初中数学浙教版（2024）七年级上册2.2 有理数的减法课时训练

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册2.2 有理数的减法课时训练，共34页。

一．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
二．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
三、有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【考点剖析】
题型一：有理数减法法则的直接运用
例1、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【变式1】计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－3eq \f(1,2)－5eq \f(1,4).
【变式2】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
题型二：有理数减法的实际应用
例2.上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A．5℃ B．6℃ C．7℃ D．8℃
【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，那么冷冻室的温度是（ ）
A．18℃B．﹣26℃C．﹣22℃D．﹣18℃
题型三：应用有理数减法法则判定正负性
例3.已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．
【变式1】若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣6C．﹣2或﹣6D．2或6
题型四：加减混合运算统一成加法运算
例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
题型五：有理数的加减混合运算
例5.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq \f(1,5)＋(－6eq \f(2,5))＋(－4)＋|－3|；
(2)－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)－(－12eq \f(2,3))－14＋(－11eq \f(2,15))；
(3)eq \f(2,3)－eq \f(1,8)－(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(3,8))．
【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.
（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
(3)
(4)
（5） （6）
【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；
（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）
（4）
（5）； （6）
题型六：利用有理数加减运算解决实际问题
例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.
（1）问收工时距A地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）某地一天中午12时的气温是，14时的气温升高了，到晚上22时气温又降低了，则22时的气温为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）如果x是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）在一次数学活动课上，数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上，打乱顺序，然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是甲：；乙：；丙：1；丁：．那么的值不可能是（ ）
A．2B．6C．D．
5．（2022秋·浙江·七年级校考期中）在数轴上点表示，与相距3.5个单位的点表示（ ）
A．5.5和B．和1.5C．1.5D．
6．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）某天一潜水员下海，他从水面潜入水下18米，后因海水中的洋流，上升了8米，在洋流过去后，他下潜到预定的水下35米的位置，则该潜水员在洋流过程后，下潜了（ ）
A．9米B．10米C．17米D．25米
7．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入19.00元B．支出10元C．支出3.00元D．支出22.00元
8．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）比大1的数（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若，则括号内的数是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2024
二、填空题
11．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是小强与他妈妈的对话，小强说：买笔记本花了元……，则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元．
12．（2023秋·浙江金华·七年级校考期末）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______．
13．（2022秋·浙江·七年级专题练习）若，求的相反数＝__．
14．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则A点表示的数为_________________．
15．（2021秋·浙江金华·七年级统考期末）小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式，请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”（不限定个数），使等式成立：___________
16．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）整数a、b、c满足，其中且，则的最小值是________．
17．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）数轴上点对应的数是，那么与相距2个单位长度的点对应的数是______．
18．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期中）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段BD的长度为______．
三、解答题
19．（2022秋·浙江·七年级专题练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知，求的值．
21．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知a，b、c三数在数轴上的位置如图所示，化简．
22．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个．某日上午6点整，服务点共停放了14辆公交自行车．6点以后，各时间段存取自行车辆次记录如下表：（单位：辆）
(1)求当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数；
(2)求16点整，该服务点还停放着几辆公交自行车．
23．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上和5这两点之间的距离为 ．
(2)若x表示一个实数，的最小值为 ．
(3)直接写出所有符合条件的x，使得，则x的值为 ．
24．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） (2)3）+5+（﹣8）；
(3)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） (4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2．
25．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）计算：
(1)7﹣（﹣4）+（﹣5） (2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
(3) (4)
26．（2022秋·浙江·七年级专题练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①______；
②______；
③=______；
(2)用合理的方法计算：；
(3)用简单的方法计算：．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
0.2
0.81
－0.35
0.13
0.28
－0.36
－0.01
6：00～8：00
8：00～10：00
10：00～12：00
12：00～14：00
14：00～16：00
取车
12
7
11
9
8
存年
6
8
9
9
6
第06讲 有理数的减法（6种题型）
【知识梳理】
一．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
二．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
三、有理数加减法混合运算技巧
（1）把算式中的减法转化为加法；
（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；
（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．
【考点剖析】
题型一：有理数减法法则的直接运用
例1、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
【变式1】计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－3eq \f(1,2)－5eq \f(1,4).
解析：先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．
解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；
(2)－3eq \f(1,2)－5eq \f(1,4)＝－3eq \f(1,2)＋(－5eq \f(1,4))＝－(3eq \f(1,2)＋5eq \f(1,4))＝－8eq \f(3,4).
方法总结：进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计算．要特别注意减数的符号．
【变式2】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
题型二：有理数减法的实际应用
例2.上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A．5℃ B．6℃ C．7℃ D．8℃
解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C.
方法总结：要根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答．
【变式1】如果家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，那么冷冻室的温度是（ ）
A．18℃B．﹣26℃C．﹣22℃D．﹣18℃
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：根据题意得：4﹣22＝﹣18（℃），
则这台电冰箱冷冻室的温度为﹣18℃．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的减法，弄清题意并掌握有理数的减法法则是解本题的关键．
题型三：应用有理数减法法则判定正负性
例3.已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．
解析：判断a，b差的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定．
解：因为b＜0，所以－b＞0.又因为a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定，因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号，而a＜0，因此a－b的符号为负号．
方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断，若是解答题，可以将减法转化为加法通过运算法则来解答．
【变式1】若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣6C．﹣2或﹣6D．2或6
【分析】根据绝对值的意义确定a和b的取值，然后代入求值．
【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，
∴a＝±4，b＝±2，
又∵a+b的绝对值与相反数相等，
∴a+b≤0，
∴a＝﹣4，b＝2或a＝﹣4，b＝﹣2，
当a＝﹣4，b＝2时，a﹣b＝﹣4﹣2＝﹣6，
当a＝﹣4，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，
综上，a﹣b的值为﹣2或﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查绝对值，相反数，有理数的减法运算，理解绝对值及相反数的概念，掌握有理数减法运算法则是解题关键．
题型四：加减混合运算统一成加法运算
例4.将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．
解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.
方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．
题型五：有理数的加减混合运算
例5.计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq \f(1,5)＋(－6eq \f(2,5))＋(－4)＋|－3|；
(2)－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)－(－12eq \f(2,3))－14＋(－11eq \f(2,15))；
(3)eq \f(2,3)－eq \f(1,8)－(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(3,8))．
解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq \f(1,5)＋(－6eq \f(2,5))＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；
(2)－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)－(－12eq \f(2,3))－14＋(－11eq \f(2,15))＝－14eq \f(2,3)＋11eq \f(2,15)＋12eq \f(2,3)－14－11eq \f(2,15)＝(－14eq \f(2,3)＋12eq \f(2,3))＋(11eq \f(2,15)－11eq \f(2,15))－14＝－2＋0－14＝－16；
(3)eq \f(2,3)－eq \f(1,8)－(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(3,8))＝eq \f(2,3)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,3)－eq \f(3,8)＝(eq \f(2,3)＋eq \f(1,3))＋(－eq \f(1,8)－eq \f(3,8))＝1＋(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,2).
方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．
【变式1】计算，能用简便方法的用简便方法计算.
（1） 26－18+5－16 ； （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
(3)
(4)
（5） （6）
【答案与解析】
（1） 26－18+5－16
=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法
=(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加
= 31+(－34)=－3
（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）
=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
=0
（3）
→同分母的数先加
（4）
→统一成加法
→整数、小数、分数分别加

（5）
→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起
（6）
→整数，分数分别加
【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换．
【变式2】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；
（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）
（4）
（5）； （6）
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72
＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23
＝0+0－1.23＝－1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11－12+13－15+16－18+17
＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)
＝57+(－45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
题型六：利用有理数加减运算解决实际问题
例6.下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．
解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；
(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；则本周末河流的水位是上升了0.7米．
方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
【变式1】小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）
小虫最后是否回到出发地O？为什么？
小虫离开O点最远时是多少？
在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.
【答案与解析】
解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)
=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0
0表示最后小虫又回到了出发点O
答：小虫最后回到了出发地O.
（2） (+5)+(－3)＝+2；
(+5)+(－3)+(+10)＝+12；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；
(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.
因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
(3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，
由 （粒）
答：小虫一共可以得到54粒芝麻.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．
【变式2】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.
（1）问收工时距A地多远？
（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？
【答案与解析】（1）求收工时距A地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A地前面，若和为负数，则在A地后面；距A地的路程均为和的绝对值.
解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)
=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)
=0+0+44+(－3)=41（千米）；
（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.
(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.
答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是39.96mm和40.03mm的两根轴是否合格．
【详解】由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故选：B．
【点睛】本题考查正数和负数的知识，有理数的加减运算的实际应用，注意先求出合格的范围是关键．
2．（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）某地一天中午12时的气温是，14时的气温升高了，到晚上22时气温又降低了，则22时的气温为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据有理数加减计算法则求解即可．
【详解】解：，
∴22时的气温为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用，正确计算是解题的关键．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）如果x是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据有理数的大小比较法则以及绝对值的性质判断即可．
【详解】解：A．当时，，故本选项不合题意；
B．当时，，故本选项不合题意；
C．∵，
∴，故本选项符合题意；
D．当时，，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了绝对值以及有理数大小比较的方法，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．
4．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）在一次数学活动课上，数学老师将共十个连续的整数依次写在十张不透明的卡片上，打乱顺序，然后让甲、乙、丙、丁四位同学任意抽取两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是甲：；乙：；丙：1；丁：．那么的值不可能是（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】C
【分析】设最后剩余两张的数字之和为，得到，得到，当时，，由这十个连续整数中，两数之和最大为7，即可得到结论．
【详解】解：设最后剩余两张的数字之和为，
，
当时，．
这十个连续整数中，两数之和最大为7，
不可能为．
故选：C
【点睛】此题主要考查了有理数的的加减法，读懂题意是解题的关键．
5．（2022秋·浙江·七年级校考期中）在数轴上点表示，与相距3.5个单位的点表示（ ）
A．5.5和B．和1.5C．1.5D．
【答案】B
【分析】与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数，据此求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数，
，
则表示的数是：和1.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的性质，有理数的加减运算，理解点表示，那么与相距3.5个单位的点表示的数就是比大3.5或小3.5的数的解题的关键．
6．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）某天一潜水员下海，他从水面潜入水下18米，后因海水中的洋流，上升了8米，在洋流过去后，他下潜到预定的水下35米的位置，则该潜水员在洋流过程后，下潜了（ ）
A．9米B．10米C．17米D．25米
【答案】D
【分析】根据有理数的加减运算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该潜水员在洋流过程后，下潜了米．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，明确题意，准确列出算式是解题的关键．
7．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入19.00元B．支出10元C．支出3.00元D．支出22.00元
【答案】C
【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：（元），即表示支出3元，
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键．
8．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）比大1的数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据有理数的减法运算，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
9．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）若，则括号内的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用被减数等于减数加上差列式求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，利用被减数等于减数加上差列出算式是解题的关键．
10．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是0，算式可以列为：．若在数1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次运算，使所得结果可能的最小非负数是0，则数n不可能是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2024
【答案】B
【分析】分是4的倍数，余数为0，1，2，3四种情况求出最小的非负数即可作出判断．
【详解】解：由题意知，，，
当是4的倍数时，结果可能的最小非负数为0；
当除以4余1时，第一个数为1，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；
当除以4余2时，前两个数为1，2，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为1；
当除以4余3时，前两个数为1，2，3，，后面的数的和为0，则结果可能的最小非负数为0．
、2024均能被4整除、2023除以4余数为3，2021除4余数为1，
数不可能是2021，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是小强与他妈妈的对话，小强说：买笔记本花了元……，则小强记不清怎么使用的零花钱有___________元．
【答案】
【分析】用元减去已知的花销，即可求出剩下部分．
【详解】解：元
故答案是．
【点睛】本题考查了小数的减法，直接计算即可．
12．（2023秋·浙江金华·七年级校考期末）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______．
【答案】22
【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案．
【详解】解：（℃），
∴变温室与冷冻室的温差为，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键．
13．（2022秋·浙江·七年级专题练习）若，求的相反数＝__．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出x和y的值，然后代入求相反数即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
∴，
∴的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，相反数，以及有理数的减法，求出x和y的值是解答本题的关键．
14．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则A点表示的数为_________________．
【答案】
【分析】根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可．
【详解】解：根据题意可得：点A表示的数为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上点的平移规律，解决此题的关键是熟练掌握左减右加，也考查了有理数的加减运算．
15．（2021秋·浙江金华·七年级统考期末）小毛同学的作业本上出现了一个错误的等式，请你直接在算式中添“括号”或“绝对值”或“负号”（不限定个数），使等式成立：___________
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加减运算即可求出答案．
【详解】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算．
16．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）整数a、b、c满足，其中且，则的最小值是________．
【答案】
【分析】根据题意得出，，，确定，，，或，，，然后分情况讨论求解即可．
【详解】解：，求的最小值，，
∴，，，
∴，，，或，，，
∵，
∴当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查整式的加减及绝对值的意义，有理数的大小比较，理解题意进行分类讨论是解题关键．
17．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）数轴上点对应的数是，那么与相距2个单位长度的点对应的数是______．
【答案】或
【分析】此题注意考虑两种情况：当点在A点的左侧时，用减法，当点在A点的右侧时，用加法，即可得出结果．
【详解】解：在A点左边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为；
在A点右边与A点相距2个单位长度的点所对应的有理数为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
18．（2022秋·浙江宁波·七年级统考期中）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段BD的长度为______．
【答案】1或7/7或1
【分析】根据，可得点C在点A，B之间，从而得到A，B间的距离为4，再由，可得A、D两点间的距离为，然后分两种情况讨论：当点D在点A的左侧时，当点D在点A的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵，
∴点C在点A，B之间，且点A，C两点间的距离为2，B，C两点间的距离为2，
∴A，B间的距离为4，
∵，
∴，
即A、D两点间的距离为，
不妨设，
当点D在点A的左侧时，线段的长度为；
当点D在点A的右侧时，线段的长度为；
综上所述，线段的长度为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
19．（2022秋·浙江·七年级专题练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)答案见解析
(2)6千米
(3)18千米
【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意列出算式，即可得出答案；
（3）根据题意列出算式，即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：村离村的距离为；
（3）解：邮递员一共行驶了（千米）．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键．
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性求出，，再代入计算即可．
【详解】∵，，，
∴，，
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性有有理数的减法，求出，是解题的关键．
21．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知a，b、c三数在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】先根据数轴得到，再作答即可．
【详解】解：由图可知，，
故．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性和根据数轴判断正负，根据数轴得到是解题的关键．
22．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）杭州某公交自行车服务点一共有停车桩20个．某日上午6点整，服务点共停放了14辆公交自行车．6点以后，各时间段存取自行车辆次记录如下表：（单位：辆）
(1)求当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数；
(2)求16点整，该服务点还停放着几辆公交自行车．
【答案】(1)当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为次
(2)16点整，该服务点还停放着辆公交自行车
【分析】（1）将取车的次数相加即可求解；
（2）记取车为负，存车为正，根据表格数据相加减即可求解．
【详解】（1）解：，
答：当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为次；
（2）记取车为负，存车为正，
∵某日上午6点整，服务点共停放了14辆公交自行车，当天6：00到16：00点，这个服务点自行车被取用的次数为次．
∴16点整，该服务点还停放着：辆，
答：16点整，该服务点还停放着辆公交自行车
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
23．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上和5这两点之间的距离为 ．
(2)若x表示一个实数，的最小值为 ．
(3)直接写出所有符合条件的x，使得，则x的值为 ．
【答案】(1)7
(2)6
(3)或3
【分析】（1）利用数轴直观得出答案．
（2）x在到4之间值最小，两点之间线段最短．
（3）x到2到距离之和是7，与9相差2，分到两段中，每段加1，得出结果．
【详解】（1）．
故答案为：7；
（2）表示x到和4的距离之和，
当时，；
当时，；
当时，，
故最小值为6．
故答案为：6；
（3）表示x到和4的距离之和等于9，
时，，
当时，；
当时，．
故答案为或3．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，解本题的关键是分段讨论．
24．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：
(1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）
(2)3）+5+（﹣8）；
(3)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）
(4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2．
【答案】(1)0.1
(2)﹣2.5
(3)﹣8
(4)﹣1.2
【分析】（1）先利用去括号法则去掉括号，再利用法则进行有理数的运算；
（2）先利用去括号法则去掉括号，再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算；
（3）先利用去括号法则去掉括号，再利用有理数的加减混合运算法则进行运算；
（4）先把互为相反数的两个分数结合在一起，然后利用有理数的加减法则计算．
（1）
解： 4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）
＝4.7+8.9﹣7.5﹣6
＝13.6﹣13.5
＝0.1；
（2）
解：3）+5+（﹣8）
＝3﹣2+5﹣8
＝3+5﹣2﹣8
＝8.5﹣11
＝﹣2.5；
（3）
解：2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）
＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2
＝3.9﹣11.9
＝﹣8；
（4）
﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2
＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2
＝﹣0.2﹣1
＝﹣1.2．
【点睛】在进行有理数的加减混合运算时，先去括号，化简成最简形式，然后利用有理数混合运算法则并结合运算定律简便运算，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键．
25．（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）计算：
(1)7﹣（﹣4）+（﹣5）
(2)﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
(3)
(4)
【答案】(1)6；
(2)−2；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据有理数的加减法法则计算即可；
（3）根据有理数的加减法法则计算即可；
（4）根据有理数的加法法则计算即可．
（1）
解：7-（-4）+（-5），
=7+4+（-5），
=11+（-5），
=6
（2）
解：，
=−2
（3）
解：
（4）
解：
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法运算，熟练掌握加减法法则是解题的关键，熟练利用加法运算律是简便计算的关键．
26．（2022秋·浙江·七年级专题练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①______；
②______；
③=______；
(2)用合理的方法计算：；
(3)用简单的方法计算：．
【答案】(1)①；②；③；
(2)
(3)
【分析】（1）①②③利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可；
（2）利用题干中的方法与绝对值的意义解答即可；
（3）利用规律化简运算即可．
【详解】（1）①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
（2）原式
；
（3）原式
=．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型，正确理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键．
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
0.2
0.81
－0.35
0.13
0.28
－0.36
－0.01
6：00～8：00
8：00～10：00
10：00～12：00
12：00～14：00
14：00～16：00
取车
12
7
11
9
8
存年
6
8
9
9
6