河南省洛阳市宜阳县部分高中2024-2025学年高二上学期第一次质量检测（9月） 数学试题（含解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2. 正方体的棱长为1，则（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解.
【详解】,
故选：A
3. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.
【详解】.
故选：A.
4. 已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. B. 1C. 或1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
5. 已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用法向量与所过点的坐标求得直线方程，利用点到直线的距离可求距离.
【详解】由题意可求得直线的方程为，所以原点O到l的距离为．
故选：D.
6. 已知，，平面的法向量为，若，则（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面平行的向量表示可得答案.
【详解】因为，，
所以，即，解得.
故选：A.
7. 已知直线与直线交于，则原点到直线距离最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.
【详解】因为两直线交于，
则，即，且，则；
由原点到直线的距离
由，
则，当且仅当时，取最大值，此时.
即两直线重合时，原点到直线的距离最大.
故选：B.
8. 现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达点，则此时线段长（单位：厘米）为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.
【详解】应用圆柱特征取上下底面的圆心为轴，再过作的垂线为轴，如图建系，
过向圆作垂线垂足为，，设圆半径为，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，
同理，过向圆O作垂线垂足为，则，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ）
A. －8B. －5C. 3D. 4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知，再利用斜率公式求解，即可.
【详解】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，
时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
10. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.
【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
，，
.
故选：AC.
11. 已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A. 存在点，使得B. 若为等腰三角形，则点的个数是3个
C. 的最小值为D. 最大值为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断；
【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时，
则，即与不垂直；
当PN斜率不存在时，，此时，
则，即与不垂直；
当且时，，，
若，则，即，
由于，方程无解，故与不垂直；
综合可知不存在点，使得，A错误；
对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上，
则P点横坐标为，此时；
当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为，
故直线l上必存在两点满足，设这两点为，
由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2，
故和M，N不共线，适合题意，

由于N点到直线：的距离为，
故以N点为顶点的等腰不存在，
综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确；
对于C，设点关于直线l的对称点为，
则，解得，即，
故,
当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，

即的最小值为，C正确；
对于D，如图，，
当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，

即最大值为3，D正确，
故选：BCD
【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间向量，若共面，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】由已知可得，代入坐标计算可求的值.
【详解】因为共面，所以，即，
则.
故答案为：0.
13. 经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论．
【详解】联立，解得，
所以直线与的交点坐标为，
由已知所求直线的斜率存在且不为，
故可设所求直线方程为，其中，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
由已知可得，
所以，
所以或，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或.
14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可.
【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
所以，
当时，最小，此时，为中点，则，
取的中点，连接，则，
因为，，所以，，
所以是平面与平面夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量；
（2）已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量．
【答案】（1）方向向量为，法向量为
（2）方向向量为，法向量为
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量；
（2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量.
【小问1详解】
先证明结论：若直线一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为.
因为直线的一个方向向量为，其中，，则，
所以，直线的一个法向量可为.
本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为，
直线的法向量为.
【小问2详解】
因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为，
所以，直线的方向向量为，法向量为.
16. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.
（1）以为基底表示；
（2）若，且，，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得；
（2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得.
【小问1详解】
由图可得，;
【小问2详解】
由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故.
17. 已知两条直线，
（1）当为何值时，与相交;
（2）与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值.
【答案】（1），且，且
（2）
【解析】
【分析】（1）由求解；
（2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验．
【小问1详解】
依题意，得，
得，
得，且，且．
【小问2详解】
，
得，得，
得过定点，又因为也经过点，
得，得．
当时，与重合，故舍去，
故．
18. 已知空间四点，，，.
（1）若向量与互相垂直，求实数的值：
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积：
（3）若D点在平面上，求实数n的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可.
（2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形面积公式并结合题意求解即可.
（3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可.
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，，
所以，，
因为向量与互相垂直，所以，
化简得，解得，
【小问2详解】
因，，且设夹角为，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四边形的面积为，
【小问3详解】
因为D点在平面上，所以四点共面，
所以共面，而由题意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故实数n的值为.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为
【解析】
【分析】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，由直线为平面和平面的交线，则，，列出方程即可求解；
（2）设，由平面经过点，，列出方程中求得，记平面的法向量为，求出与交线方向向量为，根据，即可求得的值；
（3）由题可知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，由题得出平面和平面的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．
【小问1详解】
记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
【小问2详解】
设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
【小问3详解】
由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.