高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离课时作业，共54页。

知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2−x1）2+（y2−y1）2
【即学即练1】（23-24高二下·全国·课后作业）若A(−3,5),B(2,0)，则|AB|为 .
【答案】52
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得AB=(−3−2)2+(5−0)2=52，
故答案为：52.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点(x,y)到原点的距离等于1，则实数x,y满足的条件是（ ）
A．x2−y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2−y2=0
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式列式即得.
【详解】依题意，由点P(x,y)到原点的距离等于1可得，|PO|=(x−0)2+(y−0)2=x2+y2=1，
故实数x,y满足的条件是x2+y2=1.
故选：C.
知识点02点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.
【即学即练3】（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
【即学即练4】(多选)（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点M1,4到直线l:mx+y−1=0的距离为3，则实数m等于（ ）
A．0B．34C．3D．2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意m+4−1m2+1=3，即4m2−3m=0,解得m=0或m=34.
故选：AB.
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即学即练5】（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线l1:x−2y−4=0与l2:x−2y+1=0之间的距离是（ ）
A．5B．1C．5D．355
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得d=1+412+−22=5.
故选：C
【即学即练6】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为 ．
【答案】52/125
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【详解】由2x−y−1=0，可得4x−2y−2=0，
所以2x−y−1=0与4x−2y+3=0之间的距离为|−2−3|42+22=52.
故答案为：52.
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(−3,0)，若将军从山脚下的点B(−1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】13
【分析】求出B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点C(0,2)，结合图形，即可求解.
【详解】设点B(−1,1)关于直线x+y=1对称的点为C(x,y)，
则有−1+x2+1+y2=11−y−1−x⋅(−1)=−1，解得x=0y=2，所以C(0,2)，
则PA+PB=PA+PC，所以“将军饮马”的最短总路程为|AC|=32+22=13，

故答案为：13.
难点：类比距离问题
示例2：（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1，则（ ）
A．fx的最小值为8B．fx的最小值为9
C．fx=8有1个实根D．fx=9有1个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为PQ+PM，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】Px,x2是抛物线y=x2上一点，
P到直线y=x−1的距离为PQ=x2−x+1−12+12=22x2−x+1= 22x2−x+1，
P到点M−3,5的距离为PM=x+32+x2−52，
所以fx=2x4−18x2+12x+68+x2−x+1=2PM+PQ
当M，P，Q共线时，PQ+PM取最小值，
最小值为M−3,5到y=x−1的距离−3−5−12=922.
因为y=222x2−x+1+x+32+x2−52=2PQ+PM，
且PQ+PM的最小值为922，
所以y的最小值为9，且在交点P−2,4或P1,1处取到，
故选：B.
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）点M1(2,−5)与M2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）
A．−9B．−1C．−9或−1D．12
【答案】C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意(5−2)2+(y+5)2=5，即(y+5)2=16，解得y=−1或y=−9．
故选：C．
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知a+b−7=0，c+d−5=0，则(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（ ）
A．3B．6C．42D．62
【答案】D
【分析】令A(a,b)，B(c,d)，得到点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，且点M在直线x+y−6=0上，将所求问题，转化为点M到原点的距离的2倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令A(a,b)，B(c,d)，由已知可得点A，B分别在直线x+y−7=0，x+y−5=0上，
设线段AB的中点为M，则Ma+c2,b+d2，
M到原点的距离d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2，
依题意点M在直线x+y−6=0上，
所以点M到原点的最小距离即为原点到直线x+y−6=0的距离，为0+0−62=32，
因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值为32，因此(a+c)2+(b+d)2的最小值等于62.
故选：D.
变式2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，则B点坐标为 ，|AB|为 .
【答案】 7,−8 25
【分析】设B点的坐标为x,y，根据中点坐标公式列出关于x,y的方程组，解出方程组即可得B点的坐标.
【详解】设B点的坐标为x,y，
∵点A的坐标−8,12，线段AB中点的坐标为−12,2，
∴−8+x2=−1212+y2=2，解得x=7y=−8，
即B点的坐标为7,−8，所以|AB|=25
故答案为：7,−8；25.
变式3．（20-21高二·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,−1)，B(−1,3)，C(3,0)．则△ABC的形状为 ；△ABC的面积为 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为|AB|=(−1−1)2+[3−(−1)]2=20=25，
|AC|=(3−1)2+[0−(−1)]2=5，|BC|=[3−(−1)]2+(0−3)2=25=5，
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
由于△ABC是以A为直角顶点的直角三角形，所以S△ABC=12|AB|⋅|AC|=5.
故答案为：直角三角形；5
变式4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，则a= ．
【答案】±321
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为A(a,0),B(0,10)且|AB|=17，所以|AB|=a2+0−102=17，解得a=±321
故答案为：±321
变式5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知点A−3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，写出直线AB的一个方程
【答案】x−3y+3=0(答案不唯一)
【分析】根据两点间的距离公式，求出csα的值，然后写出点B的坐标，从而可求直线AB的一个方程.
【详解】根据两点间的距离公式，得csα+32+sin2α=2，
即sin2α+cs2α+3+23csα=4。所以csα=0，
所以sinα=1或sinα=−1，
当sinα=1时，A−3,0,B0,1，直线AB的方程为x−3y+3=0；
当sinα=−1时，A−3,0,B0,−1，直线AB的方程为x+3y+3=0.
故答案为：x−3y+3=0.(答案不唯一)
变式6．（2021高二上·全国·专题练习）已知点A−2,−1,Ba,3，且AB=5，则a的值为 .
【答案】1或−5
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得(−2−a)2+(−1−3)2=52，所以(a+2)2=9，所以a+2=±3，即a=1或a=−5.
故答案为：1或−5
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）二元函数fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域为 ．
【答案】14−655,+∞
【分析】把二元函数转化为两点间距离的平方，再转化为点到直线的距离为最小值即可得出值域.
【详解】由题意可知二元函数fx,y的几何意义为单位圆上一点A−csy,−siny到直线y=2x+3上一点B距离的平方，最小值为圆心到直线距离减半径，圆心为O0,0,d=312+22=35
|AB|min2=35−12=14−655，则fx,y∈14−655,+∞．
故答案为：14−655,+∞.
变式8.（2021高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知A(−2,0)，B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点C在直线l上，且|AC|=10，求点C坐标．
【答案】(1)x+2y−3=0
(2)1,1或−3,3
【分析】（1）由题意，求出线段AB的中点坐标及直线l的斜率kl=−1kAB，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；
（2）设点C坐标为a,b，由题意，列出关于a,b的方程组求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为A−2,0，B0,4，所以线段AB的中点为−1,2，kAB=0−4−2−0=2，
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl=−1kAB=−12，
所以直线l的方程为y−2=−12x+1，即x+2y−3=0，
所以直线l的一般式方程为x+2y−3=0；
（2）解：设点C坐标为a,b，
由题意有a+2b−3=0a+22+b2=10，解得a=1b=1或a=−3b=3，
所以点C坐标为1,1或−3,3.
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离为（ ）
A．−2B．2C．−1D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M(1,2)到直线3x+4y−6=0的距离d=|3×1+4×2−6|32+42=1.
故选：D
变式1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l：x+my−2m−1=0，则点P2,−1到直线l距离的最大值为（ ）
A．5B．10C．5D．10
【答案】B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点A1,2，即可求出结果.
【详解】直线l：x+my−2m−1=0，即x−1+m(y−2)=0，
由x−1=0y−2=0，得到x=1,y=2，所以直线过定点A1,2，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为AP=(2−1)2+(−1−2)2=10，
故选：B.
变式2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A−3,−4，B6,3两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值（ ）
A．13B．−97C．−13或−79D．13或−79
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．
【详解】因为点A(−3,−4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，
所以|−3a−4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，即|−3a−3|=|6a+4|，
化简得27a2+30a+7=0，解得a=−13或a=−79.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）直线x+y−1=0上与点P(−2,3)的距离等于2的点的坐标可以是（ ）
A．(−4,5)B．(−1,2)C．(−3,4)D．(1,−5)
【答案】BC
【分析】设所求点的坐标为(x0,y0)，然后根据题意列方程组可求得结果.
【详解】设所求点的坐标为(x0,y0)，则x0+y0−1=0，且(x0+2)2+(y0−3)2=2，
两式联立解得x0=−3y0=4或x0=−1y0=2，
所以所求点的坐标为(−1,2)或(−3,4)
故选：BC
变式4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线l:y=ax−a+1，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点−1,1
B．当a=1时，l关于x轴的对称直线为x+y=0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P3,−1到直线l的最大距离为22
【答案】BD
【分析】A.由l:y=ax−a+1=ax−1+1判断；B.由a=1时，直线方程为y=x判断；C.由a=1时，直线方程为y=x判断；D.点P3,−1到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线l:y=ax−a+1=ax−1+1，所以直线l过定点Q1,1，故A错误；
对于B.当a=1时，直线方程为y=x，l关于x轴的对称直线为x+y=0，故B正确；
对于C，当a=1时，直线方程为y=x，直线l不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设PH⊥l，由图象知：PQ≥PH，点P3,−1到直线l的最大距离为d=3−12+−1−12=22，故D正确；
故选：BD
变式5．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点P1,3与Q−3,1到直线l的距离相等，则l的方程可以是（ ）
A．2x+y=0B．x−2y−3=0
C．2x+3y−5=0D．3x−2y+7=0
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，进而两种情况进行判断.
【详解】由题知，l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，
又PQ的中点为−1,2，
则过点−1,2的直线为AD选项；
又PQ的斜率为3−11−−3=12，则B选项符合条件.
故选：ABD
变式6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P−2,−1到直线l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】0,13
【分析】先确定直线恒过定点A1,1，再计算|PA|，从而可得结论．
【详解】解：把直线l的方程化为(x+y−2)+λ3x+2y−5=0，
由方程组x+y−2=0,3x+2y−5=0,
解得x=1,y=1,
所以直线l恒过定点A1,1，
其中直线l不包括直线3x+2y−5=0．
又PA=(−2−1)2+(−1−1)2=13，
且当PA与直线3x+2y−5=0垂直时，点P到直线3x+2y−5=0的距离为13，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d0，
整理，得2a+b+3a2+b2=5a−3b+3a2+b2=t，
看成有且仅有三条直线满足，A2,1和B(5,−3）到直线l：ax+by+3=0（不过原点）的距离L相等．由AB=(5−2)2+(−3−1)2=5，
（1）当t=AB2=52，此时，易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线6x−8y−29=0以及直线AB平行的两条直线8x+ 6y+3=0和8x+6y−47=0；
（2）当t0的夹角平分线为y=x，则直线l的方程为 .
【答案】bx+ay+c=0
【分析】由题意知，直线l和ax+by+c=0关于直线y=x对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程．
【详解】由题意可得直线l与直线ax+by+c=0关于直线y=x对称，
由于直线ax+by+c=0上的任意一点Mx,y关于直线y=x的对称点为Ny,x，
因为已知直线ax+by+c=0，则l的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，
故答案为：bx+ay+c=0.
变式5．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线l1的方程为x−2y+4=0.
（1）若直线l1和直线l2关于点0,0对称，求直线l2的方程 ；
（2）若直线l1和直线l2关于直线y=x对称，求直线l2的方程 .
【答案】 x−2y−4=0 2x−y−4=0.
【分析】根据题意，由点Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线l1与直线y=x的交点，求出C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，即可得到直线方程.
【详解】因为直线l1和直线l2关于点0,0对称，
在直线l2上任取一点Ax,y，则Ax,y关于点0,0对称的点A′−x,−y在直线l1上，
将点A′−x,−y代入直线l1可得−x+2y+4=0，
所以直线l2的方程为x−2y−4=0；
设直线l1与直线y=x的交点为Bp,q，
所以p=qp−2q+4=0，解得p=q=4，则B4,4，
在直线l1上取点C0,2，设C0,2关于直线y=x对称的点为C′s,r，
则r−2s−0×1=−1①
因为C0,2与C′s,r的中点坐标为0+s2,2+r2，
所以0+s2=2+r2②
由①②可得s=2r=0，所以C′2,0
因为直线l1和直线l2关于直线y=x对称，
所以直线l2经过点B4,4和点C′2,0，
所以直线l2的两点式方程为y−04−0=x−24−2，
整理得直线l2的一般式方程为2x−y−4=0.
故答案为: x−2y−4=0;2x−y−4=0.
变式6．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知△ABC的三个顶点是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
【答案】(1)x−7y+18=0
(2)2x−y−1=0
【分析】（1）设Dx0,y0，根据平面向量的坐标关系确定DC=3AD，即可列方程得D的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定B关于直线l对称的点为B′的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设Dx0,y0则AD=x0−1,y0−1，DC=2−x0,8−y0
因为△BCD的面积是△ABD面积的3倍，所以DC=3AD，
则2−x0=3(x0−1)8−y0=3(y0−1)解得x0=54y0=114
故直线l1的方程为y−3=3−1143−54(x−3)，即x−7y+18=0
（2）显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的方程为y−1=kx−1，
则过点B且与l2垂直的直线l的方程为y−3=−1k(x−3)
设点B关于直线l对称的点为B′x1,3−1k(x1−3)，
因为直线AC的方程为7x−y−6=0，
所以7x1−3+1kx1−3−6=03+3−1kx1−32−1=k3+x12−1
整理得2k3−3k2−2k=0
因为k≠0，所以2k2−3k−2=0，解得k=2或k=−12
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直线l2的方程为y−1=2x−1，即2x−y−1=0
变式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线l:2x+3y−5=0，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线l关于x轴对称；
(2)过点3,1，且与l平行．
【答案】(1)2x−3y−5=0；
(2)2x+3y−9=0.
【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答.
（2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答.
【详解】（1）设与直线l关于x轴对称的直线l1上任意点坐标为(x,y)，则点(x,−y)在直线l上，即有2x+3(−y)−5=0，
所以直线l1的方程为2x−3y−5=0.
（2）设与直线l平行的直线l2的方程为2x+3y+m=0(m≠−5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=−9，
所以直线l2的方程为2x+3y−9=0.

【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3y−1=0B．3x−y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【答案】B
【分析】求出A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C的坐标，由B,C都在反射光线所在直线上得直线方程．
【详解】设A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C(x,y)，
则(x−2)−y+12+10=0y−1x+2=−12，解得x=−6y=3，即C(−6,3)，
所以反射光线所在直线方程为y−3=−3−3−8+6⋅(x+6)，即3x−y+21=0．
故选：B．
变式1．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P−1,5射出，经直线x−3y+1=0反射后经过点2,3，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．x−2=0
C．3x−y−3=0D．4x−y−5=0
【答案】B
【分析】求出点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点P−1,5关于直线x−3y+1=0的对称点为P1a,b，
则b−5a+1×13=−1a−12−3×b+52+1=0，化简得b=−3a+2a−3b−14=0，解得a=2b=−4，
故反射光线过点2,−4,2,3，
则反射光线所在直线的方程为x−2=0.
故选：B.
变式2．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【分析】以A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点P关于BC，AC的对称点P1，P2，则△PQR即为P1P2的长.
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y−4=0.
设P(t,0)(00)与直线l2:x+3y−3=0间的距离为10，则m=（ ）
A．17B．172C．14D．7
【答案】D
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，m+31+9=10，解得m=7（m=−13舍去）.
故选：D.
3．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线ax+by+c=0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（ ）
A．c2=a2+b2B．a2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点O0,0到直线ax+by+c=0的距离为1，
则a×0+b×0+ca2+b2=1，整理得c2=a2+b2.
故选：A.
4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点A2,1，点B在直线x−y+3=0上，则AB的最小值为（ ）
A．5B．26C．22D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于A2,1不在直线l:x−y+3=0上，所以当AB⊥l时，此时AB最小，
故ABmin=d=2−1+32=22,
故选:C
5．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y=0，则点A−1,4关于l对称的点的坐标为（ ）
A．4,1B．4,−1C．−1,−4D．1,4
【答案】B
【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.
【详解】设点A−1,4关于l对称的点为A′a,b，则b−4a+1=−1−1+a2−4+b2=0，解得a=4,b=−1，
故选：B
6．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知A−2,4，B−4,6两点到直线l:ax−y+1=0的距离相等，则a的值为（ ）
A．−1或−43B．3或4C．3D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
−2a−4+1a2+1=−4a−6+1a2+1，整理得2a+3=4a+5，
即2a+3=±(4a+5)，解得a=−1或a=−43.
故选：A.
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠−9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠−9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0相交，得3(2k−3)−k[−(k+2)]≠0，
即(k+9)(k−1)≠0，解得k≠1且k≠−9，
所以实数k的值为k≠1且k≠−9.
故选：D
8．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地A,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A0,0,B−2,0，一条河所在直线的方程为x+2y−5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A,B两点距离之和的最小值为（ ）
A．42B．32C．43D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设A关于直线x+2y−5=0对称的点为A′(a,b)，
则a2+2⋅b2−5=0,ba⋅−12=−1,得a=2,b=4,即A′2,4，
易知AP=A′P，
当A′,P,B三点共线时，
PA+PB=PA′+PB取得最小值，
最小值为A′B= (2+2)2+(4−0)2=42.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高二下·广西·开学考试）若直线l1：y=34x+2，l2：3x−4y+8=0，l3：y=34x−1，l4：y=−34x+1，则（ ）
A．l1∥l2B．l1与l3之间的距离为125
C．l2∥l3D．l1与l4的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.
【详解】由3x−4y+8=0，得y=34x+2，所以l1与l2重合，l2∥l3，A错误，C正确．
l1与l3之间的距离为|2−(−1)|12+342=125，B正确．
因为l1与l4的斜率互为相反数，所以l1与l4的倾斜角互补，D正确．
故选：BCD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线l1：2x−y=0与l2：x+y−3=0交于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为5
B．点P到直线x−y−1=0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：m+2x−2y−1=0都经过点P
D．1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由2x−y=0x+y−3=0，解得x=1,y=2，则点P(1,2)，
对于A，P(1,2)到原点距离12+22=5，A正确；
对于B，P(1,2)到直线x−y−1=0的距离|1−2−1|12+(−1)2=2，B错误；
对于C，(m+2)×1−2×2−1=m−3，当m≠3时，直线l3不过点P，C错误；
对于D，直线l2的斜率k=−1，因此1,−1是直线l2的一个方向向量的坐标，D正确.
故选：AD
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点A2，7，B−2，3到直线l:ax−2y+a−1=0的距离相等，则a的值可能为（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分点A,B在直线l的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点A,B在l的同侧，则直线AB//l，
即a2=7−32−−2，解得a=2，
②若A,B在l的两侧，则l经过线段AB的中点0,5，
即a×0−2×5+a−1=0⇒a=11，
故选：BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点Px,y在直线x+2y−5=0上，当OP最小时，P点的坐标为 .
【答案】1,2
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当OP垂直于直线x+2y−5=0时，OP取得最小值，
此时kOP=2，OP所在直线方程为y=2x，
联立x+2y−5=0y=2x解得x=1,y=2，即P1,2.
故答案为：1,2
13．（23-24高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点Ax1,y1，Bx2,y2，定义dAB=x1−x22+y1−y22为“A，B两点间的距离”，定义AB=x1−x2+y1−y2为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知O(0,0)为坐标原点，P(x,y)(x≥0,y≤0)为平面直角坐标系中的动点，且OP=2，则dOP的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据OP=2得出x−y=2，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设Px,y，则由OP=x+y=2，
因为x≥0,y≤0，所以x−y=2，
dOP的最小值为点O到线段的距离，
dOP的最小值为|−2|2=2.
故答案为：2
14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l与直线2x−3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为 ．
【答案】2x+3y−8=0
【分析】利用直线对称的性质求得直线l的两点，从而利用点斜式即可得解.
【详解】直线2x−3y+4=0取两点1,2,−2,0，
则它们关于x=1对称的点为1,2,4,0在直线l上，
故直线l的斜率为0−24−1=−23，
则直线l的方程为y−0=−23(x−4)，即2x+3y−8=0.
故答案为：2x+3y−8=0.
15．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知实数x,y满足xsinα+ycsα=3，则x2+y2的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解.
【详解】因为x2+y2表示点x,y到点0,0的距离的平方，
而x2+y2的最小值为点0,0到直线xsinα+ycsα=3的距离，即−3cs2α+sin2α=3，
所以x2+y2的最小值为9.
故答案为：9.
16．（2023高二上·全国·专题练习）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x−12+y2，则S的最小值是 .
【答案】2
【分析】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】S=x+12+y2+x−12+y2表示点P(x,y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，
即S=PA+PB，如图所示：
由图象知：S=PA+PB≥AB=2，
当点P在线段AB上时，等号成立.
所以S取得最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题
17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l1：x+my+1=0和l2：2x+y−1=0．
(1)若l1与l2互相垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．
【答案】(1)m=−2
(2)355
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出m的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出m的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线l1:x+my+1=0和l2:2x+y−1=0．
当直线l1与l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=−2；故m=−2；
（2）当直线l1与l2互相平行，则m=12，故直线l1的方程为2x+y+2=0；
所以直线l1与l2间的距离d=|2−(−1)|1+22=355．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形ABCD中，A1,1,C5,5，边AB,AD所在直线的方程分别为l1:x−3y+2=0和l2:3x−y−2=0．
(1)求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离；
(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．
【答案】(1)3x−y−10=0,4105；
(2)x+y−6=0；
(3)x−2y=0和x+y−6=0．
【分析】
（1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离；
（2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由BC//AD,AD的方程为l2:3x−y−2=0，
可得直线BC的斜率为3，又经过点C5,5，
则直线BC的方程为y−5=3x−5，即3x−y−10=0；
点A到直线BC的距离为3−1−109+1=4105；
（2）由A1,1,C5,5，可得AC的中点坐标为3,3，
又直线AC的斜率为5−15−1=1，则线段AC垂直平分线斜率为−1，
则其所在的直线方程为y−3=−x−3，即为x+y−6=0；
（3）由x−3y+2=03x−y−10=0，解得B4,2，
由题意可得所求直线的斜率k存在且不为0，
设所求直线的方程为y−2=kx−4，
今x=0，则y=2−4k，
今y=0，则x=4−2k，
由题意可得2−4k=4−2k，
解得k=−1和k=12，
则所求直线方程为x−2y=0和x+y−6=0．
19．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线l1:(t−1)x+2y−t=0和l2:x+ty+t−4=0.
(1)讨论直线l1与l2的位置关系；
(2)当直线l1与l2平行时，求它们之间的距离；当直线l1与l2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t的取值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)平行时距离为924，相交时最大夹角为90°．
【分析】（1）由两相交求得t的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为90°．
【详解】（1）t(t−1)−2≠0，t≠2且t≠−1时，两直线相交，
t=2时，两直线方程分别为x+2y−2=0和x+2y−2=0，两直线重合，
t=−1时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0，两直线平行．
综上， t≠2且t≠−1时，两直线相交，t=2时，两直线重合，t=−1时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为−2x+2y+1=0和x−y−5=0即为2x−2y−1=0和2x−2y−10=0，距离为d=−10−(−1)22+(−2)2=924，
两直线相交时，t≠2且t≠−1，
t≠0时，l1的斜率为k1=−t−12，l2的斜率为k2=−1t，
由−t−12⋅(−1t)=−1得t=13，即t=13时两直线垂直，夹角最大为90°．
课程标准
学习目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用
2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式