2023-2024学年重庆市万州区部分重点校高二上学期第一次质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市万州区部分重点校高二上学期第一次质量检测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+y−1=0的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知直线l1：a−1x+y+1=0，l2：2ax+y+3=0，若l1//l2，则实数a=( )
A. −1或1B. 0或1C. 1D. −1
3.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是
( )
A. e1与e1−e2B. e1+e2 与e1−3e2
C. e1−2e2 与−3e1+6e2D. 2e1+3e2 与e1−2e2
4.已知空间直角坐标系O−xyz中的点A(2,−1,−3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A. 14B. 4C. 6D. 2 10
5.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2EC，则BE=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 1B. −1C. −13D. −53
6.直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是
( )
A. 若l⊥α，则l•m=0B. 若l//β，则l=kn
C. 若α⊥β，则m•n=0D. 若α/​/β，则m•n=0
7.已知向量a⇀=(3,−2,−3)，b⇀=(−2,x−1,2)，且a⇀与b⇀的夹角为钝角，则x的取值范围是
( )
A. (−5,+∞)B. (−5,73)∪(73,+∞)
C. (−∞,−5)D. (73,+∞)
8.若θ∈R，则直线y=xcsθ−1的倾斜角α的取值范围为
( )
A. [π4,3π4]B. [0,π2)∪(π2,3π4]C. [0,π4]∪[3π4,π)D. [0,π4]∪(π2,3π4]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B. 倾斜角为135∘的直线的斜率为1
C. 一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanα
D. 直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)
10.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a//b
B. 若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a//c
C. 若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A，B，C，D四点共面
D. 若a，b，c是空间的一组基底，则向量a+b，b+c，c+a也是空间一组基底
11.如图所示，ABCD−A1B1C1D1为正方体，以下四个结论中正确的有
( )
A. AC1⊥平面CB1D1
B. 直线B1C与BD所成的角为60°
C. 二面角C−B1D1−C1的正切值是 3
D. AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2
12.在三维空间中，a×b叫作向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①a→⊥(a→×b→)，b→⊥(a→×b→)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(如图所示)；②|a×b|=|a||b|sin⟨a,b⟩.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知其表面积为S，下列结论正确的有
( )
A. |AB1×AC|=|AD1×DB|B. AB×AD=AD×AB
C. S=6|BC×AC|D. A1C1×A1D与BD1共线
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 ．
14.已知点A(−1,1,0),B(1,2,0),C(−2,−1,0),D(3,4,0)，则AB在CD上的投影向量的长度为 ．
15.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
16.空间直角坐标系xOy中，过点Px0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面α的方程为ax−x0+by−y0+cz−z0=0，过点Px0,y0,z0且方向向量为n=u,v,wuvw≠0的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x−y+z+1=0，直线l是两个平面x−y+2=0与2x−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知：a=x,4,1,b=−2,y,−1,c=3,−2,z，a//b，b⊥c，求：
(1)a,b,c；
(2)csa+c,b+c
18.(本小题10.0分)
如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60∘．
①求AC1的长;
②求BD1与AC夹角的余弦值．
19.(本小题10.0分)
如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，CA=CB=1，AC⊥CB，AA1=2，M、N分别是所在棱上的中点．
(1)求证：A1B⊥C1M；
(2)求异面直线BN、CB1所成的角的余弦值．
20.(本小题10.0分)
如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN/​/平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
21.(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB // CD，且CD=2AB=2，BC=2 2，∠ABC=90°，M为BC的中点．
(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；
(2)若二面角P−DM−A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
22.(本小题10.0分)
如图，在三棱锥A−BCD中，▵BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC，O是BC的中点，OA⊥CD．
(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；
(2)若E是棱AC上的一点，从①CE=2EA；②二面角E−BD−C大小为60∘；③A−BCD的体积为 3这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
23.(本小题10.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O；在直角边长为2的等腰直角▵ADB中，∠ADB=90∘；在等腰直角▵PDB中，∠BPD=90∘，M为PD的中点，PO⊥AC．
(1)求证：OM//平面BCP；
(2)求二面角C−BP−A的正弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
由斜率直接求解倾斜角即可．
【解答】
解：设倾斜角为α,α∈0,π,
则tanα=− 3，则α=2π3．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】两直线平行，斜率都不存在或斜率相等﹒
解：∵ l1//l2 ，∴−(a−1)=−(2a)，∴a=−1，
故选：D﹒
3.【答案】C
【解析】【分析】基底的性质是平面内任意一组不平行的向量，
只要考察ABCD选项中平行向量即可．
解：对于A，显然 e1 不平行于 e1−e2 ，可以作为基底；
对于B， e1+e2≠λe1−3e2λ≠0 ，可以作为基底；
对于C，∵ −3e1+6e2=−3e1−2e2 ，∴ e1−2e2 与 −3e1+6e2 共线，
故不能作为基底；
对于D， 2e1+3e2≠λe1−2e2λ≠0 ，可以作为基底；
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可．
解：因为 A(2,−1,−3) ，故点 A 关于 xy 平面的对称点为 B 为 (2,−1,3) ，
故 |AB|= (2−2)2+[(−1)−(−1)]2+(−3−3)2=6 ，
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】利用空间向量基本定理求解即可
解： BE⇀=PE⇀−PB⇀=23PC⇀−PO⇀+OB⇀=23OC⇀−OP⇀−PO⇀+OA⇀+OC⇀=13OP⇀−OA⇀−13OC⇀
即 BE⇀=13c⇀−a⇀−13b⇀ ，即 x=−1,y=−13,z=13⇒x+y+z=−1
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解．
解：若 l⊥α ，则 l 与 m 共线，故选项 A 错误；
若 l//β ，则 l⊥n ，即 l•n=0 ，故选项 B 错误；
若 α⊥β ，则 m 与 n 垂直，即 m•n=0 ，故选项 C 正确；
若 α/​/β ，则 m 与 n 共线，故选项 D 错误，
故选： C ．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当 与 的夹角为钝角可得， a⇀⋅b→ <0， 与 不共线，但是学生容易忽略两个向量共线的情况．
由两向量夹角是钝角，则两个向量数量积小于零，用坐标形式表示向量数量积，解不等式，即得x范围．
解：∵ 与 的夹角为钝角，
∴cs< a⇀,b⇀ ><0，且 与 不共线
∴ a⇀⋅b→ <0，且(3,−2,−3)≠λ(−2,x−1,2)
∴−6−2(x−1)−6<0且 3−2≠−2x−1 ，
即x>−5且x ≠73
∴x的取值范围是 −5,73∪73,+∞ ．
故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据给定条件，结合余弦函数的值域求出直线斜率的范围，再利用斜率的定义求解作答．
解：直线 y=xcsθ−1 的斜率 k=csθ∈[−1,1] ，显然此直线倾斜角 α≠π2 ，
因此 0≤tanα≤1 或 −1≤tanα<0 ，解得 0≤α≤π4 或 3π4≤α<π ，
所以直线 y=xcsθ−1 的倾斜角 α 的取值范围为 [0,π4]∪[3π4,π) ．
故选：C
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查斜率与倾斜角定义以及两者关系，属于基础题．
根据倾斜角与斜率定义进行判断，选出正确命题．
【解答】
解：任一直线都有倾斜角，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；
倾斜角为135°的直线的斜率为tan135°=−1，B错误；
若一条直线的倾斜角为α且不为直角，则它的斜率为k=tanα，
当直线的倾斜角α为直角时，斜率不存在，C错误；
直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)，D正确；
故选AD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题，属于基础题．
根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此逐项分析，即可得出答案．
【解答】
解：A选项由空间向量基底的概念可知A正确；
B选项如图，
非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，但a⊥c，故B错误；
C选项由于OD=13OA+13OB+13OC，
所以OD−OA=13(OB−OA)+13(OC−OA)，
因此AD=13AB+13AC，因此A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于选项D，因为a，b，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的实数组(x,y,z)，使得m=xa+yb+zc=x+y−z2(a+b)+y+z−x2(b+c)+x+z−y2(a+c)，由空间向量基本定理可知，向量a+b，b+c，c+a也可以作为空间一组基底，故选项D正确．
故选：ACD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；利用 BD//B1D1 ，可将异面直线的夹角转化为平面角 ∠A1DB ；利用面积投影法求出二面角判断C；根据线面角定义找出线面夹角求正切判断D．
解：如图，
因为正方体中对角线 AC1 在平面 A1C1 上的射影为 A1C1 ，而 A1C1⊥B1D1 ， AA1⊥B1D1 ， AA1∩A1C1=A1 ，所以 B1D1⊥ 平面 AA1C1 ，所以，同理可得 AC1⊥B1C ，又 B1C∩B1D1=B1 ，可得 AC1⊥ 平面 CB1D1 ，故A正确；
因为 BD//B1D1 ，所以直线 B1C 与BD所成的角为直线 B1C 与 B1D1 所成的角， ∠CB1D1 即为所求，又正方体中 ▵CB1D1 为正三角形，所以 ∠CB1D1=60∘ ，故B正确；
因为 ▵CB1D1 在上底面的射影三角形为 ▵C1B1D1 ，
所以二面角 θ 的余弦为 csθ=S▵C1B1D1S▵CB1D1=12CC12 34( 2CC1)2= 33 ，所以 tanθ= 2 ，故C错误；
因为 C1C⊥ 平面ABCD，所以 AC1 与底面ABCD所成角为 ∠C1AC ，
所以 tan∠C1AC=C1CAC= 22 ，故D错误．
故选：AB
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量的新定义问题，属于中档题．
利用新定义及空间向量的基本概念，对选项分别判断即可．
【解答】
解：设正方体的棱长为a，
对于A，连接B1C，因为△AB1C为等边三角形，故|AB1×AC|= 2a× 2a·sinπ3= 3a2，连接B1D1，因为BD//B1D1，BD=B1D1，△AB1D1为等边三角形，所以|AD1×DB|=|AD1×D1B1|= 2a× 2a·sin2π3= 3a2，故A正确；
对于B，根据定义，AB×AD=AA1，AD×AB=−AA1，故B错误;
对于C，6|BC×AC|=6·a· 2a· 22=6a2=S，故C正确;
对于D，因为D1D⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以D1D⊥A1C1，
又A1C1⊥B1D1，B1D1∩DD1=D1，B1D1,DD1⊂平面BB1D1D，则A1C1⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥BD1．
又A1D⊥AD1，AB⊥A1D，AD1∩AB=A，AD1,AB⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，所以BD1⊥A1D，
结合外积的定义可知A1C1×A1D与BD1共线，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】− 3
【解析】【分析】
本题考查了两条直线垂直的判断，考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
根据直线l1的倾斜角求得l1的斜率，再根据直线l2垂直于l1，即可求得结果．
【解答】
解：由题意知，直线l1的斜率k1=tanα1=tan30∘= 33，
∵l1⊥l2，所以k1⋅k2=−1，
∴l2的斜率k2=− 3．
故答案为：− 3．
14.【答案】3 22
【解析】【分析】
本题主要考查了向量中的投影的概念，属于基础题．
计算AB，CD，根据投影公式得到答案．
【解答】
解：由已知得AB=(2,1,0)，CD=(5,5,0)，
∴AB⋅CD=2×5+1×5+0=15，又CD=5 2，
∴AB在CD上的投影向量的长度为AB⋅CDCD=155 2=3 22．
故答案为：3 22．
15.【答案】(−∞,−1]∪[3,+∞)
【解析】【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA，然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可
解：∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA．
∵ kPA=−1−42−(−3)=−1,kPB=−1−22−3=3 ，
∴直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)．
故答案为：(−∞,−1]∪[3,+∞)
16.【答案】 23
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面所成角的向量求法，属于较难题．
根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解．
【解答】
解：根据材料可知，由平面 α 的方程为 x−y+z+1=0 ，得 n1=1,−1,1 为平面 α 的法向量；
同理可知： n2=1,−1,0 与 n3=2,0,−1 分别为平面 x−y+2=0 与 2x−z+1=0 的法向量；
设直线 l 的方向向量 a=x,y,z ，则 n2⋅a=0n3⋅a=0 ，即 x−y=02x−z=0 ，取 x=1 ，则 a=1,1,2 ，
设直线 l 与平面 α 所成角为 θ ，则 sinθ=n1⋅an1a=1−1+2 1+1+1× 1+1+4= 23，
故答案为： 23．
17.【答案】解：(1)因为 a//b ，所以设 a=λb ，即 x,4,1=λ−2,y,−1 ，
故 x=−2λ4=λy1=−λ ，解得 λ=−1x=2y=−4 ，
∴a=2,4,1,b=−2,−4,−1 ，
∵b⊥c ，
∴ b⋅c=−2×3+8−z=0 ，解得 z=2 ，
∴c=3,−2,2 ；
(2)∵a+c=5,2,3,b+c=1,−6,1 ，
∴csa+c,b+c=a+c⋅b+ca+c⋅b+c=5,2,3⋅1,−6,1 25+4+9× 1+36+1=−219 ．

【解析】【分析】(1)根据平行关系设 a=λb ，从而得到方程组，求出 a,b ，利用向量垂直得到方程，求出 z=2 ，得到 c=3,−2,2 ；
(2)利用向量夹角余弦公式求出答案．
18.【答案】解：记AB=a，AD=b，AA1=c，
则|a|=|b|=|c|=1，===60∘，
∴a⋅b=b⋅c=c⋅a=12．
①AC12=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)
=1+1+1+2×(12+12+12)=6，
∴|AC1|= 6．
②BD1=b+c−a，AC=a+b，
∴|BD1|= 2，|AC|= 3，
BD1⋅AC=(b+c−a)⋅(a+b)
=b2−a2+a⋅c+b⋅c=1，
∴cs=BD1⋅AC|BD1||AC|= 66．

【解析】本题考查空间向量数量积运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
由题意得C1(0,0,2)，M (12,12,2) ， A1B =(−1,1,−2)， C1M = (12,12,0) ，
∴ A1B · C1M =− 12 + 12 +0=0，即 A1B⊥C1M
(2)由题意得B(0,1,0)， N1,0,1 ，∴ CB1 =(0,1,2)， BN=1,−1,1
·∴. csBN⇀,CB1⇀= =−1+2 5⋅ 3= 1515 ，
故所求异面直线 BN 、 CB1 所成的角的余弦值 1515

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法确定直线的位置关系；
(2)利用向量法求异面直线所成的角．
20.【答案】(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，
则NE /​/AM,NE=AM，
所以四边形MNEA为平行四边形，
所以MN /​/AE，
因为MN⊄面PAD,AE⊂面PAD，
所以MN /​/平面PAD；
(2)解：如图，建立空间直角坐标系，
由题可知，P(0,0,2)，M0,1,0，C2,2,0，D2,0,0，
PD=2,0,−2,PM=0,1,−2,PC=2,2,−2，
设平面PMC的法向量为n=x,y,z，
因为n⊥PM,n⊥PC，
则y−2z=02x+2y−2z=0，
所以取n=−1,2,1
设直线PD与平面PMC所成的角为α，
所以sinα=cs= 33．

【解析】本题考查线面平行的判定与线面角的求法，属于基础题．
(1)取PD的中点E，连结NE，AE，利用平行四边形得到MN /​/AE，由直线与平面平行的判定定理证得MN /​/平面PAD；
(2)建立空间直角坐标系，设平面PMC的法向量为n=x,y,z，利用n⊥PM,n⊥PC，求出法向量的坐标，进而求得直线PD与平面PMC所成角的正弦值．
21.【答案】(1)证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM= 2，
可得AM2=3，DM2=6，
过A作AE⊥CD，垂足为E，
则DE=1，AE=2 2，求得AD2=9，
则AD2=AM2+DM2，
∴DM⊥AM，
∵PA⊥平面ABCD，DM⊂平面ABCD，
∴DM⊥PA，
又PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAM，
∴DM⊥平面PAM，
∵DM⊂平面PDM，
∴平面PDM⊥平面PAM；
(2)解：由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，
则∠PMA为二面角P−DM−A的平面角，为30∘，
则PA=AM⋅tan30∘=1．
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，D(2 2,−1,0)，C(2 2,1,0)，M( 2,1,0)，
PC=(2 2,1,−1)，PD=(2 2,−1,−1)，PM=( 2,1,−1)，
设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅PD=2 2x−y−z=0n⋅PM= 2x+y−z=0,
取x=1，得n=(1, 22,3 22)，
∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为：
csPC,n=|PC⋅n||PC|⋅n= 2 10⋅ 6= 3030．
【解析】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
(1)在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2=AM2+DM2，则DM⊥AM，再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM;
(2)由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P−DM−A的平面角为30∘，求得PA=1.以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出PC的坐标及平面PDM的一个法向量，利用向量法可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
22.【答案】解：(1)因为 AB=AC ， O 是 BC 的中点，
所以 OA⊥BC ，又因为 OA⊥CD ，
所以 OA⊥ 平面 BCD ，
因为 OA⊂ 平面 ABC ，
所以平面 ABC⊥ 平面 BCD ．
(2)连接 OD ，又因为 ▵BCD 是边长为 2 的等边三角形，
所以 DO⊥BC ，由(1)知 OA⊥ 平面 BCD ，所以 AO ， BC ，
DO 两两互相垂直．以 O 为坐标原点， OA ， OB ， OD 所在
直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示空间直角坐标系．
设 |OA|=m ，则 O(0,0,0) ， A(0,0,m) ， B(1,0,0) ， C(−1,0,0) ， D(0, 3,0) ，
若选①②作为条件，证明③成立．
因为 CE=2EA ，所以 E(−13,0,2m3) ，易知平面 BCD 的法向量为 n→=(0,0,1) ，
BE=(−43,0,2m3) ， BD=(−1, 3,0) ，
设 m→=(x,y,z) 是平面 BDE 的法向量，
则 m⋅BE⇀=0m⋅BD⇀=0 ，所以 y= 3x3z=2xm ，可取 m→=(1, 33,2m) ，
由二面角 E−BD−C 大小为 60∘ 可得 csθ=m→⋅n→m→n→=2m 1+13+4m2=12 ，解得 m=3 ，
所以 A−BCD 的体积为 13×2× 3×12×3= 3 .
若选①③作为条件，证明②成立．
因为 A−BCD 的体积为 3 ，所以 13×2× 3×12×OA= 3 ，解得 |OA|=3 ，
又因为 CE=2EA ，所以 E(−13,0,2) ，易知平面 BCD 的法向量为 n→=(0,0,1) ，
BE=(−43,0,2) ， BD=(−1, 3,0) ，
设 m→=(x,y,z) 是平面 BDE 的法向量，
则 m⋅BE⇀=0m⋅BD⇀=0 所以 y= 3x3z=2x3 ，可取 m→=(1, 33,23) ，
所以 csθ=m→⋅n→m→n→=23 1+13+49=12 ，即二面角 E−BD−C 大小为 60∘ ．
若选②③作为条件，证明①成立．
因为 A−BCD 的体积为 3 ，所以 13×2× 3×12×OA= 3 ，解得 |OA|=3 ，即 A(0,0,3) ，
AC=(−1,0,−3) ，不妨设 AE=λAC ( 0≤λ≤1 )，所以 E(−λ,0,−3λ+3) ，
易知平面 BCD 的法向量为 n→=(0,0,1) ，
BE=(−λ−1,0,−3λ+3) ， BD=(−1, 3,0) ，
设 m→=(x,y,z) 是平面 BDE 的法向量，
则 m⋅BE⇀=0m⋅BD⇀=0 所以 y= 3x3z=(λ+1)x−3λ+3 ，
csθ=m→⋅n→m→n→=λ+1 9(1−λ)2+3(1−λ)2+(1+λ)2=12 ，解得 λ=3 (舍)， λ=13 ，
所以 CE=2EA ．

【解析】【分析】(1)证明 OA⊥ 平面 BCD ，再由面面垂直的判定定理即可求证；
(2)选①②作为条件，证明③成立，设 |OA|=m ，利用向量法求二面角，据此求出m，由棱锥体积公式即可求证；选①③作为条件，证明②，由三棱锥体积求出 |OA|=3 ，利用向量法求二面角的大小即可；选②③作为条件，证明①，根据体积求出 |OA|=3 ，再由二面角的大小，根据向量法求参数即可求证．
23.【答案】解：(1) ∵ 四边形 ABCD的对角线互相平分， AC∩BD=O ， ∴O 为 BD 的中点，
又因为 M 为 PD 的中点，则 OM//PB ，
∵OM⊄ 平面 PBC ， PB⊂ 平面 PBC ， OM// 平面 PBC ；
(2)在等腰直角 ▵PBD 中，又 O 为 BD的中点， ∴PO⊥BD ，
又 ∵PO⊥AC ， AC∩BD=O ，所以， PO⊥ 平面 ABCD ．
以点 D 为坐标原点，以 DA 、 DB 分别为 x 轴、 y 轴，过 D 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 D−xyz ，
∵AD=BD=2 ， AD⊥BD ， ∴BC⊥BD ， BC=2 ， AB=CD=2 2 ，
∵PB⊥PD ， PB=PD ， ∴PB=PD= 2 ， PO=1 ，
∵AD=2 ， AD⊥BD ， DO=1 ， ∴AO= AD2+OD2= 5=OC ，
所以 A2,0,0 ， P0,1,1 ， B0,2,0 ， C−2,2,0 ，
PA=2,−1,−1 ， PB=0,1,−1 ， PC=−2,1,−1 ，
设平面 PAB 和平面 PBC 的法向量分别为 n1=x1,y1,z1 ， n2=x2,y2,z2 ，
由 n1⇀⋅PA⇀=0n1⇀⋅PB⇀=0 ，得 2x1−y1−z1=0y1−z1=0 ，令 y1=1 ，可得 n1=1,1,1 ，
由 n2⇀⋅PB⇀=0n2⇀⋅PC⇀=0 ，得 y2−z2=0−2x2+y2−z2=0 ，令 y2=1 ，可得 n2=0,1,1 ，
cs=n1⋅n2n1⋅n2=2 3× 2= 63 ，则 sin= 1−cs2= 33 ，
所以二面角 C−BP−A 的正弦值为 33 ．

【解析】【分析】(1)分析可知 O 为 BD 的中点，利用中位线的性质可得出 OM//PB ，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
(2)证明出 PO⊥ 平面 ABCD ，然后以点 D 为坐标原点，以 DA 、 DB 分别为 x 轴、 y 轴，过 D 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果．