河北省沧州市青县第五中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份河北省沧州市青县第五中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共12题，共36.0分)
1．(3分)解下列方程：（1）（x-2）2=5；（2）x2-3x-2=0；（3）x2-4x-896=0，较适当的方法为（ ）
A. （1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法
B. （1）因式分解法（2）公式法（3）公式法
C. （1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法
D. （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
2．(3分)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则另一个解为（ ）
A. x=-1 B. x=-2 C. x=1 D. x=2
3．(3分)二次函数y=ax2-a与反比例函数y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4．(3分)如图，E是正方形ABCD边CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF，过点A作EF的垂线AG交EF于点H，交BC于点G．若BG=3，CG=2，则DE的长为（ ）
A. B.
C. 4 D.
5．(3分)在二次函数y=x2-2x-3中，若函数值小于0，则结合函数图象判断x的取值范围是（ ）
A. x＜-1或x＞3 B. -1＜x＜3
C. x＞1或x＜-3 D. -3＜x＜1
6．(3分)用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样
7．(3分)下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A. B.
C. D.
8．(3分)方程x（2x+1）=5（2x+1）的根是（ ）
A. 5和 B.
C. 5 D. -5和
9．(3分)某超市一月份的营业额为10万元，三月份的营业额为45万元，若平均每月的增长率为x,则依题意列方程为（ ）
A. 10（1+x）=45 B. 10+10×2x=45
C. 10（1+x）2=45 D. 10+3x=45
10．(3分)下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与x轴无交点
C. 这个函数的最小值小于-6
D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
11．(3分)为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A. B. 5m
C. D. 6m
12．(3分)记实数x1、x2，中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，-1}=-1，当x取任意实数时，则min{-x2+4，-3x}的最大值为（ ）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
二、填空题(共4题，共4.0分)
13．(0分)方程y=（m-2）x|m|+3mx+1是关于x的二次函数，则m=_____．
14．(4分)如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=_____，FB+FD的最小值为 _____．
15．(0分)函数y=ax2-2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是_____．
16．(0分)如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为_____．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17．(9分)已知x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，求直线y=mx-2经过哪些象限．
18．(9分)若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2-3m=4的常数项为0，求m的值．
19．(9分)一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0，试求a,b,c的值．
20．(9分)已知点M（x-1，x+y）与点N（-y,-3）关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
21．(9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点A（0，-3），B（1，0）．
（1）求此函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出当-2≤x≤1时，函数y的取值范围．
22．(9分)珊珊度假村共有客房50间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，度假村住宿每天的利润为w元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求w与x的函数关系式，并求客房收入每天的最大利润是多少？
（3）当x为何值时，客房收入每天的利润不低于10350元？
23．(9分)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04（x-9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1_____d2（填“＞”“=”或“＜”）．
24．(9分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F．若点P的横坐标为m,设线段PF的长度为y,求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
1．【答案】D
【解析】根据解一元二次方程的方法逐个判断即可．
解：（1）（x-2）2=5，
开平方得：x-2=，用直接开配方法比较简便；
（2）x2-3x-2=0，用公式法比较简便；
（3）x2-4x-896=0，
（x-32）（x+28）=0，用因式分解法比较简便；
故选：D．
2．【答案】D
【解析】根据一元二次方程的根与系数关系求解即可．
解：设另一个解为x,根据题意，得1⋅x=2，则x=2，
∴另一个解为x=2，
故选：D．
3．【答案】C
【解析】先根据二次函数y=ax2-a的图象的开口方向和y轴的交点（0，-a），判断a的正负号，再看反比例函数y=（a≠0）的图象是否一致即可．
解：A、由抛物线开口方向可知a＞0，这与抛物线与y轴的交点（0，-a）相矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，-a）相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由抛物线开口方向可知a＜0，反比例函数y=图象在第二、四象限，故本选项符合题意；
D、由抛物线开口方向可知a＜0，这与抛物线与y轴的交点（0，-a）相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．【答案】A
【解析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设DE=x,则CE=CD-DE=5-x,BF=DE=x,FG=BF+BG=x+3=EG，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到DE的长．
解：如图，连接EG，
∵BG=3，CG=2，
∴BC=BG+CG=3+2=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=5，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，DE=BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设DE=x,则CE=CD-DE=5-x,BF=DE=x,FG=BF+BG=x+3，
∴EG=x+3，
在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，
即（5-x）2+22=（x+3）2，
解得：x=，
∴DE的长为．
故选：A．
5．【答案】B
【解析】先令y=0，解方程求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据函数的图象求出函数值小于0时x的取值范围．
解：令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=3或x=-1，
∴二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∵1＞0，抛物线开口向上，
∴函数值小于0时，x的取值范围为-1＜x＜3，
故选：B．
6．【答案】C
【解析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．
解：设围成的图形的面积为y m2，
方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12-2x）米，
由题意得：y=x（12-2x）=-2（x-3）2+18，
当x=3时，y有最大值为18；
方案二：∴等腰三角形的腰为6米，
当顶角为直角时，面积最大，为：×6×6=18；
方案三：设圆的半径为r米，则：πr=12，
解得：r=，
∴y=π（）2=≈23，
∵23＞18，
故选：C．
7．【答案】A
【解析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
解：A、最小旋转角度==90°．
B、最小旋转角度==72°．
C、最小旋转角度==120°．
D、最小旋转角度==60°．
综上可得：顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
8．【答案】A
【解析】提取公因式（2x+1）即可得到（x-5）（2x+1）=0，然后解两个一元一次方程即可．
解：∵x（2x+1）=5（2x+1），
∴x（2x+1）-5（2x+1）=0，
∴（x-5）（2x+1）=0，
∴x1=5，x2=-．
故选：A．
9．【答案】C
【解析】设平均每月的增长率为x,则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，由“三月份的营业额为45万元”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设平均每月的增长率为x,则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，
依题意，得：10（1+x）2=45．
故选：C．
10．【答案】C
【解析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-3x-4=（x-4）（x+1）=（x-）2-，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（4，0）和（-1，0），故B选项不符合题意；
C．当x=时，函数有最小值为-，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x=，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
11．【答案】A
【解析】根据点A到点O的距离为4，得到A（4，0），把A（4，0）代入求得根据二次函数的解析式是解题的关键．
解：点A到点O的距离为4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入得16a+=0，
∴a=-，
∴y=-x2+x,
∵y=-（x2-4x+4-4）=-（x-2）2+，
∴水流喷出的最大高度为，
故选：A．
12．【答案】D
【解析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值．
解：画出函数y=-x2+4和y=-3x的图象，如图：
由图可知：当x=-1时，函数有最大值，最大值为3，
所以min{-x2+4，-3x}的最大值为3，
故选：D．
13．【答案】-2
【解析】根据二次函数的定义可得m-2≠0，|m|=2，求解即可．
解：∵方程y=（m-2）x|m|+3mx+1是关于x的二次函数，
∴m-2≠0，|m|=2，
解得m=-2，
故答案为：-2．
14．【答案】(1)30°;(2)5;
【解析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE=∠BCF=30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值=线段BG的长．
解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE=∠BAC=30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠BCF=30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值=线段BG的长．
∵∠DCF=∠FCG=30°，
∴∠DCG=60°，
∵CD=CG=5，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB=DC=DG，
∴∠CGB=90°，
∴BG===5，
∴BF+DF的最小值为5，
故答案为：30°，5．
15．【答案】0＜x＜2
【解析】根据函数y=ax2-2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），可以求得m的值，然后即可求得当y=0时x的值，再根据二次函数的性质即可解答本题．
解：∵函数y=ax2-2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），
∴0=a×22-2a×2+m,
化简，得m=0，
∴y=ax2-2ax=ax（x-2），
当y=0时，x=0或x=2，
∵a＞0，
∴使函数值y＜0成立的x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
16．【答案】
【解析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′，分别求出即可．
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），
∴O′M=，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2-1=1，
∴tan∠O′AM==，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′=-=，
故答案为：．
17．【解析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．从而确定直线y=mx所经过的象限．
解：∵x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，
∴4m2-4=0，
解得：m=±1，
根据题意，得m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1＜0．
∴直线y=mx-2经过的象限是第二、三、四象限．
18．【解析】根据方程中常数项为0，求出m的值，检验即可．
解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2-3m-4=0的常数项为0，
∴m2-3m-4=0，即（m-4）（m+1）=0，
解得：m=4或m=-1，
当m=-1时，方程为5x=0，不合题意；
则m的值为4．
19．【解析】根据一元二次方程的一般形式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
解：一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为ax2-（2a-b）x-（b-a-c）=0，
一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0，得
，
解得．
20．【解析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可．
解：∵M（x-1，x+y）与点N（-y,-3）关于原点对称，
∴，解得，
∴点M（1，3），点N（-1，-3）．
21．【解析】（1）通过待定系数法求解．
（2）求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．
解：（1）将A（0，-3），B（1，0）代入y=ax2+2x+c得，
解得，
∴y=x2+2x-3．
（2）令x2+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
∴抛物线经过（-3，0），（1，0），
∵抛物线开口向上，y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴对称轴为直线x=-1，
∵-2≤x≤1，
当x=-1时，y有最小值-4，
当x=1时，y有最大值=0，
∴-4≤y≤0．
22．【解析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=50个房间-每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）支出费用为20×（50-），则利润w=（200+x）（50-）-20×（50-），利用配方法化简可求最大值；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
解：（1）由题意得：y=50-；
（2）w=（200+x）（50-）-20×（50-）
∵w=−x2+32x+9000
=−（x−160）2+11560，
∵-＜0，
∴当x=160时，W最大=11560，
此时定价为160+200=360（元），
∴当每个房间定价为每天360元时，w有最大值，最大值是11560元．
（3）当w=10350时，即-（x-160）2+11560=10350，
解得：x1=50，x2=270，
故当50≤x270时，每天的利润不低于10350元．
23．【答案】＜
【解析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．
解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h=8，k=23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,
根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00，代入y=a（x-8）2+23.20得：
20.00=a（0-8）2+23.20，
解得：a=-0.05，
∴函数关系式为：y=-0.05（x-8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时，t=-0.05（x-8）2+23.20，
解得：x=8+或x=8-，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1=8+，
第二次训练时，t=-0.04（x-9）2+23.24，
解得：x=9+或x=9-，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2=9+，
∵20（23.20-t）＜25（23.24-t），
∴＜，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
24．【解析】方法一：
（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）分P在CD上面和P在CD下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
方法二：
（1）略．
（2）分别求出P，F点参数坐标，并求出PF的长度表达式．
（3）过P点作CD的垂线，构造等腰直角三角形，利用“开锁法”即点在坐标系中平移，旋转，再平移，求出P点参数坐标，代入抛物线表达式，并求出P点坐标．
方法一：
解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2．
（2）①P在CD上面，点P的坐标为（m,-m2+m+2），点F的坐标为（m,m+2），
线段PF的长度为y=-m2+m+2-m-2=-m2+3m（0＜m＜3）；
②P在CD下面，点P的坐标为（m,-m2+m+2），点F的坐标为（m,m+2），
线段PF的长度为y=m+2+m2-m-2=m2-3m（m≥3）；
（3）存在．
理由：如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m,EM=2，
∴FM=yF-EM=m,
∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m.
过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，
∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=m,PN=2FN=m,
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m.
∵PF=yP-yF=（-m2+m+2）-（m+2）=-m2+3m,
∴-m2+3m=m,整理得：m2-m=0，
解得m=0（舍去）或m=，
∴P（，）；
同理求得，另一点为P（，）．
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
方法二：
（1）略．
（2）设P（m,-m2+m+2），则F（m,m+2），
∴PF=||=．
（3）过P点作CD的垂线，垂足为N，
∵∠PCF=45°，∴△PCN为等腰直角三角形，点P可视为点C绕点N顺时针旋转90°而成，
∵N点在直线CD上，∴设N（t,t+2），C（0，2），
将N点平移至原点，N（0，0），则C′（-t,-t），
将C′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（-t,t），
将N′点平移至N点，则P平移后即为P（t,t+2），
把P点代入抛物线，
∴，
∴t1=0（舍），t2=1，
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
x
…
-2
0
1
3
…
y
…
6
-4
-6
-4
…
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
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