河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年上 学期九年级数学第二次月考模拟试题

这是一份河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年上 学期九年级数学第二次月考模拟试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共12题，共36.0分)
1．(3分)有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x-4）=0，③x2+y-3=0，④+x=2，⑤x3-3x+8=0，⑥x2-5x+7=0，⑦（x-2）（x+5）=x2-1．其中是一元二次方程的有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．(3分)下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A. y=-x B. y=2x+3
C. y=x2-3 D. y=
3．(3分)若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜5 B. k＞5
C. k≤5，且k≠1 D. k＜5，且k≠1
4．(3分)某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x,则（ ）
A. 2（1-x）=75% B. 1-2x=75%
C. 1-x+（1-x）2=75% D. （1-x）2=75%
5．(3分)如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到点A'，且AB=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. 2π D.
6．(3分)二次函数y=a（x-2）2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
7．(3分)下表中所列的x,y的5对值是二次函数y=ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：
若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（ ）
A. 当x1＜x2时，y1＜y2
B. 当y1＞y2时，x1＜x2
C. 该函数的最小值为3
D. 当x1=1+n,x2=1-n时（n为常数），y1=y2
8．(3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 4.8 B. 10 C. 12 D. 8或10
9．(3分)为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC=x米，则下列4个结论：①米；②BC=2CF；③AE=2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
10．(3分)设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．(3分)如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a,DE=b,CE=c,关于x的方程ax2+bx+c=0（ ）
A. 一定有两个相等实根
B. 一定有两个不相等实根
C. 有两个实根，但无法确定是否相等
D. 无实根
12．(3分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题(共4题，共12.0分)
13．(3分)平面直角坐标系中，点A（m-3，m2-2）关于原点成中心对称的点在第二象限，则m的取值范围是 _____．
14．(3分)若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为_____
15．(3分)关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n,则n=_____．
16．(3分)如图所示，已知AB=10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是_____．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17．(9分)解方程：x2-2x-5=0．
18．(9分)在平面直角坐标系中，将点B（-2，3）绕着点A（-1，0）顺时针旋转90°，求旋转后的点B′的坐标．
19．(9分)已知M=x2-x+1．
（1）当M=3时，求x的值；
（2）若M=3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
20．(9分)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
21．(9分)在学习乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
∴（x+2）2+1≥1．
∴当x=-2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：m2+8m+_____=（m+4）2；
（2）若y=x2+2x-3，当x=_____时，y有最 _____值（填“大”或“小”），这个值是 _____；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2=12a+8b-52，且c的值为代数式-x2+6x-5的最大值，判断△ABC的形状，并说明理由．
22．(9分)作图题
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）画出△ABC关于点B的中心对称图形△A1B1C1．
23．(9分)如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12cm,AB=6cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；
（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
24．(9分)如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．
试卷答案
1．【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：一元二次方程有②⑥，共2个，
故选：A．
2．【答案】C
【解析】根据形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
解：A、y=-x不是二次函数，故此选项错误；
B、y=2x+3不是二次函数，故此选项错误；
C、y=x2-3是二次函数，故此选项正确；
D、y=不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
3．【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且Δ=42-4（k-1）×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k-1≠0且Δ=42-4（k-1）×1＞0，
解得：k＜5，且k≠1．
故选：D．
4．【答案】D
【解析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：（1-x）2=75%．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】，根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABA′的面积之和减去半圆的面积．
解：由图可得，图中阴影部分的面积为：+-=π，
故选：B．
6．【答案】B
【解析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、一次函数y=cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y=a（x-2）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误；
B、一次函数y=cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y=a（x-2）2+c的图象开口向上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确；
C、二次函数y=a（x-2）2+c的对称轴x=2，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y=cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y=a（x-2）2+c的顶点（2，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：B．
7．【答案】D
【解析】观察表格中的数据11，6，3，6，11可知抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当x=-1和3时，y的值都是6，所以对称轴为直线x=1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值；根据=1可知这两个点关于对称轴x=1对称，所以y1=y2．
解：根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故A，B选项错误，不符合题意；
根据表格可知，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，最小值不是3，故C选项错误，不合题意；
∵=1，
∴y1=y2，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
8．【答案】B
【解析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
解：x2-6x+8=0
（x-2）（x-4）=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为：4+4+2=10．
故选：B．
9．【答案】D
【解析】根据三块面积相等的小长方形，得出小长方形边长之间关系，进而表示出各边长，求出答案．
解：∵三块面积相等的小长方形，
∴EG=GF=BC=x,
设AE=HG=DF=b,
∴xb=x•BE，
∴BE=FC=b,无法得出BC=2CF，故选项②错误；
此时③AE=2BE，正确；
可得：b+b+b+b+b=80-2x,
解得：b=20-x,
则AB=b+b=b=（20-）=30-x,
故选项①错误；
长方形ABCD的面积为：S=AB•BC=（30-x）x=-x2+30x=-（x-20）2+300，
∵-＜0，
∴当x=20，即BC=20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．
故选：D．
10．【答案】D
【解析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得-＜a＜，
∵x1+x2=-，x1x2=9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．
方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a,
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x=1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜-（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x=1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞-，
∴-＜a＜0，
故选：D．
11．【答案】A
【解析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM=∠MEC=∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac=b2，即可求解．
解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM=∠AEM，MD=ME=DE=b,
∴∠BDM=∠MEC=90°+∠BAC，
∴∠BMC=90°+∠BAC，
∴∠BDM=∠MEC=∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴，
∴BD•EC=MD•ME，
即：ac=b2，
即Δ=b2-4ac=0，
故选：A．
12．【答案】D
【解析】由题意PQ==，推出PB的值最小时，PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小．
解：对于抛物线，令x=0，得到y=-1，
∴C（0，-1），
令y=0，=0，
解得x=5或-，
∴A（-，0），B（5，0），
∵PQ是切线，
∴PQ⊥BQ，
∴∠PQB=90°，
∴PQ==，
∴PB的值最小时，PQ的值最小，
根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小，
∵OA=，OC=1，
∴tan∠OAC==，
∴∠OAC=30°，
∴BP′=AB•sin30°=6×=3，
∴PQ的最小值==，
故选：D．
13．【答案】m＞3
【解析】根据横纵坐标均互为相反数可得A点关于原点的对称点的坐标，然后根据第二象限点的坐标特征列出不等式组并解答．
解：点A（m-3，m2-2）关于原点成中心对称的点的坐标为（2-m2，3-m），
根据题意，得：，
解得m＞3．
故答案为：m＞3．
14．【答案】-1
【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式Δ=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：x（x+1）+ax=0，
原方程可变形为x2+（a+1）x=0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a=-1．
故答案为：-1．
15．【答案】1
【解析】设y=x2+bx+c,求得x==m+1，当y=0时，x2+bx+c=0有两个相等的实数根，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：∵设y=x2+bx+c,
则点（m,n）（m+2，n）在函数图象上，
∴x==m+1，
当y=0时，x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴函数y=x2+bx+c与x轴的交点即为抛物线的顶点，
∴y=（x-m-1）2，
把x=m代入n=（-1）2=1，
故答案为：1．
16．【答案】
【解析】根据正六边形的性质求得EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，进而求得∠ADP=30°，从而求得PD=PA，设PA=x.则PB=10-x,根据等腰三角形的性质求得PM=PB=（10-x），根据三角形的面积就可得出S△PDN=PD•PM=-（x-5）2+，从而得出△PDN的面积的最大值．
解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADP=30°
∴PD=PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA=x.则PB=10-x,
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM=PB=（10-x），
∴S△PDN=PD•PM=×x×（10-x）=-（x-5）2+（0＜x＜10），
∴△PDN的面积的最大值为：．
故答案为：．
17．【解析】先利用配方法得到（x-1）2=6，然后利用直接开平方法解方程．
解：x2-2x=5，
x2-2x+1=6，
（x-1）2=6，
x-1=±，
所以x1=1+，x2=1-．
18．【解析】作BC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到BC=2，AC=1，根据旋转的定义，把AB绕着点B顺时针旋转90°得到AB′，如图，利用旋转的性质得AB′=AB，作B′C′⊥x轴于C′，根据三角形全等得AC′=BC=3，B′C′=AC=1，于是可得到点B′的坐标．
解：作BC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（-1，0）、（-2，3），
∴BC=3，AC=2-1=1，
把AB绕着点B顺时针旋转90°得到AB′，如图，
∴AB′=AB，作B′C′⊥x轴于C′，
∵∠BAB′=90°，
∴∠BAC+∠B′AC′=90°，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠B′AC′，
在△ABC和△B′AC′中
∴△ABC≌△B′AC′（AAS），
∴AC′=BC=3，B′C′=AC=1，
∴点B′的坐标为（2，1）．
19．【解析】（1）将M=3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
解：（1）当M=3时，
x2-x+1=3，
即x2-x-2=0，
∴x1=2，x2=-1，
（2）若M=3x2+1，
则x2-x+1=3x2+1，
即2x2+x=0，
解得x1=0，x2=-，
当x1=0时，M=1，
当x2=-时，M=3×（-）2+1=1+=；
（3）M=x2-x+1=（x-）2+，
∵（x-）2≥0，
∴（x-）2+≥，
∴M＞0．
20．【解析】（1）根据判别式的意义得到Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,利用整体代入的方法得到m2-m-6=0，然后解关于m的方程即可．
解：（1）根据题意得Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=12，
∴（-2m）2-2（m2+m）=12，即m2-m-6=0，
解得m1=-2，m2=3（舍去）．
故m的值为-2．
21．【答案】(1)16;(2)-1;(3)小;(4)-4;
【解析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）配方后即可确定最小值；
（3）利用配方法求出a、b、c的值，即可判断△ABC的形状，并求出该三角形的周长．
解：（1）由题意可知，m2+8m+16=（m+4）2；
故答案为：16；
（2）y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-4．
∵（x+1）2≥0，
∴当x=-1时，（x+1）2的值最小，最小值是0，
∴（x+1）2-4≥-4，
∴当（x+1）2=0，即x=-1时，y有最小值，这个值是-4．
故答案为：-1，小，-4；
（3）a2+b2-12a-8b+52=0，
（a2-12a+36）+（b2-8b+16）=0，
（a-6）2+（b-4）2=0，
∴a=6，b=4．
∵-x2+6x-5=-（x-3）2+4，
∴-x2+6x-5的最大值为4，即c=4．
∵b=c,
∴△ABC是等腰三角形．
22．【解析】本题考查计算，设计能力，在网格里设计线段AB=2，在2×2的网格可以实现，设计以AB为边的一个等腰三角形ABC，也有多种方法，只要符合题意，画中心对称图形只需要将AB，CB分别延长一倍即可．
解：作图（作图方法不止一种，只要符合题意就算对）．
23．【解析】（1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值；
（2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论．
解：（1）∵∠AOB=90°，
∴BO2=AB2-AO2，
∴BO=6，
在Rt△OPQ中，OQ=6-x,OP=2x,
∵△OPQ的面积为5cm2；
∴OQ•OP=5，即（6-x）•2x=5，解得x1=1，x2=5；
（2）当△OPQ∽△OAB时，=，即=，解得x=3秒；
当△OPQ∽△OBA，=，即=，解得x=秒．
综上所述，当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
24．【解析】（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE2+OF2=OM2=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；
（2）先设OE=x,OF=y,则x2+y2=5，根据（1）可得AB=2，CD=2，从而易知S四边形ADBC=AB×CD=×2×2，结合x2+y2=5，可得S四边形ADBC=2，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．
解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，
那么AB=2=4，
∴OF=，
又∵OE2+OF2=OM2=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S四边形ADBC=AB×CD=12；
（2）设OE=x,OF=y,则x2+y2=5，
∵AB=2，CD=2，
∴S四边形ADBC=AB×CD=×2×2=2=2，
∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13．
x
…
-2
-1
0
3
4
…
y
…
11
6
3
6
11
…