2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣4，3]B．[﹣3，2）C．（﹣4，2）D．[﹣3，3]
2．（4分）已知{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，则n＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）若两条直线ax+2y﹣1＝0与x﹣2y﹣1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
4．（4分）已知角α的终边经过点，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（ ）
A．x＝1B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0D．x＝1或x+2y﹣5＝0
6．（4分）若f（x）＝是奇函数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1
7．（4分）设x，y∈R，则“”是“θ∈R，”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且△OPF2是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知M为△ABC所在平面内的一点，＝＝1，且，，则＝（ ）
A．0B．1C．D．3
10．（4分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（ ）
A．40.5%B．54%C．65.6%D．72.9%
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均为实数．若b+i＝i（a+i），则a+b＝ ．
12．（5分）已知椭圆的一个焦点为（0，2），则实数k的值为 ．
13．（5分）若直线y＝kx被圆C：x2+y2+2x＝0截得的弦长为1，则k＝ ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，定点A（2，0），点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是 ；若第一象限存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则线段OC的最大值为 ．
15．（5分）无穷数列{an}满足：a1∈（0.1），，其前n项和记为Sn．
给出下列四个结论：
①；
②数列{an}单调递增；
③设数列的前n项和为Tn，则存在n0∈N*，使得；
④若，则当时，一定有．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知函数的最小正周期为π，且f（x）的图像经过点．
（1）求ω和m的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，a）内有且仅有1个零点，求a的取值范围．
17．（14分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝13，c＝15，求△ABC的面积．
18．（14分）已知椭圆M：，圆N：（x+1）2+y2＝5，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．
（1）求直线l方程及椭圆M的焦距．
（2）直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．
19．（14分）已知函数f（x）＝xex．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（14分）已知椭圆E：过点，E的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点A、B为椭圆左右顶点，过点H（4，0）且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线x＝4分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：|PH|＝|QH|．
21．（15分）数列An：a1，a2，…，an（n≥4）满足：a1＝1，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，⋯，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．
（Ⅰ）若m＝2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+an．若m＝3，证明：S≥20；
（Ⅲ）若m＝2022，求n的最小值．
2022-2023学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣4，3]B．[﹣3，2）C．（﹣4，2）D．[﹣3，3]
【分析】先求出集合B，然后结合集合的并集运算即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，
则A∪B＝{x|﹣4＜x≤3}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2．（4分）已知{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝3，若an+an+2＝28，则n＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为{an}为等差数列，a1＝2，公差d＝3，
所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
an+an+2＝3n﹣1+3n+5＝28，
则n＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
3．（4分）若两条直线ax+2y﹣1＝0与x﹣2y﹣1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1＝0与x﹣2y﹣1＝0垂直，
∴a﹣4＝0，
解得a＝4．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）已知角α的终边经过点，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出tanα，再将弦化切，即可求解．
【解答】解：角α的终边经过点，
则＝，
故sin2α＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5．（4分）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（ ）
A．x＝1B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0D．x＝1或x+2y﹣5＝0
【分析】由已知可得，点A（1，2）在圆C：x2+y2＝5上，求出CA所在直线的斜率，然后利用两直线垂直与斜率的关系求得切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：∵点A（1，2）在圆C：x2+y2＝5上，
∴圆心C与点A的连线与过A点的圆的切线垂直，
又，∴切线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的切线方程的其求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
6．（4分）若f（x）＝是奇函数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1
【分析】利用奇函数的定义计算即可．
【解答】解：因为f（x）＝是奇函数，
当x＜0时，﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣bx﹣1，
即﹣f（x）＝﹣bx﹣1，
所以f（x）＝bx+1，
又因为当x＜0时，f（x）＝x+a，
所以x+a＝bx+1，
所以a＝1，b＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数的定义及性质，属于基础题．
7．（4分）设x，y∈R，则“”是“θ∈R，”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用椭圆的有关性质、三角函数的定义和三角函数的同角公式，结合充分、必要条件的定义计算化简，即可得到结果．
【解答】解：若，其轨迹为一个椭圆，则﹣2≤x≤2，﹣1≤y≤1，
得，令，得，
所以充分性成立；
由，得，
有，
所以必要性成立．
所以“”是“”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的有关性质、三角函数的定义和三角函数的同角公式以及充分、必要条件的定义，是基础题．
8．（4分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且△OPF2是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意推出|OP|＝c，继而由△OPF2是等边三角形求得，再利用椭圆定义即可求得答案．
【解答】解：由题意知∠F1PF2＝90°，
又O为F1F2的中点，
故，
又△OPF2是等边三角形，
即有|PF2|＝c，∠PF2F1＝60°，
∴，
又P在椭圆上，
故|PF1|+|PF2|＝2a，
即，
∴，
即椭圆E的离心率为．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题．
9．（4分）已知M为△ABC所在平面内的一点，＝＝1，且，，则＝（ ）
A．0B．1C．D．3
【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的线性运算求解即可．
【解答】解：由，
则，
即，
又＝＝1，，
则，
即BC＝，，
又AC＝2MC＝2，
则＝||||csC＝2×，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属基础题．
10．（4分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（ ）
A．40.5%B．54%C．65.6%D．72.9%
【分析】根据题意，前10h污染物减少19%，有P0e0﹣P0e﹣10k＝P0e0×19%，再表示出再过5h（即t＝15时）的P，即可求出再过5h后污染物含量．
【解答】解：由题设，P0e0﹣P0e﹣10k＝P0e0×19%
即（1﹣19%）＝e﹣10k，可得 e﹣5k＝0.9，
再过5个小时，P＝P0e﹣15k＝P0（ e﹣5k）3＝0.93P0＝0.729P0，
所以再过5h后污染物还剩余72.9%．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数型函数模型在实际生活中的应用，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均为实数．若b+i＝i（a+i），则a+b＝ 0 ．
【分析】由复数相等的条件求得a与b的值，则答案可求．
【解答】解：由b+i＝i（a+i）＝﹣1+ai，得b＝﹣1，a＝1，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查复数相等的条件，是基础题．
12．（5分）已知椭圆的一个焦点为（0，2），则实数k的值为 5 ．
【分析】由题意可得焦点在y轴上，由a2＝c2+b2，可得k的值．
【解答】解：∵椭圆的一个焦点是（0，2），焦点在y轴上，
∴c2＝4，a2＝k，b2＝1，
∴k＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）若直线y＝kx被圆C：x2+y2+2x＝0截得的弦长为1，则k＝ ± ．
【分析】确定圆心和半径，求得圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，即可求得答案．
【解答】解：圆C：x2+y2+2x＝0，整理可得：（x+1）2+y2＝1，
所以圆心为（1，0），半径为1，
则（1，0）到直线y＝kx的距离为d＝，
由于直线y＝kx被圆C：x2+y2+2x＝0截得的弦长为1，
所以12＝4（r2﹣d2）＝4（1﹣），
整理可得：k2＝3，解得k＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查直线与圆的的综合应用，属于中档题．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，定点A（2，0），点B为曲线上的动点．则线段AB长度的最小值是 1 ；若第一象限存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则线段OC的最大值为 ．
【分析】设B（csθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），运用两点的距离公式三角函数的性质和两直线垂直的条件，可得m，n的方程，解方程可得C的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：曲线是以O为圆心，1为半径的上半圆，
可设B（csθ，sinθ），0≤θ≤π，
则（当θ＝0时取得最小值）；
设C（m，n）（m＞0，n＞0），
由等腰直角三角形ABC，可得AB⊥AC，即有，
（csθ﹣2，sinθ）•（m﹣2，n）＝0即（m﹣2）（csθ﹣2）+nsinθ＝0，①
|AB|＝|AC|，即有，
即为（m﹣2）2+n2＝（csθ﹣2）2+sin2θ，②
由①②解得m＝2+sinθ，n＝2﹣csθ，
或m＝2﹣sinθ，n＝csθ﹣2（舍去）．
则＝＝，
当，即，取得最大值．
故答案为：1；．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
15．（5分）无穷数列{an}满足：a1∈（0.1），，其前n项和记为Sn．
给出下列四个结论：
①；
②数列{an}单调递增；
③设数列的前n项和为Tn，则存在n0∈N*，使得；
④若，则当时，一定有．
其中，所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据题意和基本不等式的应用即可判断①；利用作差法和数列的单调性即可判断②；由题意可得＝，即可判断③；利用放缩法和累加法得an+1≥（2n+1）a1，即可判断④．
【解答】解：对于①，，
当且仅当即时等号成立；
又，所以，故①正确；
对于②，，得an＜1，由知an＞0，
所以，即数列{an}单调递增，故②正确；
对于③，
＝
＝，故③错误；
对于④，，
若，则，
由累加法，得an+1≥（2n+1）a1，
当时，，若，则，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查数列的单调性和前n项和的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）已知函数的最小正周期为π，且f（x）的图像经过点．
（1）求ω和m的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，a）内有且仅有1个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简f（x）的表达式，结合其周期以及函数图像过的点即可求得答案；
（2）根据x∈（0，a），确定，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝
＝
＝，
因为最小正周期为π，
所以可得，
所以ω＝1，
又因为f（x）的图像经过点，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
当x∈（0，a）时，，
因为函数f（x）在区间（0，a）内有且仅有1个零点，
故令，
解得，
所以a的取值范围为．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想的应用，属于基础题．
17．（14分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝13，c＝15，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用余弦定理求出b，再利用面积公式计算可得．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以sinB≠0，
所以，即，
因为，所以；
（2）因为a＝13，c＝15，，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，即169＝b2+225﹣15b，解得b＝7或b＝8，
当b＝7时，则C为钝角，不符合题意，
当b＝8时，所以C为锐角，符合题意，
所以△ABC面积为．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，属中档题．
18．（14分）已知椭圆M：，圆N：（x+1）2+y2＝5，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．
（1）求直线l方程及椭圆M的焦距．
（2）直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．
【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标以及焦距，根据直线的点斜式即可求得直线方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB|，根据圆的半径、弦心距以及弦长的关系可求得|CD|，即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意知椭圆M：，
则长半轴长，短半轴长，
则焦距为，其右焦点F（1，0），
直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为，其斜率为1，
故直线l的方程为y＝x﹣1；
（2）将y＝x﹣1代入中，
可得5x2﹣6x﹣3＝0，Δ＝96＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
故，
圆N：（x+1）2+y2＝5的圆心（﹣1，0）到直线y＝x﹣1的距离为，
则，
故．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝xex．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意，对函数f（x）进行求导，得到f′（0）和f（0），代入切线方程中即可求解；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得信息，利用导数的几何意义得到函数f（x）的单调性，进而即可求解；
（Ⅲ）将问题转化成a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，构造函数g（x）＝，对函数g（x）进行求导，利用导数得到函数g（x）的单调性，进而即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝xex，函数定义域为R，
可得f′（x）＝（x+1）ex，
此时f′（0）＝1，
又f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣0），
即y＝x；
（Ⅱ）因为f′（x）＝（x+1）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（﹣1）＝﹣，无极大值；
（Ⅲ）若在x∈（1，+∞）上恒成立，
即xex＞a（+x）+1在x∈（1，+∞）上恒成立，
易知+x＞0，
则a＜在x∈（1，+∞）上恒成立，
不妨设g（x）＝，函数定义域为（1，+∞），
可得g′（x）＝＞0，
所以函数g（x）在定义域上单调递增，
则g（x）＞g（1）＝，
故实数a的取值范围为（﹣∞，]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
20．（14分）已知椭圆E：过点，E的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点A、B为椭圆左右顶点，过点H（4，0）且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线x＝4分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：|PH|＝|QH|．
【分析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程，即可求得答案；
（2）设直线l方程，联立椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），可得根与系数的关系，求出|PH|，|QH|的表达式，结合根与系数关系化简计算|PH|﹣|QH|的值，即可证明结论．
【解答】解：（1）因为椭圆E：过点，
所以，①
因为椭圆的离心率，
所以，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，解得a2＝4，b2＝3，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：易知直线l的斜率一定存在，
不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣4），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
此时Δ＝144（1﹣4k2）＞0，
解得，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由韦达定理得，
又A（﹣2，0），B（2，0），
所以直线AC的方程为，
令x＝4，
解得，
此时，
直线BD的方程为，
令x＝4，
解得，
此时，
不妨假设k＞0，
可得x1，x2∈（﹣2，2），y1，y2为负值，
所以
＝
＝，
因为
＝，
所以，
则|PH|＝|QH|，
当k＝0时，显然|PH|＝|QH|＝0；
当k＞0时，同理可证明|PH|＝|QH|，
综上可得|PH|＝|QH|．
【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21．（15分）数列An：a1，a2，…，an（n≥4）满足：a1＝1，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，⋯，n﹣1）．对任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．
（Ⅰ）若m＝2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+an．若m＝3，证明：S≥20；
（Ⅲ）若m＝2022，求n的最小值．
【分析】（Ⅰ）分别把所给的三个数列代入题目条件中进行验证，能出结果．
（Ⅱ）当m＝3时，设数列An中1，2，3出现频数依次为q1，q2，q3，由题意qi≥1（i＝1，2，3）．假设q1＜4，则与已知矛盾，从而q1≥4，同理可证：q3≥4．假设q2＝1，则与已知矛盾，所以q2≥2，由此能证明S≥20．
（Ⅲ）设1，2，…，2022出现频数依次为q1，q2，…，q2022．可得q1≥4，q2022≥4，q2≥2，q2021≥2，则n≥2030．取q1＝q2022＝4，q2＝q2021＝2，qi＝1，i＝3，4，5，…，2020，得到的数列为：Bn：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，2021，2022，2022，2022，2022．由此能出n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列An：a1，a2，…，an（n≥4）满足：a1＝1，an＝2，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．
∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；
在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；
在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件．（3分）
注：只得到 ②或只得到 ③给（1分），有错解不给分．
（Ⅱ）证明：当m＝3时，设数列An中1，2，3出现频数依次为q1，q2，q3，
由题意qi≥1（i＝1，2，3）．
①假设q1＜4，则有a1+a2＜as+at（对任意s＞t＞2），
与已知矛盾，所以q1≥4．
同理可证：q3≥4．（5分）
②假设q2＝1，则存在唯一的k∈{1，2，…，n}，使得ak＝2．
那么，对∀s，t，有a1+ak＝1+2≠as+at（k，s，t两两不相等），
与已知矛盾，所以q2≥2．（7分）
综上：q1≥4，q3≥4，q2≥2，
所以．（8分）
（Ⅲ）设1，2，…，2022出现频数依次为q1，q2，…，q2022．
同（Ⅱ）的证明，可得q1≥4，q2022≥4，q2≥2，q2021≥2，则n≥2030，
取q1＝q2022＝4，q2＝q2021＝2，qi＝1，i＝3，4，5，…，2020，
得到的数列为：Bn：1，1，1，1，2，2，3，4，…，2019，2020，2021，
2021，2022，2022，2022，2022．（10分）
下面证明Bn满足题目要求．对∀i，j∈{1，2，…，2030}，不妨令ai≤aj，
①如果ai＝aj＝1或ai＝aj＝2022，由于q1＝4，q2022＝4，所以符合条件；
②如果ai＝1，aj＝2或ai＝2021，aj＝2022，由于q1＝4，q2022＝4，q2＝2，q2021＝2，
所以也成立；
③如果ai＝1，aj＞2，则可选取as＝2，at＝aj﹣1；同样的，如果ai＜2021，aj＝2022，
则可选取as＝ai+1，at＝2021，使得ai+aj＝as+at，且i，j，s，t两两不相等；
④如果1＜ai≤aj＜2022，则可选取as＝ai﹣1，at＝aj+1，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．
综上，对任意i，j，总存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．因此Bn满足题目要求，所以n的最小值为2030．（13分）
【点评】本题考查满足条件的数列的判断，考查数列前n项和的证明，考查实数值的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是难题．
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