面积,故D正确.
故选：ABD.
11、答案：ACD
解析：因为,所以.因为,所以.
当时,因为,所以,
所以,所以是首项为1,公差为1的等差数列,故D正确；
因为,所以,故B错误；
因为（也满足）,
所以,
所以是递减数列,故A正确；
因为,即,所以C正确.
故选：ACD.
12、答案：ABD
解析：对于A项：因为点在椭圆内部,所以,得,
所以得：,故A项正确；
对于B项：由椭圆定义知,
当Q在x轴下方时,且P,Q,三点共线时,有最大值,
由,得,,所以得,
所以最大值,故B项正确；
对于C项：设,若,即：,
则得,即点Q在以原点为圆心,半径为c的圆上,
又由A项知：,得,
又因为,得,
所以得：,所以该圆与椭圆无交点,故C项错误；
对于D项：由椭圆定义得,
所以
,
当且仅当时取等号,故D项正确.
故选：ABD.
13、答案：5
解析：由于椭圆焦距为,所以,
由于椭圆的焦点在轴上,,
所以,
解得.
故答案为：5.
14、答案：
解析：由,,成等差数列,且,
得,解得或,
又,所以,所以,
故答案为：.
15、答案：
解析：当时,,
,
时,,
两式相减可得,,
,当时,适合上式,
,
故答案为：.
16、答案：
解析：连接OA,OP,OB,则,
由切线长定理可得,又,,
所以
所以,
则
设点,则,且,
所以
所以,
故.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆定义可知,轨迹C是以,为焦点,长半轴长为2的椭圆,
故,,,其方程为.
（2）联立得,
因为有两个交点,所以,
解得,所以m的取值范围为.
18、答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意,设数列公差为d,
因为,所以,解得：,
所以；
（2）,
,
．
19、答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆C的圆心在直线上且与y轴切于点,
可设圆心坐标为,则,解得,.
所以圆心,半径,
故圆的方程为.
（2）由直线l过点且被圆C截得的弦长为,
根据圆的弦长公式,可得,即,解得,
当的斜率不存在时,l的方程为,此时不满足条件；
当的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则方程为,即,
可得,解得或,
所以直线方程为或.
20、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）证明：由已知可得,,
又,所以,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
所以,所以,所以.
（2）由（1）知,.
所以,所以.
则由可得,对任意,都成立.
令,假设数列中第项最大,
当时则,有,即,整理可得,
解得,所以.
因为,所以,.
又,所以数列中第2项最大,即对任意,都成立.
所以由对任意,都成立,可得.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,平面ABCD,
,
过点B作,由ABCD为等腰梯形,,
故,
所以,即,即,
,PB,平面PAB,
平面PAB,平面PAB,
故.
（2）方法一:,
,
,
.
如图,建立空间直角坐标系,
,,,,
,,
设平面PCD法向量为,
则,,
取,得
同理,设面PBC法向量为,
则,,
取,得,
由题意,.
设平面PCD与平面PCB夹角为,则,
方法二：,
∵,
,
.
平面ABCD,平面PBC,平面平面ABCD,
过D作,则平面PBC垂足为H,平面PBC,则,
过H作PC的垂线,垂足为E,连DE,
由于,,,HE,平面DEH,
所以平面DEH,平面DEH,故,
则为所求二面角夹角的平面角.
,所以,
,,,
.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,解得,
所以C的方程为；
（2）由题意,点M坐标为,点N坐标为,
设,
方法一：
①若直线AB斜率存在,设直线AB方程为,
,消去y可得,
且,
且,
,
整理可得,
,
化简得,
即,
因为直线AB不过点,所以,
所以,即,
所以直线AB的方程为,恒过定点,
②若直线AB斜率不存在,则,
,
解得,所以直线AB的方程为,过定点,
综上,直线AB恒过定点,
设点M到直线AB的距离为,点N到直线AB的距离为,
.
方法二：
因为直线AB不过点,所以可设直线AB方程为,
由可得,
即,
,
得,
等式左右两边同时除以,
得,
,
,解得,
所以直线方程为,
即,恒过定点,
下同法一.