2024-2025学年河南省洛阳市宜阳县高一上册期末考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省洛阳市宜阳县高一上册期末考试数学检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 可化为( )
A. B.
C. D.
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. 24D.
3. 已知函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ）
A (1，6)B. (1，5)
C. (0，5)D. (5，0)
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D.
5. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 12D. 16
8. 已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，，则
10. 函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 方程有一正一负根充要条件是“”
C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“”
D. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 的定义域为，则的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数的单调增区间为
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知集合，，则___________.
14. 若函数的单调递增区间为，且函数的单调递减区间为，则实数________.
15. 若，，且，则的最小值是____________．
16. 已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是___________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. （1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
18. 已知函数是奇函数．
（1）求的定义域及实数a的值；
（2）用单调性定义判定的单调性．
19. 已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数值域．
20. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式.
21. 已知函数是定义在R偶函数，当时，．
（1）请画出函数图象，并求的解析式；
（2），对，用表示，中最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
22. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
2024-2025学年河南省洛阳市宜阳县高一上学期期末考试数学
检测试卷
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 可化为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案.
【详解】.
故选：A
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. 24D.
【正确答案】B
【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：B
3. 已知函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ）
A. (1，6)B. (1，5)
C. (0，5)D. (5，0)
【正确答案】A
【分析】根据指数函数的图象过定点(0，1)以及图象变换知识可得结果.
【详解】由于函数的图象恒过定点(0，1)，所以函数的图象恒过定点，
所以函数的图象恒过定点P(1，6).
故选：A.
本题考查了指数函数的性质，考查了函数的图象变换，属于基础题.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D.
【正确答案】A
【分析】利用给定的函数关系，依次代入计算即得.
【详解】函数，
所以.
故选：A
5. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B错误；
对于C，，所以不奇函数，故C错误；
对于D，由，可知在定义域内是奇函数，
又，在上是增函数，在上单调递增，且在上连续不断，
故在定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确；
故选：D
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用单调性再利用中间值“1”比较即可.
【详解】设，则在单调递增，所以，设，则在单调递增，所以，因为，，所以，所以.
故选：B.
7. 若正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 12D. 16
【正确答案】D
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】由已知可得，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故选：D
8. 已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】令，可得，结合奇偶性的定义分析求解.
【详解】因为，
令，可得，
又因为和分别是定义在上的奇函数和偶函数，
可得，所以.
故选：D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，，则
【正确答案】CD
【分析】举反例排除AB，利用作差法计算C正确，确定，计算范围得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：取，满足，，错误；
对选项B：取，满足且，，错误；
对选项C：，故，故，正确；
对选项D：，故，，
，故，正确；
故选：CD
10. 函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】CD
【分析】先确定函数的单调性，再根据充要条件的定义求解相应参数的取值范围，最后确定必要不充分条件对应的参数范围与充要条件对应的参数范围之间的关系，进而确定答案.
【详解】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数.
所以解得 ，反之也成立
即是时，都有成立充要条件
所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确.
故选：CD.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 方程有一正一负根充要条件是“”
C. “幂函数为反比例函数”的充要条件是“”
D. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”
【正确答案】BCD
【分析】根据集合间的关系可判断A；由一元二次方程根的分布结合韦达定理判断B；根据幂函数的性质及反比例函数的定义即可判断C；根据二次函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由可得，故充分性成立，
由可得，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件，故A错误；
对于B，方程的有一正一负根，设为，
则，解得，满足充分性，
当时，，则方程有一正一负根，满足必要性，
所以方程有一正一负根充要条件是“”，故B正确；
对于C，若幂函数为反比例函数，则，解得，满足充分性，
当时，函数为幂函数，也为反比例函数，满足必要性，
所以“幂函数为反比例函数”的充要条件是“”，故C正确；
对于D：若函数在区间上不单调，则，
所以“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 的定义域为，则的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数的单调增区间为
【正确答案】AB
【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数值域，可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D.
【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，对于函数，，
解得，所以函数的定义域为，A选项正确；
对于B选项，令，则，，且时，取得等号，所以函数的值域为，B选项正确；
对于C选项，，当且仅当时，即等号取得，但等号取不到，所以C选项错误；
对于D选项，，所以函数的单调增区间为和，单调区间之间不能用并集符号，D选项错误，
故选：AB．
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知集合，，则___________.
【正确答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根据二次函数的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以.
故
14. 若函数的单调递增区间为，且函数的单调递减区间为，则实数________.
【正确答案】1
【分析】根据二次函数的性质可得对称轴，即，再根据同增异减原理，函数的单调递减区间为函数的递增区间，即可得解.
【详解】根据函数的单调递增区间为，
所以对称轴，即，
所以，
根据同增异减原理，
函数的单调递减区间为函数的递增区间，
的递增区间为，
所以，
故1
15. 若，，且，则的最小值是____________．
【正确答案】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故
16. 已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数m的取值范围是___________.
【正确答案】
【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.
对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，
是偶函数，所以.
因为，
所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，
因此将不等式整理得：
令，则在上单调递增，
所以，
所以，
根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立；
所以
所以
所以实数的取值范围是.
故答案为.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. （1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【正确答案】（1）-1；
（2）①，②
【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；
（2）①：由求解；
②：由，结合隐含的条件即可求解.
【详解】（1）原式=；
（2）①：，所以；
②：，由题意知，所以.
18. 已知函数是奇函数．
（1）求的定义域及实数a的值；
（2）用单调性定义判定的单调性．
【正确答案】18. 定义域为，
19. 在、上单调递减
【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得；
（2）借助函数单调性的定义作差判断即可得.
【小问1详解】
由：，得，所以的定义域为，
因为是奇函数，则，即，
即，所以，则，所以；
【小问2详解】
，，
则，
当时，，，，则，
即，所以在上单调递减，
当，，，，则，
即，所以在上单调递减，
故在、上单调递减.
19. 已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数的值域．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【小问1详解】
是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
【小问2详解】
，
，令，
，
，
，
的值域为．
20. 已知函数.
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式.
【正确答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）或，
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解，
（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，且，所以为奇函数；
【小问2详解】
由于为单调递增函数，故均为单调递减函数，因此为定义域内的单调递减函数，
因此在上是奇函数且是减函数，
由不等式得；
所以，即得或，
21. 已知函数是定义在R的偶函数，当时，．
（1）请画出函数图象，并求的解析式；
（2），对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【正确答案】（1）图象见解析，
（2），．
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得时，解析式，然后画出函数图象即可；
（2）根据题意，由的定义可得其函数解析式，画出其函数图象，结合图象即可得到其最小值.
【小问1详解】
设，则，则，又函数是定义在R的偶函数，
所以，
则；函数的图象，如图所示．
【小问2详解】
因为，当时，令，解得，
则当时，，当时，令，解得，
则当时，，所以，
画出函数的图象，如图所示，结合图象可知，当时，．
22. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【正确答案】（1）
（2）， 万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
综上，.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.