2022-2023学年北京市海淀区八一学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市海淀区八一学校高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知直线l经过A（1，3），B（﹣2，4）两点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
2．（5分）直线y＝x+1被圆x2+y2＝1截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（5分）已知圆的方程x2+y2+2ax+9＝0圆心坐标为（5，0），则圆的半径为（ ）
A．2B．4C．10D．3
4．（5分）若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则直线a⊥平面α
B．若，则直线a∥平面α
C．若，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若，则平面α，β的夹角为
5．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣++B．﹣+﹣C．﹣D．
6．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝4，Q为PC上一点，且PQ＝3QC，则异面直线AC与BQ所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（5分）已知直线l1：mx﹣y＝0（m∈R）过定点A，直线l2：x+my+4﹣2m＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．2C．5D．10
10．（5分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知直线l的一个方向向量为（﹣1，3），则直线的斜率为 ．
12．（5分）求过点P（2，3），Q（1，1）的直线方程 ．
13．（5分）若向量，，，且，，共面，则m＝ ．
14．（5分）设点P（x，y）在圆O：x2+y2＝1上的动点，定点A（2，3），B（﹣2，3），则的最大值为 ．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
三、解答题（本大题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）若AB⊥BC，求：
①求二面角A﹣BA1﹣C1的平面角的余弦值；
②直线AC与平面BA1C1的距离．
17．（11分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
18．（10分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．
（1）求证：A1D⊥AB；
（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．
19．（11分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y﹣7＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax﹣y﹣2＝0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市海淀区八一学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）已知直线l经过A（1，3），B（﹣2，4）两点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
【分析】直接利用两点式的应用求出直线的斜率．
【解答】解：经过A（1，3），B（﹣2，4）两点，
所以；
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率，两点式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（5分）直线y＝x+1被圆x2+y2＝1截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由圆的方程可得圆的半径，求出圆心到直线的距离，代入弦长甘肃省，可得弦长的值．
【解答】解：由题意可得圆的半径r＝1，
圆心到直线的距离d＝，所以弦长为2＝2＝，
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于基础题．
3．（5分）已知圆的方程x2+y2+2ax+9＝0圆心坐标为（5，0），则圆的半径为（ ）
A．2B．4C．10D．3
【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，由题意可得a的值，进而求出半径的大小．
【解答】解：由圆的一般方程可得圆的标准方程为：（x+a）2+y2＝a2﹣9，
可得圆心坐标为（﹣a，0），由题意可得a＝﹣5，
可得半径r＝＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，属于基础题．
4．（5分）若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则直线a⊥平面α
B．若，则直线a∥平面α
C．若，则直线a与平面α所成角的大小为
D．若，则平面α，β的夹角为
【分析】根据空间向量与平面的关系逐项分析判断即可．
【解答】解：对于A，由于，平面α的法向量为，则直线a⊥平面α，选项A正确；
对于B，若，则直线a可能在平面α内，选项B错误；
对于C，由于，则，则直线a与平面α所成角的大小为，选项C正确；
对于D，若，则，依题意，平面α与平面β的夹角为直角或锐角，则平面α，β的夹角为，选项D正确．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣++B．﹣+﹣C．﹣D．
【分析】由D为BC的中点，可得＝（+），将＝﹣，＝﹣代入即可得出．
【解答】解：因为D为BC的中点，
所以＝（+），
又＝﹣，＝﹣，
所以＝[（﹣）+（﹣）]＝﹣++＝﹣++．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间向量及其线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．
当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，
∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键．
7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝4，Q为PC上一点，且PQ＝3QC，则异面直线AC与BQ所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意求得点Q的坐标，进而求得，，再利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：依题意，PD，AD，CD两两互相垂直，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，0），C（0，4，0），B（4，4，0），P（0，0，4），
设Q（x，y，z），则，即（x，y，z﹣4）＝3（﹣x，4﹣y，﹣z），
则，解得，即Q（0，3，1），
则，
又，则＝，
则异面直线AC与BQ所成的角的大小为．
故选：B．
【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），
＝（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则＝（0，b﹣，0），
∵＝λ，∴﹣2＝λ（b﹣），∴b＝，
∴N（0，，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，﹣，0），
∵MN⊥AD，∴＝1﹣＝0，解得实数λ＝4．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（5分）已知直线l1：mx﹣y＝0（m∈R）过定点A，直线l2：x+my+4﹣2m＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．2C．5D．10
【分析】先由已知求出A，B，然后联立方程消去参数可得P的轨迹方程，结合圆的性质及基本不等式可求．
【解答】解：直线l1：mx﹣y＝0（m∈R）过定点A（0，0），直线l2：x+my+4﹣2m＝0过定点B（﹣4，2），
联立，消去m得（x+2）2+（y﹣1）2＝5，
又A（0，0），B（﹣4，2）在圆（x+2）2+（y﹣1）2＝5，且AB为圆的直径，
故|CA|2+|CB|2＝20≥2|CA||CB|，
所以|CA||CB|≤10，
当且仅当CA＝CB＝时取等号，△ABC面积S＝|CA|•|CB|的最大值5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点，圆方程的求解，最值问题，考查了学生的综合应用能力和计算能力．
10．（5分）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1（单位：dm），小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：dm2）的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于F，E，在平面VBC内，过E作EQ∥VB交BC于Q，在平面VAB内，过F作FD∥VB交BC于D，连接DQ，进而根据题意，△VEF∽△VCA，设其相似比为k，则，再证明四边形FEQD是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可．
【解答】解：根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于F，E，
在平面VBC内，过E作EQ∥VB交BC于Q，
在平面VAB内，过F作FD∥VB交BC于D，连接DQ，作图如下，
因为EF∥AC，则∠VEF＝∠VCA，∠VFE＝∠VAC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则，
因为VA＝VB＝VC＝1，所以，即，
因为FD∥VB，则∠AFD＝∠AVB，∠ADF＝∠ABV，
所以，△AFD∽△AVB，即，
因为，
所以，即FD＝1﹣k，
同理△CEQ∽△CVB，即，
因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
所以VB⊥平面VAC，
因为FD∥VB，EQ∥VB，
所以FD⊥平面VAC，EQ⊥平面VAC，
因为EF⊂平面VAC，
所以FD⊥EF，EQ⊥FE，
因为，
所以
因为∠B＝∠B，所以△BDQ∽△BAC，
所以DQ∥AC，
因为EF∥AC，所以EF∥DQ，
因为FD⊥EF，EQ⊥FE，所以FD⊥DQ，EQ⊥DQ，
所以四边形FEQD是矩形，即，
所以，当k＝时，S矩形FEQD有最大值，
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的条件，垂直关系的证明以及截面的最值问题，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知直线l的一个方向向量为（﹣1，3），则直线的斜率为 ﹣3 ．
【分析】由直线的方向向量可得直线的斜率．
【解答】解：由直线的方向向量可得直线的斜率为＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查方向向量求斜率的方法，属于基础题．
12．（5分）求过点P（2，3），Q（1，1）的直线方程 2x﹣y﹣1＝0 ．
【分析】由两点的坐标可得直线的斜率，代入点斜式方程可得直线的方程．
【解答】解：由题意可得kPQ＝＝2，所以直线PQ的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0；
故答案为：2x﹣y﹣1＝0．
【点评】本题考查由两点求直线的斜率及点斜式方程的求法，属于基础题．
13．（5分）若向量，，，且，，共面，则m＝ 5 ．
【分析】设＝x+y，则（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），列方程组能求出m．
【解答】解：∵向量，，，且，，共面，
∴设＝x+y，则（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），
∴，解得x＝，y＝，m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）设点P（x，y）在圆O：x2+y2＝1上的动点，定点A（2，3），B（﹣2，3），则的最大值为 12 ．
【分析】设P（csθ，sinθ），表示出，化简后利用正弦函数的有界性即可得解．
【解答】解：依题意，不妨设P（csθ，sinθ），
则，
则＝﹣4+cs2θ+9﹣6sinθ+sin2θ＝6﹣6sinθ≤12，当sinθ＝﹣1时，等号成立，
所以的最大值为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF，或若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE ．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A1（2，0，2），B（2，2，0），E（0，1，0），＝（﹣2，﹣1，0），
设F（x，y，0），x∈[0，2]，则＝（x﹣2，y，﹣2），
S△ADF＝，
S△ABF＝，
A1F⊥BE⇔＝﹣2（x﹣2）﹣y＝0⇔S△ADF＝2S△ABF，
∵A1F＝＝＝，
∴以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，能写出两个正确的命题：
若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF；若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE．
故答案为：若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF，或若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（本大题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）若AB⊥BC，求：
①求二面角A﹣BA1﹣C1的平面角的余弦值；
②直线AC与平面BA1C1的距离．
【分析】（Ⅰ）根据四边形AA1CC1为平行四边形，得到AC∥A1C1，再由线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得平面BA1C1的法向量，①再求得面ABA1的法向量，利用向量的夹角公式即可得解；②直线AC与平面BA1C1的距离就是点A到平面BA1C1的距离，利用即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1CC1为平行四边形，
所以AC∥A1C1，
因为AC⊄平面BA1C1，A1C1⊂平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）因为BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又AB⊥BC，
所以AB，BB1，BC两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，
则A（1，0，0），B1（0，1，0），C1（0，1，1），A1（1，1，0），B（0，0，0）．
所以，，，
设平面BA1C1的法向量为，则，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1．于是．
①面ABA1的法向量为，
则，
因为二面角为钝角，所以所求余弦值为；
②因为AC∥平面BA1C1，
所以直线AC与平面BA1C1的距离就是点A到平面BA1C1的距离，
设A到面BA1C1的距离为h，则．
【点评】本题以三棱柱为背景，考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值以及线面距离，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
17．（11分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．
【分析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，联立方程即可得出A坐标．由kAC＝﹣kAB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），联立解得C坐标．
（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，即可得出l所在的直线方程．
【解答】解：（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，
由得，故A（﹣1，0）．
由kAC＝﹣kAB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的
方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．
（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，
所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、角平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（10分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．
（1）求证：A1D⊥AB；
（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB⊥平面AA1D1D，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）取AD的中点O，连接A1O，证明出A1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，利用空间向量法可得出关于a的方程，求出a的值，即可求得棱AA1的长．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，
因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面AA1D1D，
∵A1D⊂平面AA1D1D，所以，AB⊥A1D．
（2）解：取AD的中点O，连接A1O，
∵AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面AA1D1D，
所以，A1O⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，
则A（0，﹣1，0）、B（2，﹣1，0）、A1（0，0，a）、C1（2，2，a）、D（0，1，0），
，，，
设平面A1C1D的法向量为，则，
取x＝a，则，
由题意可得，
∵a＞0，解得，则．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．
19．（11分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y﹣7＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax﹣y﹣2＝0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程可得，根据题意把点A代入圆方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径联立方程求得t和r，则圆的方程可求得．
（2）把直线方程代入圆的方程，消去y整理利用判别式大于0求得a的范围．
（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为﹣，则l的方程可得，把圆心代入求得a，根据（2）中的范围可知a不符合题意，进而可判断出不存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【解答】解：（1）解：设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程为（x﹣t）2+（y﹣t﹣1）2＝r2，
依题意可知，解得t＝0，r＝
∴圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5；
（2）把直线ax﹣y﹣2＝0即y＝ax﹣2代入圆的方程，消去y整理，得
（a2+1）x2﹣6ax+4＝0．由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，
故Δ＝36a2﹣16（a2+1）＞0．即5a2﹣4＞0，由于a＞0，解得a＞．
所以实数a的取值范围是（，+∞）．
（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为﹣，
l的方程为y＝﹣（x+2）+4，即x+ay+2﹣4a＝0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（0，1）必在l上．
所以0+a+2﹣4a＝0，解得a＝．
由于，
故不存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【点评】本题主要考查了直线与的方程的综合运用．考查了考生综合分析问题和解决问题的能力．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/23 9:50:57；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052