河南省2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题

这是一份河南省2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题，共8页。试卷主要包含了 在下列四个命题中，正确的是， 直线的倾斜角的取值范围是， 下列说法正确的是， 已知直线，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列四个命题中，正确的是（）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B. 过点的直线方程都可以表示为：
C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
2．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为中点，则（）
A. B.
C. D.
3. 直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
4．正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为
A．1B．2C．3D．4
5. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）
A. B. C. D.
6．已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为
A．B．C．D．
7．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为
A．B．C．D．
8．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面四个结论中正确的个数是
①与一定不垂直②二面角的正弦值是
③的面积是④点到平面的距离是常量
A.1 B.2 C.3 D.4
多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（）
A. 若向量共面，则它们所在的直线共面
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
10. 已知直线，下列命题中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则或
C. 当时，是直线的方向向量 D. 原点到直线的最大距离为
11．已知菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是
A．B．存在一个位置，使为等边三角形
C．与不可能垂直D．直线与平面所成的角的最大值为
12．在棱长为1的正方体中，点满足，，，，，则以下说法正确的是
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．
14． 如图在一个的二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则___________.
15．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为 ___________.
16．函数的最小值为 ___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；（2）求点到直线的距离.
18. （本小题满分12分）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点．
（1）求；（2）求直线与所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）已知，，由确定两个点，．
（1）写出直线的方程（答案含t）；
（2）在内作内接正方形，顶点，在边上，顶点在边上．若，当正方形的面积最大时，求，的值．
20．（本小题满分12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线垂直；②过点；③与直线平行．
问题：已知直线过点，且____．
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知，为坐标原点，在直线上求点坐标，使得最大．
21．（本小题满分12分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．
（1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面；
（2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA＝PD＝eq \r(2)，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
(2)若PB＝eq \r(3)，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为eq \f(2\r(7),7).
河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考
高二数学参考答案
单项选择题：1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C
多项选择题：9.BD 10.AD 11.ABD 12.．
三、填空题：13.或 14.3 15. ．16.
四、解答题：
17. 解(1)设，则，
∴，解得，
∴；
（2）∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为.
18. 解：
（1）因为在平行六面体中，点在线段上，且满足．
设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底．
所以．
，
，
．
（2）由（1）知，，
，，
，
直线与所成角的余弦值为．
19．解（1）由题意知当直线斜率存在时，，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为．
直线的方程为．
（2）由和四边形为正方形可知，，
，，
因为点在直线上，
所以，
所以，
而正方形的面积最大，即最大，
所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大．
20．解：（1）根据题意，选择①与直线垂直，
则直线的斜率，解得，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
选择②过点，又直线过点则直线的斜率，
则直线的方程为：，整理得：；
选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点，
则直线的方程为：，整理得：；
综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：．
（2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，
设点关于直线的对称点为，
则，且，解得，即；
根据题意，作图如下：
显然，但且仅当，，三点共线时取得等号；
又直线的斜率，故其方程为：，即，
联立，可得，
即点的坐标为时，使得最大．
21．解：（1）证明：四边形是等腰梯形，，，，
连接，，，
平面，平面，
平面．
（2）解：平面，平面，，
，，，
，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，，，，2，，，0，，
，
设平面的法向量为，
，令，，，，
设与平面所成角为，．
与平面所成角的正弦值为．
22． (1)证明 因为PA＝PD＝eq \r(2)，AD＝2，
所以PA2＋PD2＝AD2，所以PD⊥PA，
又因为PD⊥AB，AB，PA⊂平面PAB，且AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB，
又因为PD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAB.
(2)解 因为PA＝eq \r(2)，AB＝1，PB＝eq \r(3)，
所以PA2＋AB2＝PB2，所以AB⊥PA，
又因为PD⊥AB，PA，PD⊂平面PAD，且PD∩PA＝A，
所以AB⊥平面PAD，
因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，
所以四边形ABCD为矩形．
以A为原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,1,1)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，
由PD⊥平面PAB，可得向量eq \(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)是平面PAB的一个法向量．
设eq \(ED,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，则E(0,2－λ，λ)，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(0,2－λ，λ)．
设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－λy＋λz＝0，,x＋2y＝0，))令y＝－1，可得x＝2，z＝eq \f(2－λ,λ)，所以n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1，\f(2－λ,λ)))，
所以|cs〈eq \(PD,\s\up6(→))，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(PD,\s\up6(→))·n,|\(PD,\s\up6(→))||n|)))＝eq \f(2\r(7),7)，可得12λ2－8λ＋1＝0，
解得λ＝eq \f(1,2)或λ＝eq \f(1,6)，即当点E满足eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PD,\s\up6(→))或eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(PD,\s\up6(→))时，平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为eq \f(2\r(7),7).