河南省郑州市2023_2024学年高二数学上学期10月联考试题含解析

这是一份河南省郑州市2023_2024学年高二数学上学期10月联考试题含解析，共25页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且与直线平行的直线方程为（）
A. B. C. D.
2. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
3. 如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（）
A. B.
C. D.
4. 若直线与直线平行，则的值是（）
A. 1或B. C. D. 或
5. 已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（）
A. B.
C. D.
6. 已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点坐标是（）
A. B.
C. D.
7. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（）
A. B. C. D.
10. 已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（）
A. B.
C. D.
11. 下列结论中正确的是（）
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若两个不同平面的法向量分别为，则
D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
12. 已知动直线，则下列结论中正确的是（）
A直线恒过第四象限
B. 直线可以表示过点的所有直线
C. 原点到直线的距离的取值范围是
D. 若与交于点，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.
14. 已知点，，，则在上的投影向量的模为______.
15. 若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.
16. 在平面四边形中，，等腰三角形底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过直线的交点．
（1）若直线经过点，求直线的方程;
（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．
18. 已知直线和直线，其中为实数．
（1）若，求的值;
（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
（1）设平面的法向量为，求的值;
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
20. 已知直线．
（1）求证：直线过定点；
（2）若当时，直线上点都在轴下方，求的取值范围；
（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2 的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且
（1）求证：平面．
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且与直线平行的直线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线方程为，代入已知点坐标求得参数值即得．
【详解】设直线方程为，又直线过点，
所以，，即直线方程为．
故选：B．
2. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线倾斜角为，根据题意求得，得到，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，即，
解得，即直线的倾斜角的取值范围为.
故选：B.
3. 如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出即可.
【详解】
.
故选：D
4. 若直线与直线平行，则的值是（）
A. 1或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，所以实数的值为.
故选：C.
5. 已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可.
【详解】由题意知：，，
对于A，，，
与均垂直，是平面的一个法向量，A正确；
对于B，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，B错误；
对于C，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，C错误；
对于D，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，D错误.
故选：A.
6. 已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设点，结合向量的数量积的运算公式，得到，根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为点在直线上运动，且，设点，
可得，
则，
根据二次函数的性质，可得时，取得最小值，
此时点的坐标为.
故选：A.
7. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】在堑堵中，，，，
，
，
，
，当且仅当是等号成立，
即当鳖臑的体积最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
8. 在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程.
【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上，
设，根据且的中点在直线上，得，
解得，所以，
又，所以直线方程为，故方程为，
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（）
AB. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可.
【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面.
对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
故选：BCD
10. 已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得直线过线段的中点或，再逐一检验各个选项即可.
【详解】由点到直线的距离相等，
得直线过线段的中点或，
对于A，直线的方程为，即，故A选项符合；
对于B，将线段的中点代入得，
所以直线过线段的中点，故B符合；
对于C，将线段的中点代入得，
所以直线不过线段的中点，故C不符合；
对于D，将线段的中点代入得，
所以直线过线段的中点，故D符合.
故选：ABD.
11. 下列结论中正确的是（）
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若两个不同平面的法向量分别为，则
D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．
【详解】选项A，由于，即，∴，A正确；
选项B，∵，所以或，B错；
选项C，，即，∴，C正确；
选项D，，平面的法向量，则，
，代入得，D错．
故选：AC．
12. 已知动直线，则下列结论中正确的是（）
A. 直线恒过第四象限
B. 直线可以表示过点的所有直线
C. 原点到直线的距离的取值范围是
D. 若与交于点，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】A令判断即可；B求出直线所过的定点判断；C利用点线距离公式及二次函数性质求范围；D易知，则，应用基本不等式、三角形三边关系求范围.
【详解】A：当时，，显然不过第四象限，错；
B：由，令，则直线恒过，
由也过点，但对于直线，无论a取何值都不可能与直线重合，
所以直线不可以表示过点的所有直线，错；
C：原点到直线的距离，，则，对；
D：由，即，如下图，则，
所以，即，当且仅当时等号成立，
又，当与重合时等号成立，
故的取值范围是，对.
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设点，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由点在直线上，可设点，因为点到直线的距离为，则，整理可得，解得或，
当时，位于第一象限，满足题意；当时，位于第四象限，不满足题意，所以点的坐标为.
故答案为：.
14. 已知点，，，则在上的投影向量的模为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出、的坐标，即可得到、，最后根据计算可得.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，，
所以在上的投影向量的模为.
故答案为：
15. 若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案.
【详解】当三条直线交于同一点时，
，即交点为.
将代入，解得，直线为，
与重合，舍去.
当与平行时，即，解得，舍去.
当与平行时，，解得，
此时直线为，符合题意.
故答案为：4
16. 在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】取AC中点O，连接OB，过点O作平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，设二面角的大小为，把直线AC与所成角的余弦表示为的函数，求出函数最大值作答.
【详解】因，所以，
又因为腰三角形的底边上的高，所以，
过作于H，连接，如图，
显然，绕直线AC旋转过程中，线段DH绕点H在垂直于直线AC的平面内旋转到，
取AC中点O，连接OB，因，有，，
，过点O作平面，
以点O为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，显然有平面，
设二面角的大小为，
有，
因为沿直线将向上翻折角至，且，
所以，即，所以，
则有，
的方向向量为，设直线AC与所成的角为，
于是得，
因设二面角的大小为，，
于是得，
所以直线AC与所成角的余弦值的取值范围是:.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过直线的交点．
（1）若直线经过点，求直线的方程;
（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.
（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.
【小问1详解】
由得，
即直线和的交点为．
直线还经过点，
的方程为，即．
【小问2详解】
由直线与直线垂直，
可设它的方程为．
再把点的坐标代入，可得，解得，
故直线的方程为.
18. 已知直线和直线，其中为实数．
（1）若，求的值;
（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
【答案】（1）或0
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用直线垂直的条件分类讨论斜率情况计算即可；
（2）将点P坐标带入直线方程先计算得，再利用点斜式求截距，计算即可.
【小问1详解】
若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；
若，则，解得．
综上，或0.
【小问2详解】
由在直线上，得，解得，可得，
显然直线的斜率一定存在且不为0，不妨设直线的方程为，
令，可得，再令，可得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或，
即或．
19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
（1）设平面的法向量为，求的值;
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；
（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．
【小问1详解】
由题可知，
，
则即
解得；
【小问2详解】
，
∴，
又，
∴，
故异面直线与所成角的余弦值为．
20. 已知直线．
（1）求证：直线过定点；
（2）若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；
（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【解析】
分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；
（2）由时对应点的纵坐标不小于0可得；
（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．
【小问1详解】
由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线过定点；
【小问2详解】
若当时，直线上的点都在轴下方，
则
解得，
所以k的取值范围是；
【小问3详解】
设直线与轴的交点为A，与轴的交点为，坐标原点为．
当时，得|，当时，得，
所以，
即，
解得或，
所以直线的方程为或．
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2 的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直证得是等边三角形，利用中位线的性质证线线平行即可判定线面平行；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
【小问1详解】
易知是的中点，
∵平面，平面，
∴，则．
∵菱形的边长为2，，
易得，
∴，即，
∴是等边三角形，
∵，
∴是的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
由（1）及条件易知两两互相垂直，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则令，得，
∴，
结合图可知，二面角为锐角，故其余弦值为.
22. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且
（1）求证：平面．
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接．证明平面平面后可得证线面平行；
（2）分别以所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设，由空间向量法求线面角，即可得出结论．
【小问1详解】
如图，取的中点，连接．
∵为的中点，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面
∵为中点，
∴．
∵分别为的中点，
∴，则．
∵平面，平面，
∴平面，
又，平面，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
【小问2详解】
由题知，可得底面，
由题易知．
∵90°，∴以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
∴，
设平面的法向量为，
则不妨令，可得．
设，则．
由，
解得，这与矛盾，
故棱上不存在一点，使得直线与平面所成的角为.