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    四川省绵阳市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题
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    四川省绵阳市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题

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    这是一份四川省绵阳市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题,共11页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.直线x+1=0的倾斜角为( )
    A.0°B.45°C.90°D.不存在
    2.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为点B,则点B的坐标是( )
    A.B.C.D.
    3.直线l:2x﹣3y+6=0在x轴上的截距是( )
    A.(﹣3,0)B.(3,0)C.-3D.3
    4.已知,,,则向量在上的投影向量的坐标是( )
    A.B.C.D.
    5.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x﹣a正确的是( )
    A.B.C.D.
    6.如图与所在平面垂直,且,,则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为( )
    A.B.
    C.D.
    7.设直线的方程为,则直线的倾斜角的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    8.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点P为线段B1C上的动点,则点P到直线AC1的距离的最小值为( )
    A.B.
    C.D.
    二、多项选择题(每小题5分,共4小题,共20分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
    9.已知平面,其中点,法向量,则下列各点在平面内的是( )
    A. B. C. D.
    10.已知直线l1:,l2:,下列命题中正确的是( )
    A.若l1⊥l2,则m=0B.当m=0时,是直线l1的一个方向向量
    C.若l1∥l2,则m=2或m=﹣2D.若直线l2在两坐标轴上的截距相等,则实数m=4
    11.已知四面体ABCD的所有棱长均为2,M,N分别为棱AD,BC的中点,F为棱AB上异于A,B的动点.下列结论正确的是( )
    A.若点G为线段MN上的动点,则无论点F与G如何运动,直线FG与直线CD都是异面直线
    B.线段MN的长度为
    C.异面直线MN和CD所成的角为
    D.FM+FN的最小值为 2
    12.如图,正方体的棱长为,点为底面的中心,点为侧面内(不含边界)的动点,则( )
    A.
    B.存在一点,使得
    C.三棱锥的体积为
    D.若,则面积的最小值为
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填在答题卡中的横线上.)
    13.一条光线从点P(6,0)射出,经直线y轴反射后过点Q(2,8),则反射光线所在的直线方程为.
    14.直线和直线分别过定点A和B,则.
    15.二面角的棱上有两个点A、B,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为.
    16.若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ,则当θ取最小值时,.
    四.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.(满分10分)已知平面直角坐标系内三点.
    (1)求直线的斜率和倾斜角;
    (2)若可以构成平行四边形,且点在第一象限,求点的坐标及CD所在直线方程;
    (3)若是线段上一动点,求的取值范围.
    18.(满分12分)已知点、、,,.
    (1)若,且,求;
    (2)若与垂直,求.
    19.(满分12分)已知的顶点,边上的高所在的直线方程为.
    (1)求直线的方程;
    (2)在两个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
    ①角A的平分线所在直线方程为;②边上的中线所在的直线方程为.
    若_____,求直线的方程.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.)
    20.(满分12分)空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(轴、轴、轴)正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组相对应,称向量的斜60°坐标为,记作.
    (1)若,,求的斜60°坐标;
    (2)在平行六面体中,,,N为线段D1C1的中点.如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
    ①求的斜60°坐标;
    ②若,求与夹角的余弦值.
    21.(满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为的中点,点F在棱上,且PC=3PF,点G在棱PB上,且.
    (1)求证:面;
    (2)当时,求点G到平面AEF的距离;
    (3)是否存实数,使得A,E,F,G四点共面,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
    22.(满分12分)如图,圆台的轴截面为等腰梯形,,B为底面圆周上异于A,C的点.
    (1)若P是线段BC的中点,求证:C1P//平面;
    (2)设平面∩平面,与平面QAC所成角为,当四棱锥的体积最大时,求的最大值.
    2022级高二上学期10月月考试题
    数 学(参考答案)
    单选题:
    二、多选题:
    三、填空题:
    13.y=x+6 °16.
    四、解答题:
    17.【解答】(1)解:因为直线的斜率为,所以直线的倾斜角为;分
    (2)如图,当点在第一象限时,.
    设,则,解得,故点的坐标为;分
    故CD所在直线方程为:,即;分
    (3)由题意得为直线的斜率,
    当点与点重合时,直线的斜率最小,;
    当点与点重合时,直线的斜率最大,;
    故直线的斜率的取值范围为,
    即的取值范围为. 分
    18.【解答】(1)、,,
    ,且,
    ∴存在实数λ,使得
    ,且,
    解得,
    或; 分
    ,,
    又与垂直,

    解得或. 分
    19.【解答】(1)因为边上的高所在的直线方程为,
    所以直线的斜率,又因为的顶点,
    所以直线的方程为:,即; 分
    (2)若选①,角的平分线所在直线方程为,
    由,解得,所以点A坐标为, 分
    设点B关于的对称点为,
    则,解得,即坐标为, 分
    又点在直线上,所以的斜率,
    所以直线的方程为,即. 分
    若选②:边上的中线所在的直线方程为,
    由,解得,所以点,分
    设点,则的中点在直线上,
    所以,即,
    又点在直线上,所以,分
    所以的斜率,所以直线的方程为,
    即直线的方程为. 分
    【解答】(1)解:由,,
    知,,
    所以,所以; 分
    (2)解:设,,分别为与,,同方向的单位向量,
    则,,,
    ①,
    . 分
    ②因为,所以,
    则,
    ∵,分
    ∴,
    所以与的夹角的余弦值为分
    21.【解答】(1)由面面,则,
    又且,
    可得:面分
    (2)以A为原点,面内与垂直的直线为x轴,方向为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    易知:,
    由可得:,由可得:,
    设平面的法向量为:,则,
    ∴面的一个法向量为, 分
    设G(a,b,c),,则,
    ∴点G到平面AEF的距离为:,
    即点G到平面AEF的距离为. 分
    (3)存在这样的.
    由可得:,则,
    若A,E,F,G四点共面,则在面内,
    又面的一个法向量为,
    ∴,即,可得.
    ∴存在这样的,使得四点共面. 分
    22.【详解】(1)取中点H,连接,则有,如图,
    因为中点P,
    在等腰梯形中,,有,
    则四边形为平行四边形,
    即有,又平面,平面,
    所以平面. 分
    (2)延长交于点O,作直线,则直线即为直线,如图,
    过点B作于,
    因为平面平面,平面平面,平面,
    因此平面,
    即为四棱锥的高,在中,,

    当且仅当时取等号,此时点与重合,
    梯形的面积为定值,四棱锥的体积,
    于是当最大,即点与重合时四棱锥的体积最大,,
    以为原点,射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系,分
    在等腰梯形中,,
    此梯形的高,
    显然为的中位线,则,

    设,

    设平面的一个法向量,则,
    令,得,则有 分

    令,则,
    当时,,
    当且仅当,即时取等号,
    所以的最大值为分
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    C
    B
    C
    D
    A
    D
    A
    A
    题号
    9
    10
    11
    12
    答案
    AC
    AB
    BCD
    ACD
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