河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共12题，共36.0分)
1．(3分)抛物线y=-3（x-1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （1，5） B. （-1，5） C. （1，-5） D. （-1，-5）
2．(3分)下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A. x2-4x=0 B. x+y-3=0
C. D. 3x+8=0
3．(3分)下列各式：
①y=2x2-3xz+5；②y=3-2x+5x2；③y=+2x-3；④y=ax2+bx+c；⑤y=（2x-3）（3x-2）-6x2；⑥y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数）；⑦y=m2x2+4x-3（m为常数）．
是二次函数的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．(3分)下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A. B.
C. D.
5．(3分)若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．(3分)若a满足不等式组，且关于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a+=0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为（ ）
A. -2 B. -1 C. -3 D. 0
7．(3分)已知m,n是一元二次方程x2+x-6=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8．(3分)已知二次函数y=ax2-4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m,y1）和B（2m,y2）两点．若点A，B都在直线y=-3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. m＞2
9．(3分)关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1，x2满足x1=2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A. -3 B. 1 C. 3 D. 9
10．(3分)已知抛物线y=x2-2bx+2b2-4c（其中x是自变量）经过不同两点A（1-b,m），B（2b+c,m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A. y=x+2 B. y=-x+2 C. y=-2x+1 D. y=2x+1
11．(3分)a、b、c为△ABC三边，b＞a,a是c+b,c-b的比例中项，抛物线y=x2-（sinA+sinB）x-（a+b+c）的对称轴是直线x=，交y轴于（0，-30），则方程ax2-cx+b=0的根的情况是（ ）
A. 有两不等实根 B. 有两相等实根
C. 无实根 D. 以上都不对
12．(3分)对于二次函数y=ax2+bx+c,规定函数y=是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（-，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A. -3＜n≤-1或 B. -3＜n＜-1或
C. n≤-1或 D. -3＜n＜-1或n≥1
二、填空题(共4题，共12.0分)
13．(3分)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_____．
14．(3分)如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x=40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 _____．
​
15．(3分)随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径AB=100m,主路桥面的最低点O到AB的距离为10m.由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为CD，已知普通轿车的安全涉水深度大于30cm,若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径CD的长度不能超过 _____米．
16．(3分)如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P（x,y），则3x+4y的最小值为 _____．
三、解答题(共8题，共72.0分)
17．(9分)请你用配方法将y=-2x2+12x-17化成顶点式，并指出顶点坐标．
18．(9分)观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由．
19．(9分)（1）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？能围成一个面积为60m2的矩形场地吗？
（2）如图，要设计一个长为15cm,宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（只列方程不计算）
20．(9分)如图，矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm,动点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1cm/s的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t s.
（1）当t为何值时，△APQ的面积为16cm2？
（2）t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
21．(9分)如图，抛物线y=-x2+mx与直线y=-x+b相交于点A（-2，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式-x2+mx＜-x+b的解集；
（3）若关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
22．(9分)根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式：
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（2，3），（-2，-5）两点，并且以x=1为对称轴；
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点，且过（1，1）．
23．(9分)解方程：2（x-2）2=338．
24．(9分)如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．
试卷答案
1．【答案】A
【解析】根据y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h,k）可得答案．
解：抛物线y=-3（x-1）2+5的顶点坐标为（1，5），
故选：A．
2．【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程）判断即可．
解：A．x2-4x=0符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；
B．x+y-3=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．3x+8=0未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
3．【答案】B
【解析】根据二次函数的定义分别判断得出答案即可．
解：①y=2x2-3xz+5，含有两个未知数，故此选项错误；
②y=3-2x+5x2，符合二次函数的定义，此选项正确；
③y=+2x-3，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
④y=ax2+bx+c,a≠0，故此选项错误；
⑤y=（2x-3）（3x-2）-6x2=-10x+6，不是二次函数，故此选项错误；
⑥y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数），符合二次函数定义，故此选项正确；
⑦y=m2x2+4x-3（m为常数），m≠0，不是二次函数，故此选项错误；
故是二次函数的有：2个．
故选：B．
4．【答案】C
【解析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有C选项符合要求，
故选：C．
5．【答案】B
【解析】根据一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根可知Δ=0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可．
解：∵一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即Δ=（-2）2-4k=0，
解得k=1．
故选：B．
6．【答案】C
【解析】由a满足不等式组，可得出a＜1，由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a≥-且a≠2，结合a＜1可得出-≤a＜1，将其中的整数值相加即可得出结论．
解：∵a满足不等式组，
∴a＜1；
∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a+=0有实数根，
∴，
∴a≥-且a≠2．
又∵a＜1，
∴-≤a＜1，
∴a的整数值为-2，-1，0，
∴-2+（-1）+0=-3．
故选：C．
7．【答案】B
【解析】由一元二次方程根与系数的关系，可得m+n=1，根据一元二次方程根的定义得m2+m=6，由m2+2m+n=m2+m+（m+n），整体代入求解即可．
解：∵m,n是一元二次方程x2+x-6=0的两个实数根，
∴m+n=-1，m2+m=6，
∴m2+2m+n
=m2+m+（m+n）
=6-1
=5，
故选：B．
8．【答案】C
【解析】根据已知条件列不等式即可得到结论．
解：∵a＜0，
∴y=-3a＞0，
∵A（m,y1）和B（2m,y2）两点都在直线y=-3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2-8am＞-3a,
∴4m2-8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函数y=ax2-4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m,y1）和B（2m,y2）两点．
∴am2-4am＞4am2-8am,
∴3am2＜4am,
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】因式分解法可求x1=m+2，x2=m-2，再根据x1=2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
解：∵x2-2mx+m2=4，
∴（x-m+2）（x-m-2）=0，
∴x-m+2=0或x-m-2=0，
∵x1＞x2，
∴x1=m+2，x2=m-2，
∵x1=2x2+3，
∴m+2=2（m-2）+3，
解得m=3．
故选：C．
10．【答案】C
【解析】求出抛物线的对称轴x=b,再由抛物线的图象经过不同两点A（1-b,m），B（2b+c,m），也可以得到对称轴为，可得b=c+1，求出顶点的坐标代入四个函数中，如果能求出b的值说明在，反之不在．
解：由抛物线的对称轴x=-=b,抛物线经过不同两点A（1-b,m），B（2b+c,m），
b=，即c=b-1，
抛物线的顶点纵坐标为=b2-4c=b2-4b+4，
∴顶点坐标为（b,b2-4b+4），
将顶点坐标代入A得，b2-4b+4=b+2，整理得b2-5b+2=0，∵52-4×2＞0，故顶点可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2-4b+4=-b+2，整理得b2-3b+2=0，∵32-4×2＞0，故顶点可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2-4b+4=-2b+1，整理得b2-2b+3=0，∵22-4×3＜0，故顶点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2-4b+4=2b+1，整理得b2-6b+3=0，∵62-4×3＞0，故顶点可能在D上；
故选：C．
11．【答案】C
【解析】首先证明△ABC是直角三角形，想办法求出a,b,c的值，利用判别式即可解决问题；
解：∵a是c+b,c-b的比例中项，
∴a2=（c+b）（c-b），
∴a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2 ①
∴∠C=90°，
∴sinA+sinB=+，
由题意：，
解得c=13，
a+b=17 ②，
由①②，∵b＞a,可得a=5，b=12，
对于方程ax2-cx+b=0，Δ=c2-4ab=169-4×12×5=-71＜0，
∴方程没有实数根，
故选：C．
12．【答案】A
【解析】首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
解：如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（-，1），
∴+2-n=1，解得：n=．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤，
故选：A．
13．【答案】2012
【解析】根据方程的根的定义，把a代入方程求出a2+a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，然后两者相加即可得解．
解：∵a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，
∴a2+a-2013=0，
∴a2+a=2013，
又∵a+b=-=-1，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013-1=2012．
故答案为：2012．
14．【答案】3
【解析】用配方法求解即可．
解：x2+6x=40，
x2+6x+9=40+9，
（x+3）2=49，
∴m=3．
故答案为：3．
15．【答案】17.32
【解析】依据题意，设抛物线解析式为y=ax2，把点A（-50，10）代入解析式求出a,即得解析式，再令y=0.3，求出x后即可判断得解．
解：由题意，∵AB=100m,主路桥面的最低点到AB的距离为10m,
∴点A的坐标为（-50，10）．
从而可设抛物线的表达式为y=ax2，把点A（-50，10）代入，得10=a•（-50）2，
∴a=．
∴抛物线的表达式为y=x2．
（2）由题意，在y=x2中，令y=0.3时，
∴0.3=x2．
∴x=±5．
又5-（-5）=10≈17.32，
∴积水跨径CD的长度不能超过17.32米．
故答案为：17.32．
16．【答案】-10
【解析】根据题意可知点P运动的根据是以O为圆心，以AO为半径的圆，设3x+4y=k,则点P在直线y=-x+上，可得当直线y=-x+与⊙O相切且在⊙O的下方时，的值最小，此时3x+4y的值最小，设此时直线y=-x+与x轴交于点E，与y轴交于点F，⊙O与直线y=-x+的切点为G，则点E（，0），F（0，），OG=2，然后根据S△OEF=，求出k即可．
解：连接BC，OP，
∵点A关于点C的对称点为点P（x,y），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，∴OP=2BC，
∴点P运动的根据是以O为圆心，以AO为半径的圆，
设3x+4y=k,则点P在直线y=-x+上，
∴当直线y=-x+与⊙O相切且在⊙O的下方时，的值最小，此时3x+4y的值最小，
设此时直线y=-x+与x轴交于点E，与y轴交于点F，⊙O与直线y=-x+的切点为G，则点E（，0），F（0，），
∴OE=-OF=-，
∴EF=-k,
∵S△OEF=，
∴×，
解得k=-10，
∴3x+4y的最小值为-10，
故答案为：-10．
17．【解析】先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出顶点坐标．
解：∵y=-2x2+12x-17=-2（x2-6x+9）+18-17=-2（x-3）2+1，
∴此抛物线的顶点坐标是（3，1）．
18．【解析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
解：可以看作是由中间的一个小五角星分别向左上方、左下方、右上方、右下方平移得到的．
19．【解析】（1）设垂直于墙的一边AB长为x m,那么另一边长为（20-2x）m,可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
（2）设每个横彩条的宽度为5x cm,则每个竖彩条的宽度为4x cm,根据所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
（1）解：设垂直于墙的一边AB长为x m,那么另一边长为（20-2x）m,
由题意得x（20-2x）=50，
解得：x1=x2=5，
（20-2×5）=10（m）．
围成一面靠墙，其它三边分别为5m,10m,5m的矩形．
答：不能围成面积60m2的矩形场地．
理由：若能围成，则可列方程x（20-2x）=60，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为60m2的矩形场地．
（2）解：设每个横彩条的宽度为5x cm,则每个竖彩条的宽度为4x cm,
依题意得：（15-2×5x）（10-2×4x）=15×10×（1-），
整理得：8x2-22x+5=0，
解得：x1=，x2=，
当x=时，10-2×4x=-10＜0，不合题意，舍去；
当x=时，10-2×4x=8＞0，符合题意，
∴5x=，4x=1．
答：每个横彩条的宽度为cm,每个竖彩条的宽度为1cm.
20．【解析】（1）由题意知，AP=2t,AQ=10-t,再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；
（2）由∠ABC=∠QAP，则当或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，代入计算即可．
解：（1）由题意知，AP=2t,AQ=10-t,
∵△APQ的面积为16cm2，
∴=16，
解得t=2或8，
∵0＜t＜7.5，
∴t=2时，△APQ的面积为16cm2；
（2）∵∠ABC=∠QAP，
∴当或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，
解得t=或t=，
∴t=或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
21．【解析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）利用待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立求出点B的坐标为（-1，3），再观察函数图象即可．
（3）由题意可知抛物线y=-x2+mx与直线y=n在-2≤x≤1的范围内有一个交点或两个交点，根据A、B的坐标，利用图象即可求解．
解：（1）将点A（-2，0）代入y=-x2+mx得：0=-4-2m,
解得：m=-2，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x,
∵y=-x2-2x=-（x+1）2+1，
∴顶点坐标是（-1，1）；
（2）将点A的坐标代入y=-x+b得：0=2+b,
解得b=-2，
∴直线为y=-x-2
由，解得或，
∴点B的坐标为（1，-3），
从图象看，不等式-x2+mx＜-x+b 的解集为x＜-2或x＞1．
（3）由题意可知抛物线y=-x2+mx与直线y=n在-2≤x≤1的范围内有一个交点或两个交点，
有（1）可知抛物线为y=-x2-2x,顶点为（-1，1），
∵A（-2，0），B（1，-3），
∴关于x的方程-x2+mx=n在-2≤x≤1的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，n的取值范围是-3≤n＜0或n=1．
22．【解析】（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再用待定系数法即可解决问题．
解：（1）因为二次函数图象经过（2，3）和（-2，-5），且以直线x=1为对称轴，
所以，
解得，
所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）将y=0代入得，
=0，
解得x=2，
即一次函数y=的图象与x轴的交点坐标为（2，0）；
同理可得次函数y=的图象与y轴的交点坐标为（0，3）；
又二次函数图象经过点（1，1），
所以，
解得，
所以二次函数的解析式为．
23．【解析】直接开平方法求解可得．
解：∵2（x-2）2=338，
∴（x-2）2=169，
∴x-2=13或x-2=-13，
解得：x=15或x=-11．
24．【解析】（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE2+OF2=OM2=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；
（2）先设OE=x,OF=y,则x2+y2=5，根据（1）可得AB=2，CD=2，从而易知S四边形ADBC=AB×CD=×2×2，结合x2+y2=5，可得S四边形ADBC=2，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．
解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，
那么AB=2=4，
∴OF=，
又∵OE2+OF2=OM2=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S四边形ADBC=AB×CD=12；
（2）设OE=x,OF=y,则x2+y2=5，
∵AB=2，CD=2，
∴S四边形ADBC=AB×CD=×2×2=2=2，
∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13．