广西南宁市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份广西南宁市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回， 直线的倾斜角的取值范围， 已知直线l1， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上，贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回.
一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若A，B，C，D为空间任意四个点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合向量的加减运算法则即可直接求解.
【详解】解：.
故选：A.
2. 已知直线：，则以下四个情况中，可以使的图象如下图所示的为（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距，再根据图象列不等式可求得结果.
【详解】由，当时，，
当时，，
由图可知，
所以当时，，当时，，
所以ABC错误，D正确，
故选：D
3. ，，若//，则（）
A. 0B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的条件进行求解
【详解】由//，则，使得，即，解得.
故选：B
4. 如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】∵，∴
，∴，，
故选：C.
5. 直线的倾斜角的取值范围（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程求出该直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率的关系、余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】由，所以该直线的斜率为，
因为，所以，设该直线的倾斜角为，
于是有，或，
故选：C
6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的公式求解即可
【详解】在上投影向量
故选：A
7. 从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用点关于直线的对称点在入射光线上，再由、两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线的方程．
【详解】解：点关于直线的对称点为
则，解得，所以M(3,3)
可得直线PM方程为：.
故选：A．
8. 如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，得、、、，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
从而，
故直线与平面所成角的余弦值是.
故选：C.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（ ）
A. 直线l2的斜率为
B. 若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18
C. 直线l1倾斜角的正切值为3
D. 若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2
【答案】BD
【解析】
【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．
【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，
当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；
当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；
直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；
当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．
故选：BD．
10. 已知直线：，：，则下列结论正确的是（）
A. 直线过定点B. 当时，
C. 当时，D. 当时，两直线，之间的距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】不管为何值，当时，，即可判断A；根据两直线垂直的判定即可求得的值，从而可判断B；根据两直线平行的判定即可求得的值，从而可判断C；结合C选项可得两直线的方程，再根据两直线平行的距离公式即可判断D．
【详解】不管为何值，当时，，所以直线过定点，故A正确；
当时，有，得，故B正确；
当时，有，得，故C错误；
结合C选项知当时，，所以直线：，：，
所以两平行线间的距离为，故D错误．
故选：AB．
11. 在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得.
【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，，
设为平面的法向量，
则有：，令，可得，
则点到平面的距离为，
因为，所以，所以.
故选：BC
12. 下列结论正确的是（）
A. 若直线与直线平行，则它们的距离为
B. 点关于直线的对称点的坐标为
C. 原点到直线的距离的最大值为
D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果判断A；利用对称知识求出对称点判断选项B；求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求解最大值即可判断C；求解三角形的面积判断D．
【详解】对于A ，直线与直线平行，
显然，所以，且，解得，
故两条平行直线即为直线与直线，
则它们之间的距离为，所以A不正确；
对于B，假设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，
即点关于直线的对称点的坐标为，故B正确；
对于C，由，得，由，得，
故直线过定点，
所以原点到直线的距离的最大值为，故C正确；
对于D，令，得，令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确.
故选：BC．
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.
13. 直线l的斜率k＝x2+1（x∈R），则直线l的倾斜角α的范围为___．
【答案】．
【解析】
【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切函数的范围，然后求解倾斜角的范围．
【详解】解：因为直线l的斜率k＝x2+1（x∈R），所以k≥1，即，
又α∈[0，π），所以直线l的倾斜角α的范围为．
故答案为：．
14. 若，，，且共面，则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量共面定理，可得到存在不同时为零的实数 ，使得，列出方程组，解得答案.
【详解】由于共面，
故存在不同时为零的实数 ，使得 ，
即 ，解得 ，
故答案为：1
15. 已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.
【详解】因为直线，平行，所以，解得，
所以即，
由两条平行线间的距离公式可得.
故答案为2
【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.
16. 唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．
【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标为
则解得：，
所以，
设，设直线上的点，则
则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，
而，
所以最短结论为，
故答案为：．
四､解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. 已知直线的方程为，点的坐标为.
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线平行斜率相同设直线方程，再根据直线过点则可求出；
（2）根据直线垂直斜率相乘为-1的关系设直线方程，再根据直线过点则可求出.
【小问1详解】
与直线l平行的直线斜率与l相同，方程设为，因为过点，将点坐标代入，则，解得C=3.
∴过P点且与直线l平行的直线方程为.
【小问2详解】
根据直线与坐标轴不垂直的情况下，两垂直直线斜率相乘为-1，则与直线l垂直的直线斜率为，设该直线方程为，因为过P点，将点坐标代入，则，解得.
∴过P点且与直线l垂直的直线方程为.
18. 已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
（1）求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
（2）若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
【答案】（1）直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点间斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【小问1详解】
由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
【小问2详解】
如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
19. 已知空间三点，，，求：
（1）若，求实数a；
（2）若，△ABC的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数a；
（2）应用空间向量夹角坐标表示求、夹角余弦值，进而求正弦值，坐标公式求模长，应用三角形面积公式求面积即可.
【小问1详解】
由题设，，又，
所以，可得.
【小问2详解】
由题意，故，而，
所以，故，
而，，故.
20. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求点G到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求得向量的坐标，由求解；
（2）求得平面CEF的一个法向量，由求解,
小问1详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
所以与所成角的余弦值是；
【小问2详解】
，
设平面CEF的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以
21. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，E为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；
（2）首先建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求出正弦值，再求正切值即可
【详解】（1）连结，交于点，连结，
分别是的中点，，
平面，平面，
平面；
（2）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，
，，
易知为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角，则
，
，
所以直线与平面所成角正切值
22. 请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.
（1）求角C的大小；
（2）若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；
（2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；
【小问1详解】
选①：，根据二倍角公式化简得：
即
因为
解得：或（舍去），
所以；
选②，根据正弦定理得：
根据余弦定理得：
又因为，所以；
选③，根据正弦定理得：
因为，
解得：，所以；
【小问2详解】
，根据数量积定义可知：
所以，则有：，
如图所示：,
根据正弦定理得：
，
因为
根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立，
即，
代入，
解得：，