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新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件整合850页
展开这是一份新人教版高中数学选择性必修第二册全套课件整合850页，共60页。PPT课件主要包含了确定的顺序，每一个数，公众号《品数学》，数列的分类，正整数N，一个式子，数列的递推公式，相邻两项，a1+a2++an，前一项等内容，欢迎下载使用。
1.数列及其相关概念(1)定义:按___________排列的一列数叫做数列.(2)项:数列中的_________叫做这个数列的项. (3)形式:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an是数列的第__项,第1项也叫做首项.
第1课时 数列的概念与简单表示法
【思考】 (1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
3.函数与数列的关系数列{an}是从________(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
【思考】函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.
4.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用_________来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.( )(2){an}与an是一样的,都表示数列.( )(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.( )(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.( )
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.(4)×. 第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为( ) A.an=n,n∈N*B.an=n+1,n∈N*C.an=n+2,n∈N*D.an=2n,n∈N*【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N*.
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的( )A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________. 【解析】a8=2×8-1=15.答案:15
类型一 数列的概念以及分类【典例】1.下列说法错误的是( )A.数列4,7,3,4的首项是4B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3C.数列1,2,3,…就是数列{n}D.数列中的项不能是三角形
2.已知下列数列:①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;②1, , ,…, ,…;③1,- , ,…, ,…;④1,0,-1,…,sin ,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号). 【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.
【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
【内化·悟】1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.如何判断两个数列是相同数列?提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.
【类题·通】数列概念的三个注意点(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【习练·破】下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1, , ,…B.sin ,sin ,sin ,sin ,…C.-1,- ,- ,- ,…D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1, , ,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,- ,- ,- ,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
【加练·固】下列数列(1)1,2,22,23,…,263;(2)0,10,20,30,…,1 000;(3)2,4,6,8,10,…;(4)-1,1,-1,1,-1,…;(5)7,7,7,7,…;(6)
其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号) 【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是 (3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是 (4),常数列是(5).答案:(1)(2) (3)(4)(5)(6) (1)(2)(3) (6) (4) (5)
类型二 观察法写出数列的通项公式【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为( ) A.an=3nB.an=n(n+2)C.an=n+2nD.an=2n+1
2.写出下列数列的一个通项公式:(1) ,2, ,8, ,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9 999,…;(4) …;(5) …;(6)4,0,4,0,4,0,….
【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,所以an=n+2n.2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察: …,所以,它的一个通项公式为an= .(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an=(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an= 又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
【素养·探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an= 此数列两项3与5的平均数为 =4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
【类题·通】(1)用观察法求数列通项公式的策略
(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
【习练·破】写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1 ,2 ,3 ,4 ,…;(3)1,11,111,1 111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N*).(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为 故所求的数列的一个通项公式为an=n+ = (n∈N*).(3)原数列的各项可变为 ×9, ×99, ×999, ×9 999,…,易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an= (10n-1)(n∈N*).
【加练·固】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1) 3,5,7,9,11,13,…; (2) , , , , , …;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,…;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, …, 所以
(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,…,所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三 数列通项公式的简单应用【典例】已知数列{an}的通项公式为an= .(1)求a10.(2)判断 是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(3)求证:0
【习练·破】数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.(1)-60是否是{an}中的一项?(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2.解得n=10或n=-9(舍去).所以-60是{an}的第10项.
(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0
【加练·固】已知数列{an}的通项公式为an= .(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问 是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为an= ,所以a4= = ,a6= = .(2)令 = ,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N*,故将n=-8舍去,所以 是该数列的第5项.
1.有下列命题:①数列 …的一个通项公式是an= ②数列的图象是一群孤立的点;③数列1,-1,1,-1,…与数列-1, 1,-1,1,…是同一数列;④数列 是递增数列.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.0
【解析】选A.由通项公式知a1= ≠ ,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.
2.数列 …的一个通项公式是( )【解析】选B.因为数列 …的第三项可写成 这样,每一项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________. 【解析】由已知得a3=51-3= .答案:
4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an= n∈N*,则 是数列中的第________项. 【解析】根据题意,数列{an}中,已知an= 若 即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).答案:4
【新情境·新思维】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.
【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:2=2×1=2×12=2× 8=2×4=2×22=2× 18=2×9=2×32=2× 32=2×16=2×42=2× 50=2×25=2×52=2× …则该数列第18项为2× =2×92=2×81=162.
第2课时 数列的通项公式与递推公式
【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:
2.数列的前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和.记作Sn.即Sn= ___________.
【思考】数列{an}的通项公式和其前n项和Sn的关系是什么?提示:an=
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)递推公式不能用来表示数列.( )(2)所有的数列都有递推公式.( )(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.( )(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.( )
提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,… 的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为( ) A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
3.已知数列{an}满足a1<0, =2(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”). 【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N*),得an<0(n∈N*).又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.答案:递减
类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),那么a4的值为( ) A.4B.8C.15D.312.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________. 3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,an+1= (n∈N*);(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N*).
【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.
【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.
(2)因为a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= = ,所以an= .(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以an=1+2×3n-1.
【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.
【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【习练·破】设数列{an}满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5=1+ = .
类型二 由递推公式求通项公式角度1 累加法【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.
【解析】an+1-an=ln =ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].所以an=2+ln n(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.
【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2)”,求数列的通项公式.
【解析】因为an=an-1+ (n≥2),所以an-an-1= = ,所以a1=1,a2-a1= ,a3-a2= ,a4-a3= ,…an-an-1= .
所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+( - )+( - )+( - )+…+( - )= - +1.当n=1时a1=1也适合上式,所以an= - +1.
角度2 累乘法【典例】设数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为 =f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an= an-1(n≥2),所以 ,an= × × ×…× × ×a1= ×…× ×1= .又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an= .
【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当 =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an= · · ·…· ·a1累乘来求通项an.
【习练·破】已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以 = ,所以 ·…· = · · ·…· · =所以 ,所以an= ,当n=1时符合上式,所以an= ,n∈N*.
【加练·固】若a1=2,an+1= an,求该数列{an}的通项公式.【解析】由an+1= an,可得 = ,则an= ·…· ·a1= · · ·…· ·2= ,n=1时,a1=2也满足上式,所以an= .
类型三 数列相关概念的应用角度1 Sn与an的关系【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N*).
【素养·探】本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以an= (n∈N*).
角度2 数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1) (x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N*).(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.
【解析】(1)an=f(n)=(n+1) .所以an+1-an=(n+2) -(n+1) = ,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1
(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10× .
【内化·悟】数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.
【类题·通】1.关于Sn与an的关系数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an= 求通项公式时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1
【习练·破】1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是( ) A.107B.108C.108 D.109【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2 +108 ,由于n∈N*,故当n取距离 最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.
2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________. 【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,答案:7
【加练·固】数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1
2.已知数列{an}的通项公式为an= 则数列{an}为( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an= 所以n≥2时,an-an-1=2+ <0,所以an
4.已知数列{an}中,a1=2,an=- (n≥2),则a2 020=________. 【解析】因为a2=- a3=- =2,a4=- =a2,所以{an}的周期为2,所以a2 020=a2=- .答案:-
【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足( )A.an+1=4an-3nB.an+1=4an-1C.an+1=2an+1D.an+1=2an+n
【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.
第1课时 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列习题课
4.2.2 等差数列的前n项和公式
1.等差数列的定义(1)条件:①从第__项起.②每一项与它的_______的差都等于_______常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.
【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:__叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=____.
【思考】等式“2A=a+b”有哪些等价形式?提示:2A=a+b⇔A-a=b-A⇔A= .
3.等差数列的通项公式
【思考】等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列.( )(2)常数列也是等差数列.( )(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.( )(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.( )
提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.
2.下列数列是等差数列的是( ) A. B.1, C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0【解析】选D.因为 - ≠ - ,故排除A;因为 -1≠ - ,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为( )A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
4. +1与 -1的等差中项是( )A.1B.-1C. D.±1【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=
类型一 等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=________. 2.已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N*),bn= (n∈N*).求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为 =某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.
【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,所以数列{an}是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-1
2.方法一:因为 所以 = +3,所以 - =3,又因为bn= (n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1= = .所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
方法二:因为bn= ,且an+1= ,所以bn+1= = = +3=bn+3,所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1= = .所以数列{bn}是等差数列,首项为 ,公差为3.
【素养·探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1= ”改为“a1= ,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其他条件不变,如何解答?
【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),所以 =1(n≥2).又因为bn= ,所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1= =2.所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.
【类题·通】定义法判定数列{an}是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【习练·破】若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.
【加练·固】1.以下选项中构不成等差数列的是( )A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cs 0,cs 1,cs 2,cs 3D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.
2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常数),所以此数列不是等差数列.
类型二 等差中项的应用【典例】1.已知a= ,b= ,则a,b的等差中项为( ) A. B. C. D. 2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=( )A.2B. C.1D. 3.已知 , , 成等差数列,证明 , , 成等差数列.
【思维·引】1.a,b的等差中项为 (a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.
【解析】1.选A.a,b的等差中项为 == .2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.
3.因为 成等差数列,所以 ,化简得2ac=b(a+c),又 = = = = = =2· ,所以 , , 成等差数列.
【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b= (或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.
【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m
2.已知 成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知 成等差数列,可得 ,所以 ,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.
【加练·固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.
【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
类型三 等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是( ) A.nB.3n+11C.n+4D.n+32.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列 为等差数列,则an=________. 3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?
【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求 ,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.
【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x = n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以 , = ,又数列 为等差数列,所以其公差d= ,所以 = +(n-1)d= (n-1)= ,所以an= .答案:
3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,得 解得 所以an= + (n-1)= n+3.(2)由an= n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an= n+3=85,得n= ∉N*,故85不是数列中的项.
【内化·悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.
【类题·通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
【习练·破】1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为( ) A.672B.673C.674D.675【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x= ,所以数列{an}的公差d=(1-x)-x= ,所以a2 022=a1+(2 022-1)×d= =674.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________. 【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.答案:46
【加练·固】1.2 000是等差数列4,6,8,…的( )A.第998项 B.第999项C.第1 001项D.第1 000项2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________. 3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.
【解析】1.选B. 因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)×2,即2 000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有 即 解得a1= -2,d=3.答案:-2 3
3.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-4×20=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.
1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.
2.已知2,b的等差中项为5,则b为( )A. B.6C.8D.10【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以 =5,所以2+b=10,所以b=8.
3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.
4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an=________. 【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N*),即an+1-an=-1,所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n
【新情境·新思维】等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d= .所以{an}的通项公式为an=
(2)由(1)知,bn= 当n=1,2,3时,1≤ <2,bn=1;当n=4,5时,2≤ <3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤ <4,bn=3;当n=9,10时,4≤ <5,bn=4.所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.
1.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系an= _________(m,n∈N*).(2)多项关系若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),则an+am=_____.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=___.
【思考】(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?提示:d= 等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d= 为直线的斜率.
(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
2.等差数列的项的对称性
3.由等差数列构成的新等差数列(1)条件{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列(2)结论
4.等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d,(1)当d>0时,数列{an}为_____数列.(2)当d<0时,数列{an}为_____数列.(3)当d=0时,数列{an}为___数列.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.( )(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列.( )(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq ,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N* ).( )(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,则am+an=ar.( )
提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.
2.(2020·常州高二检测)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=( ) A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.
3.等差数列{an}中,若a4=13,a6=25,则公差d等于( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.因为{an}为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.
4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________. 【解析】设公差为d,则9=2+4d,所以d= .所以c-a=2d= .答案:
类型一 等差数列性质的应用 【典例】1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.452.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )A.-6B.6C.0D.103.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【思维·引】1.由已知条件可以求首项和公差,注意到a4+a6=2a5,可迅速求值;2.关键是注意到{an-bn}也是等差数列,3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N*)求解.
【解析】1.选B.由 即 得d=3.所以a5=2+4×3=14,所以a4+a5+a6=3a5=42.
2.选B.由于{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.
3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以 解得 所以a75=a1+74d= +74× =24.
方法二:因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.所以a75=a60+d=20+4=24.方法三:因为a60=a15+(60-15)d,所以d= 所以a75=a60+(75-60)d=20+15× =24.
【内化·悟】对于新构成的等差数列,解题时要注意什么问题?提示:要注意判断新构成的等差数列的首项和公差.
【类题·通】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q =2r(m,n,p,q ,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.
【习练·破】1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为( )A.30B.27C.24D.21【解析】选A.设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.
2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________. 【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,所以可设其公差为d,则d= 所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.方法二:由 得b8= ×5+b3=2×5+(-2)=8.答案:8
【加练·固】在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80. 求通项an.【解析】因为a1+a5=2a3,所以 解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,因为d= ,所以d=3或-3,所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.
类型二 等差数列中对称设项法的应用【典例】(2019·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.【思维·引】三个数成等差数列,可设这三个数为a+d,a,a-d.【解析】设这三数为a+d,a,a-d,则a-d+a+a+d=12,①(a-d)·a·(a+d)=48,②,由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以这三个数为6,4,2.
【素养·探】在解等差数列中对称设项法的应用有关的问题时,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究等差数列的各项之间的关系,巧设未知数,解方程组求解.将本例的条件“递减”改为“递增”,“三个数的和为12,三个数的积为48”改为“三个数的和为21,三个数的积为231”,试求这三个数.
【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由题意,得 即 解得 因为等差数列是递增数列,所以d=4.所以这三个数为3,7,11.
【类题·通】设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.
【习练·破】已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 又递增数列d>0,所以解得a=± ,d= ,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
类型三 等差数列的应用角度1 与其他知识的综合应用【典例】(2020·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为________. 【思维·引】利用等差数列的性质、均值不等式取最值.【解析】依题意,等差数列{an}各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤ =(a5)2=9.当且仅当a3=a7=3时等号成立.答案:9
角度2 实际应用【典例】(2020·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为( )A.12.5尺B.10.5尺C.15.5尺D.9.5尺
【思维·引】将条件用首项a1,公差d表示,求出a1后即可.【解析】选C.设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.
【内化·悟】解决数列实际应用问题,要关注哪些问题?提示:(1)认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
【类题·通】1.解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
2.解决等差数列实际应用问题的步骤
特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
【习练·破】1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为 的等差数列,则a+b的值为( )
【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为 不妨设方程x2-x+a=0的根为 为等差数列的首项, 为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有 为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,所以四根的排列顺序为 所以a+b=
2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金________斤.
【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,则a1,a2,…,a10成等差数列,且 设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,则 解得d=- ,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d= .答案:
【加练·固】方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)= 有唯一不动点,且x1=1 000,xn+1= ,n=1,2,3,…,则x2 004等于( )A.2 004 B. C. D.2 003
【解析】选B.令f(x)=x,则 =x,因为ax2+(2a-1)x=0有唯一不动点,则2a-1=0,即a= ,所以f(x)= xn+1=
即xn+1-xn= (常数).所以{xn}是首项为1 000,公差为 的等差数列.所以x2 004=1 000+2 003×
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( )A.3B.-6C.4D.-3【解析】选B.由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d= =-6.
2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是( )A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
3.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=________. 【解析】因为等差数列{an}中,a3+a8=a6+a5,所以a5=(a3+a8)-a6=22-7=15.答案:15
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于________. 【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.答案:3∶4∶5
【新情境·新思维】如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,那么称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=________. 【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19.又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19
等差数列前n项和公式
【思考】(1)对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为 当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.
(2)等差数列的前n项和公式中 的意义是什么?提示: 即等差数列前n项的平均数.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N*.( )(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.( )(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.( )(4)1+3+5+7+9= ( )
提示:(1)×.n>1且n∈N*.(2)√.等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征,可用倒序相加法.(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4)×.1+3+5+7+9= .
2.在数列{an}中,Sn=2n2-3n(n∈N+),则a4等于( ) A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.
3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为( )A.128B.80C.64D.56【解析】选C.设数列{an}的前n项和为Sn,则
4.平均数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为________. 【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1 010= ,解得x=1.答案:1
类型一 有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,则S2 019= ( ) A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 019
2.在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.
【解析】1.选D.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以 化为:9d=18,解得d=2.则
2.(1)方法一:由已知条件得 解得所以方法二:由已知条件得 所以a1+a10=42,所以 所以a4=6.所以所以n=20.
【内化·悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.
【类题·通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
【习练·破】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________. 【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列{an}为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列{an}的前n项和为 =3n2-2n.答案:3n2-2n
2.已知等差数列{an}中,(1)a1= ,S4=20,求S6;(2)a1= ,d=- ,Sn=-15,求n及an;(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.
【解析】(1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+ d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为 整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以(3)由 解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
【加练·固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )A.20 B.21 C.22 D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得: 解得k=20.
2.已知等差数列{an}.(1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【解析】(1)因为a15= +(15-1)d=- ,所以d=- .又Sn=na1+ d=-5,解得n=15或n=-4(舍)..(2)由已知,得 解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.
类型二 等差数列前n项和的性质 【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且 则
2.在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于( )A.9B.10C.11D.123.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.
【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出 与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;方法二:依据数列 是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.
【解析】1.选C.数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且 则2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以 所以所以n=10.
3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+ d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11×100+ d=11×100+ ×(-22)=-110.方法二:设等差数列{an}的公差为d,则 所以数列 成等差数列. 所以 即所以S110=-110.
方法三:设等差数列{an}的公差为d,S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d,又即100d=-22,所以S110=-110.
【类题·通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则 (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列 是等差数列,且首项为a1,公差为 .
(4)项的个数的“奇偶”性质.{an}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;(5)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).(6)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
【习练·破】1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( )A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.
2.在等差数列{an}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{an}的前8项和为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,{an}的前8项和= =4.
【加练·固】1.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有 则
【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等差数列的前n项和为:所以所以
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( ) A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.
类型三 等差数列前n项和的最值【典例】1.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5
2.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{an}的通项公式;(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出Sn的最小值.
【解析】1.选C.因为S5
【内化·悟】等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?提示:利用到y=ax2+bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.
【类题·通】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.①当a1>0,d<0时,由不等式组 可求得Sn取最大值时的n值.②当a1<0,d>0时,由不等式组 可求得Sn取最小值时的n值.
(2)利用二次函数求Sn的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为①若a>0,则当 最小时,Sn有最小值;②若a<0,则当 最小时,Sn有最大值.
【习练·破】1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,a2+a2 018=0,则S2 019=________;当Sn取得最大值时,n=________.
【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019= =0.因为a1>0,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当Sn取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:0 1 009或1 010
2.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+ ×(9-1)d,解得d=-2.所以Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.
方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=25>0,由 得所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0.故n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
【加练·固】1.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为________.
【解析】方法一:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,当Sn取得最大值时,对任意n∈N*满足 解得n=20.即满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.答案:20
方法二:同方法一可得公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以Sn= n2+ =-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时,Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.答案:20
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 016>0,S2 017<0,则当n=________时,Sn最大. 【解析】由等差数列的性质知,S2 017=2 017a1 009<0,所以a1 009<0,又S2 016= =1 008(a1 008+a1 009)>0,所以a1 008+a1 009>0,而a1 009<0,故a1 008>0.因此当n=1 008时,Sn最大.答案:1 008
1.(2020·南阳高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S3=9,则S5的值是( ) A.15B.30C.13D.25【解析】选D.已知等差数列{an}中S2=4.S3=9,则a3=S3-S2=9-4=5,则S5= =5a3=25.
2.已知数列{an}的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则 ( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列
【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,所以 =2n+3,当n≥2时, =2n+3-2(n-1)-3=2,故 是公差为2的等差数列.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=-4,a7=4,则( )A.S4>S6B.S4=S5C.S6
【新情境·新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:b2019是数列{an}中的第________项.
【解析】由前四组可以推知an=1+2+…+n= ,从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,依次可知,当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时,由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是第2019个可被5整除的数,故它出现在数列{an}按五个一段分组的第1 010组的第4个数字,由此知,b2 019是数列{an}中的第1 009×5+4=5 049个数.答案:5 049
第2课时 等差数列习题课
类型一 由递推公式写数列的项【典例】1.已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1= ,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________. 2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n.(1)求{an}的通项公式;(2)判断{an}是否为等差数列.
【思维·引】1.已知数列前n项和Sn和数列的第n项an的关系式,用等差数列定义证出数列 是等差数列.2.利用n=1时,a1=S1,当n≥2,n∈N*时an=Sn-Sn-1求an,用等差数列的定义证明.
【解析】1.因为an+2Sn·Sn-1=0,所以an=-2Sn·Sn-1.当n=1时,a1= .当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.因为a1= ,所以SnSn-1≠0,
①式的两边同除以SnSn-1得:所以数列 是首项为2,公差为2的等差数列,所以 =2+2(n-1)=2n,即:Sn= ,则因为a1= 不满足 所以数列的通项公式为 答案:
2.(1)因为Sn=3n2+2n,所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.又a1=S1=5,满足an=6n-1,所以数列{an}的通项公式是an=6n-1.(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,所以{an}是等差数列.
【素养·探】在关于已知数列的前n项和Sn求an的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,根据Sn与an的关系,由Sn求an.将本例2的条件“Sn=3n2+2n”改为“Sn=3n2+2n-1”,如何解答?
【解析】(1)因为Sn=3n2+2n-1,所以当n≥2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.又a1=S1=4,不满足an=6n-1,所以数列{an}的通项公式是
(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,但a2-a1=11-4=7≠6,所以{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
【类题·通】1.由Sn求通项公式an的步骤第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;第二步:令n≥2,则an=Sn-Sn-1;第三步:验证a1与an的关系:(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.(2)若a1不适合an,则
2.Sn与an的关系式的应用(1)“和”变“项”.首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.(2)“项”变“和”.首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.提醒:关于数列的式子中,如果含有如an-1,Sn-1,必须注明n≥2.
【习练·破】设正项数列{an}的前n项和为Sn,并且对于任意n∈N*,an与1的等差中项等于 ,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意知, 得所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an>0,所以an+1-an=2,所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.
【加练·固】数列{an}的前n项和Sn=- n2+n-1,求数列{an}的通项公式.【解析】n=1时,当n≥2时,因为 不适合所以
类型二 实际应用题【典例】1.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( ) A.9B.16C.18D.20
2.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=( )A.23B.32C.35D.38
【思维·引】1.每天派出的人数组成等差数列,问题是知道首项、公差和前n项和,求项数.2.儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.
【解析】1.选B.根据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列,该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n,则64n+ ·7=1 864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.2.选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+ ×(-3)=207,解得a1=35.
【内化·悟】解答等差数列实际应用问题的关键是什么?提示:关键是将实际问题转化为等差数列问题,从而确定出等差数列的首项、公差、项数、第n项、前n项和,知道哪些量,要求什么量.
【类题·通】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+ ×20+10×20+ ×20=2 000.答案:2 000
类型三 数列求和问题角度1 裂项求和与并项求和问题【典例】1.已知函数f(n)= 且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( ) A.0D.10 200
2.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn.
【思维·引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出通项公式;(2)对bn进行适当变形,选择裂项相消法进行数列求和.
【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),所以由已知条件知即 所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.
2.(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为 所以解得a1=1,d= .所以{an}的通项公式为an= . 所以
【素养·探】在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和.将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
角度2 求数列{|an|}的前n项的和【典例】等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=-2an+25,求数列{|bn|}的前n项和.【思维·引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
【解析】(1)等差数列{an}的公差设为d,a2=4,a4+a7=15,可得解得 则an=n+2. (2)bn=-2an+25=21-2n,设{bn}的前n项和为Sn= n(19+21-2n)=20n-n2,当n≤10时,数列{|bn|}的前n项和为20n-n2;当n≥11时,数列{|bn|}的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,综上可得数列{|bn|}的前n项和为
【类题·通】1.裂项相消求和(1)适用数列:形如 (bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.(2)裂项形式: (3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
2.关于并项法求数列的和(1)适用形式:①适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.②项成周期变化的数列. (2)求和方法:①形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.
3.数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
【习练·破】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意知,a1+a2=2a1+d=10,S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,所以 所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
(2)令cn=13-an=11-2n,bn=|cn|=|11-2n|= 设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.
【加练·固】1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.(1)求an及Sn.(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得即 解得则an=3+2(n-1)=2n+1,所以Sn=3n+ =n2+2n.(2)由题意可得所以Tn=b1+b2+…+bn=
2.等差数列{an}的前n项和Sn=- n2+ n,求数列{|an|}的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=- n2+ n-[- (n-1)2+ (n-1)]=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=- n2+ n,当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn= n2- n+3 502,所以
1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2 017-2 019=( ) A.-2 020B.-1 010C.-505D.1 010【解析】选B.1-3+5-7+9-11+…+2 017-2 019=(1+5+9+…+2 017)-(3+7+11+…+2 019)
3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两周共得________积分. 【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周共得 =105积分.答案:105
4.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=________. 【解析】由a1>0,a10·a11<0知d<0,且a10>0,a11<0,所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.答案:60
【新情境·新思维】在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列 的前100项和S100.
【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,所以所以数列 的前100项和
第1课时 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
4.3.1等比数列的概念
第1课时 等比数列的前n项和公式
第2课时 等比数列习题课
4.3.2等比数列的前n项和公式
1.等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_______的比都等于_______常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
【思考】 (1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示: =q(n≥2)或 =q(q≠0).
2.等比中项在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_________,那么G叫做a与b的等比中项.
【思考】G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
3.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为________.
【思考】 等比数列的通项公式an=a1qn-1与指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么联系?提示:an=a1·qn-1= ·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)= ·qx(x∈R)在x=n时的值,即an=f(n).数列{an}图象上的点(n,an)都在指数函数f(x)的图象上.反之指数函数f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列{a·an-1}.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列.( )(2)若G是a与b的等比中项,则G= . ( )(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.( )
提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.G=± .(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________. 【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b= =4.答案:4
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q,因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n
类型一 等比数列基本量的计算 【典例】1.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1=( ) 2.已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q=( )A.4B.3C.2 D. 3.在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3= ,则{an}的通项公式an=________.
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.2.将条件用a1,q表示,消元求公比.3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则 =q3=-8,则q=-2,则a1= 2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以 且q>0,解得a1= ,q=2,所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3= ,所以 两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1= .所以an=3n-2.答案:3n-2
【内化·悟】 计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.
【类题·通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
【习练·破】1.(2020·天津高二检测)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则a5=( )A.12B.18C.24D.36【解析】选C.根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,已知a3=6,a3-a5+a7=78,则6-6q2+6q4=78,解得q2=4或q2=-3(舍),故a5=6q2=24.
2.(2020·开封高二检测)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a1= ( )A.1B.2C.- D.-1【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2=-1,a1-a3=-3,所以a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,显然q≠±1,解得a1=1,q=-2.
【加练·固】 已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1= =5,故a1=5.
类型二 等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3- ,c=3+ ,则b=( )A.2 B.-2C.±2D.42.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )A.2B.4C.6 D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3- )(3+ )=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为an=(n+8)d,又因为 =a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】 等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.
【习练·破】 -1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________. 【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125
【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求 的值.
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d= ×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以 =(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以
类型三 等比数列的判定角度1 利用定义证明等比数列【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.证明:{an+1}是等比数列.【思维·引】证明 为常数,或整体构造证明.
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1= 所以 方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以 .所以 是以 为公比的等比数列.
【素养·探】 在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明: {an+1}是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以 所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn= an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求证:{an}是等比数列;(2)求证:{an+1}不是等比数列.【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)算出数列的前三项进行证明.
【证明】(1)因为Sn= an+b,所以当n≥2时Sn-1= an-1+b,两式相减得Sn-Sn-1= an+b- an-1-b,所以an= an- an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1= a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.
【类题·通】 关于等比数列的证明(1)定义法①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明 或 (n≥2)为常数.②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.(2)等比中项法证明 =an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.
【习练·破】 (2020·西城高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=p-23-n,其中n∈N*.(1)求p的值及数列{an}的通项公式;(2)判断数列{ }和{nan}是否为等比数列?证明你的结论.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.因为Sn=p-23-n,所以S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1,因为数列{an}为等比数列,所以q= ,所以 所以p=8,a1=4,所以an=4× =23-n;
(2)数列{ }是等比数列,{nan}不是等比数列.证明如下:由(1)得 =(23-n)2=43-n,所以 所以数列{ }是以 为公比的等比数列,由(1)可得,{nan}=n·23-n,其前3项分别为4,4,3构不成等比数列,故{nan}不是等比数列.
【加练·固】 已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn= ,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
【解析】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,故 所以数列{bn}是等比数列.因为b1= 所以bn= ×2n-1=2n-3.
1.已知数列{an}是等比数列,且a1=1,a4=8,则a6=( )A.15B.24C.32D.64【解析】选C.由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3=3,则公比q的值为( )A.- B.-1C.- 或1D.- 或-1【解析】选C.因为a1+a2=a1·(1+q)=6,a3=a1·q2=3,所以 =2,整理,得2q2-q-1=0,解得q=1,或q=- .
3.已知数列{an}中,an+1=2an,且a3=12,则a1=________. 【解析】因为12=a3=2a2,所以a2=6.因为6=a2=2a1,所以a1=3.答案:3
4.若等比数列{an}满足a1= ,a2a3=2,则a7=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为等比数列{an}满足a1= ,a2a3=2,所以 q· q2=2,解得q=2,所以a7= ×26=32.答案:32
【新情境·新思维】 已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是( )A.ak·ak+1>0B.ak·ak+2>0C.ak·ak+1·ak+2>0D.ak·ak+3>0
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2=(ak·q)2>0,B正确;对于C,ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3= ·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误.
第2课时 等比数列的性质及应用
1.等比数列的项之间的关系等比数列{an},m,n,p,q∈N*
【思考】等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=
【思考】当q=1,q<0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)等比数列{an}中a2·a6= ( )(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.( )(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.( )
提示:(1)×.a2·a6= (2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=- ,a1= ,则数列{an}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=- <0,所以数列{an}是摆动数列.
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100
类型一 等比数列性质的应用 【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11=( ) 2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2 ,a3=1,则a2=( ) 【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.2.利用a3a7= 求出q,进而求出a2.
【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,且a1
【内化·悟】 用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.
【类题·通】1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
2.利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
【习练·破】 (2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则 =( )A.5B.10C.25D.510
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,所以 解得a1=2,q= ,所以 =q10=25.
【加练·固】 (2020·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3=( )A.1B.-1C.± D. 【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,且 =a1·a5=3,所以a3= .
类型二 等比数列的实际应用【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则 等于( )
【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q= 所以
【内化·悟】 在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【类题·通】 关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
【习练·破】(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg 2≈0.301 0)( ) A.6B.7C.8D.9
【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+ 50%)n>40×(1+20%)n,化为: >4,取对数可得:n> ≈6.2.所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
【加练·固】 某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________. 【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为 =m,所以月平均增长率为 -1.答案: -1
类型三 等比数列与等差数列的综合应用角度1 灵活设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为 ,a,aq,则 ×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三个数为 ,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为 -1,4,4q-1,则 -1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或 ,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
【素养·探】 在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为 ,a,aq,因为 ·a·aq=512,所以a=8.因为 +(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q= ,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
角度2 等差、等比数列性质【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+ a5,b5=a4+2a6,则a2 018+b9=( )A.2 274B.2 074C.2 226D.2 026【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.
【类题·通】等比数列项的设法(1)三数成等比数列常设成 ,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为 ,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为 , ,aq,aq3.
【习练·破】 设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21
【加练·固】 已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________. 【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.答案:2
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为 =q3,即 =a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.
2.已知数列{an}是等比数列,若 =4,则a5=( )A.2B.4C.2 D. 【解析】选B.根据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,若 =4,则 =a3q2=a5=4.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )A.12B.24C.30D.32【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得结果.
【解析】选D.设等比数列 的公比为q,则a1+a2+a3=a1 =1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q =q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5 =q5=32.
4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)的值为________.
【解析】在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π= ,所以a4= .所以sin(lg3a1+lg3a2+…+lg3a7)=sin[lg3(a1a2·…·a7)]=sin(lg3 )=sin(lg3 ) 答案:
【新情境·新思维】 已知数列{ }是等比数列,公比为q,则数列{an} ( )A.是等差数列,公差为lg3qB.是等差数列,公差为3qC.是等比数列,公比为lg3q D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列{ }是等比数列,所以 所以an+1-an=lg3q(常数),所以数列{an} 是等差数列,公差为lg3q.
第1课时 等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式
【思考】 对于等比数列的前n项和Sn= 一定成立吗?提示:不一定,当q=1时不成立.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn= ( )(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn= ( )(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0.( )
提示:(1)×.Sn= (2)×.Sn= (3)×.Sn=
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( ) 【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以 =3a1(1+q),化为q2=2,解得q= (负值舍去).
3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________. 【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3= =8,即q=2,首项a1= ,则数列{an}的前n项和Sn= 答案:2n-1-
类型一 等比数列前n项和的计算【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10=( )A.1 022B.2 046C.2 048D.4 0942.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.
【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5= =512,所以a3=8,因为a2+a4=2(a1+a3),所以 整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10= =2 046.
2.因为S3= =6,S6= =54,所以 =1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以 =6,解得a1= .答案:
【内化·悟】 本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.
【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
【习练·破】1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 =( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得: 所以an=a1qn-1=2n-1,Sn= =2n-1,因此 =2-21-n.
2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1= ,6 =a6,则S5=________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1= ,6 =a6,所以 解得,q=2,则S5= 答案:
【加练·固】 (2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1= , =a6,则S4=________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1= , =a6,所以 解得,q=2,则S4= 答案:
类型二 等比数列前n项和的实际应用【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( )A.3B.4C.5D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.
【解析】选B.此人每天走的步数构成以 为公比的等比数列,所以 =378,解得a1=192,所以an=192× =384× ,因为384× <30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.
【内化·悟】 从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:Sn=378,q= ,n=6.
【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.
【习练·破】(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?( )
【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则{an}是公比为 的等比数列,所以S3= =50,解得a1= ,所以羊主人应偿还:a3= 升粟.
类型三 等比数列前n项和的简单性质角度1 前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则 ( )A. B.3C.6D.9【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1= ·3n-1,所以 =1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2, 方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则
【素养·探】 等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.
【解析】数列{an}是等比数列,①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.②故数列{an}的公比q≠1,所以Sn= 故q=2, =-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93
角度2 前n项和的性质【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( ) 【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9= 方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3= 所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×
【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{an}是非常数数列的等比数列⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N*).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A= 2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.
【习练·破】 (2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则( )A.A+C>2BB.AC
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q= 又Sn=85+170=255,据Sn= 得 =255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为( )A.1+ B. C. D.以上都不对【解析】选D.当a=1时,Sn=n.
2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为( )A.29B. C.30D. 【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,则 解得 因此,数列{an}的前5项和S5=
3.数列{2n-1}的前99项和为( )A.2100-1B.1-2100C.299-1D.1-299【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99= =299-1.
4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2 020的值为________. 【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1=3,2S2=S3+S4,当q=1时显然不成立,故q≠1,所以 ,整理可得,q2+q-2=0,解得,q=-2或q=1(舍),则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019.答案:-3×22 019
【新情境·新思维】 已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N*),则S5=( )A.30B.31 C.15 D.62【解析】选B.因为等比数列{an}的各项均为正数,且anan+1=4n(n∈N*),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1= ,所以S5= =31 .
第2课时 等比数列习题课
类型一 等差、等比数列性质的应用【典例】1.已知数列{an}为等比数列,满足a3a11=6a7;数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=( )A.13B.48C.78D.1562.由实数构成的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=( )A.62B.124C.126D.154
【思维·引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13;2.利用等差条件求出q,再求S6.
【解析】1.选C.因为数列{an}为等比数列,满足a3a11=6a7,所以 =6a7,解得a7=6,因为数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,所以b7=a7=6,所以S13= =13b7=13×6=78.
2.选C.因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.则S6= =126.
【内化·悟】 本例2中的等差条件的作用是什么?提示:利用等差中项构造方程求公比.
【类题·通】等差、等比数列性质的综合应用(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.
【习练·破】 (2020·江苏高考)设 是公差为d的等差数列, 是公比为q的等比数列,已知数列 的前n项和Sn=n2-n+2n-1 ,则d+q的值是______.
【解析】设数列{an},{bn}的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,则An= 结合Sn=n2-n+2n-1,得 解得 所以d+q=4.答案:4
【加练·固】已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则 ( )A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选C.等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列可得 =a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化为a1=d,则
类型二 错位相减法求和 【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.【思维·引】(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,a1,q求通项.(2)利用错位相减法求前n项和.
【解析】(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2= =4,q>0,所以q=2,所以an=8·2n-4=2n-1.
两式相减得: 所以Tn=8-(n+2)·
【内化·悟】本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?提示:可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式Sn=
【类题·通】关于错位相减法求和(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;(2)求和步骤①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,
(i)(ii)式形成错位;③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;④两边同除以1-q,整理得Sn.
【习练·破】 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得 故数列{an}的通项公式为an=2-n.(2)Sn= 所以 两式相减得
【加练·固】已知递减的等比数列{an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由等比数列性质可知a1 ·a2 ·a3 = = 8,所以a2=2,a1·a3=4.由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.联立 由等比数列{an}递减可知 于是q= 所以an=a1·qn-1=4×
(2)由(1)可知bn=n·an=n· ,于是Sn=1× +2× +3× +…+(n-1)× +n× , Sn=1× +2× +3× +…+(n-1)× +n× ,两式相减得 Sn=1× +1× +1× +1× +…+1× -n× =8-(n+2)× ,故Sn=16-(n+2) .
类型三 等比数列Sn与an的关系角度1 求Sn与an的关系【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是( )A.Sn=2an-1B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3D.Sn=4an-1【思维·引】分别表示出Sn与an,再确定关系.
【解析】选A.设等比数列的公比为q(q>0),由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.所以Sn= ,则Sn=2an-1.
【素养·探】 在确定Sn与an的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过对Sn计算公式寻求二者之间的关系.本例中的等比数列{an},若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?提示:Sn=
角度2 Sn与an的关系的应用【典例】数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于{an}的论断中正确的是( )A.一定是等差数列B.可能是等差数列,但不会是等比数列C.一定是等比数列D.可能是等比数列,但不会是等差数列【思维·引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.
【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1时,a2= 3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.
【类题·通】 关于等比数列Sn与an的关系(1)Sn与an的关系可以由Sn= 得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.
【习练·破】 已知等比数列{an}的公比q>0且q≠1,其前n项和为Sn,则S2a3与S3a2的大小关系为( )A.S2a3>S3a2B.S2a3
1.已知数列{an}为等差数列,且 成等比数列,则{an}前6项的和为 ( )A.15B. C.6D.3【解析】选C.设数列{an}为公差为d的等差数列,且 成等比数列,可得4= 可得a1+a6=2,即有{an}前6项的和为 ×6(a1+a6)=6.
2.等比数列{an}中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列{an}的公比为( )A.1B.2C.-2D.4【解析】选B.等比数列{an}的公比设为q,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,可得2(a2+1)=a1+a3,即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).
3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1,S3,S2成等差数列,则数列{an}的公比为________. 【解析】各项均为正数的等比数列{an}的公比设为q,若2S1,S3,S2成等差数列,可得2S3=2S1+S2,即为2(a1+a1q+a1q2)=2a1+a1+a1q,即有2q2+q-1=0,解得q= (q=-1不合题意,舍去).答案:
4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若 ,则 =________. 【解析】根据题意,在等比数列{an}中, ,显然q≠1,故 变形可得q5=3,故 答案:
【新情境·新思维】 对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若{an}的“差数列”是首项为 ,公比为 的等比数列,若a1=1,则a2 020=________. 【解析】根据题意,an+1-an= ,则a2 020=(a2 020-a2 019)+(a2 019-a2 018)+…+(a2-a1)+a1= =2- .答案:2-
4.4* 数学归纳法
数学归纳法(1)概念:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
(2)证明形式:记P(n)是一个关于正整数n的命题.条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为真.
【思考】(1)验证的第一个值n0一定是1吗?提示:不一定,如证明“凸n边形对角线的条数f(n)= ”时,第一步应验证n=3是否成立.
(2)在第二步证明中,必须从归纳假设用综合法证明吗?提示:不是,在归纳递推中,可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(2)不管是等式还是不等式,用数学归纳法证明时由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )(3)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( )
提示:(1)×.也可以用其他方法证明.(2)×.有的增加了不止一项.(3)√.观察左边的式子可知有n+3项,所以验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.
2.已知 则( )A.f(n)共有n项,当n=2时,B.f(n)共有n+1项,当n=2时,C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,
【解析】选D.结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到( )A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
【解析】选D.因为将式子:1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替换得:当n=k+1时,有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.
类型一 用数学归纳法证明等式【典例】用数学归纳法证明: 【思维·引】等式的左边有2n项,右边有n项,左边的分母是从1到2n的连续正整数,末项与n有关,右边的分母是从n+1到n+n的连续正整数,首、末项都与n有关.
【证明】(1)当n=1时,左边 右边= ,等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即 那么当n=k+1时,左边 右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)(2)知对一切n∈N*,等式都成立.
【内化·悟】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时的关键是什么?要注意什么?提示:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决.
【类题·通】 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
(3)利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”也成立,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
【习练·破】用数学归纳法证明:【证明】(1)当n=1时,左边 右边 左边=右边,所以等式成立.
(2)假设n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,即有则当n=k+1时,所以当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n∈N*等式都成立.
【加练·固】用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2= n(4n2-1)(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,左边=12,右边= ×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2= k(4k2-1),则当n=k+1时
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2= k(4k2-1)+(2k+1)2= k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2= (2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]= (2k+1)(2k2+5k+3)= (2k+1)(k+1)(2k+3)= (k+1)(4k2+8k+3)= (k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.
类型二 用数学归纳法证明不等式【典例】求证: 【思维·引】由n≥2知n的初始值为2,在第二步可以应用分析法或放缩法证明.
【解析】(1)当n=2时,左边 故左边>右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即则当n=k+1时,
方法一 (分析法)下面证*式≥ ,即只需证(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,只需证(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,只需证9k+5≥0,显然成立.所以当n=k+1时,不等式也成立.
方法二 (放缩法)*式 所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.
【内化·悟】1.在什么条件下适合应用数学归纳法证明数学命题?提示:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
2.应用数学归纳法证明数学命题的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,这一步骤有哪些方法?提示:主要方法有①放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等.
【类题·通】用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
【习练·破】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式均成立.
【证明】(1)当n=2时,左边=1+ = ;右边= .因为左边>右边,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即 则当n=k+1时, 所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.
【加练·固】已知数列{an},an≥0,a1=0, 求证:当n∈N*时,an
【思维·引】(1)数列{an}的各项均为正数,且 ,所以可根据解方程求出a1,a2,a3.(2)观察a1,a2,a3猜想出{an}的通项公式an,然后再证明.
【解析】(1)S1=a1= 得 =1.因为an>0,所以a1=1,由S2=a1+a2= ,得 +2a2-1=0,所以a2= -1.又由S3=a1+a2+a3= ,得 +2 a3-1=0,所以a3= - .
(2)猜想an= - (n∈N*)证明:①当n=1时,a1=1= - 猜想成立.②假设当n=k (k∈N*)时猜想成立即ak= - ,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk所以 即n=k+1时猜想成立.由①②知,
【素养·探】本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力,在这类问题中经常用到的数学核心素养是逻辑推理.已知(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系.(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
【解析】 (1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);当n=2时,f(2)= ,g(2)= ,所以f(2)
【类题·通】1.“归纳——猜想——证明”的解题步骤
2.“归纳——猜想——证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和.(2)由一些恒等式,不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单命题(n=1,2,3……),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
提醒:①计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;②猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功.③如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.
【习练·破】(2020·全国Ⅲ卷)设数列 满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想 的通项公式并加以证明;(2)求数列 的前n项和Sn .
【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;假设n=k(k≥1,k∈N*)时,ak=2k+1成立.那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的n∈N*,都有an=2n+1成立.
(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②由①-②得: 即Sn=(2n-1)·2n+1+2.
1.证明 假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( ) A.1B.k-1C.k D.2k
【解析】选D.当n=k时,不等式左端为当n=k+1时,不等式左端为 增加了 项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n-an(n∈N*),若已经算出a1=1,a2= ,则猜想an等于( )
【解析】选D.因为a1=1,a2= ,S3=1+ +a3=6-a3,所以a3= .同理可得a4= .观察猜想
3.已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*).用数学归纳法证明f(2n)> ,请补全证明过程:(1)当n=1时,f(21)=1+ > ;(2)假设n=k时命题成立,即f(2k)> ,则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+________, 即当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,对任意n∈N*,都有f(2n)> 成立.
【解析】因为当n=k时,f(2k)=1+ + +…+ > ,所以当n=k+1时,f(2k+1)=答案:
1.瞬时速度我们把物体在_________的速度称为瞬时速度.【思考】 物体在时间段 的平均速度与在时刻t=1的瞬时速度有什么关系?提示:当时间间隔 无限趋近于0时,平均速度 就无限趋近于t=1时的瞬时速度.
5.1.1 变化率问题
5.1 导数的概念及其意义
2.极限对于 = =-4.9Δt-5,我们把-5叫做“当Δt无限趋近于0时, = 的极限”,记为 =-5.
3.曲线的切线当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为抛物线f（x）=x2在点P0（1，1）处的切线.
【思考】曲线的割线P0P与曲线在P0的切线有什么关系?提示:当横坐标间隔 无限变小时,点P无限趋近于点P0,割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数.( )(2)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中Δx与Δy同号. ( )(3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在[t,t+Δt]上,当Δt较小时的平均速度. ( )
提示:(1)×.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数,也可以是负数,但不能为0.(2)×.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.(3)×.物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt➝0时,平均速度的极限.
2.某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内下列理解正确的是( )A.(t0+Δt)-t0称为函数值增量B.t0称为函数值增量C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)称为函数值增量D. 称为函数值增量【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确.
3.曲线y=x2-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为( ) A.0B.1C.-1D. 【解析】选A. k= = =0.
类型一 求运动物体的平均速度【典例】1.已知一物体的运动方程为y=f(t)=2t2+1,其中t的单位是s,路程单位为m,那么物体在时间[1,1+Δt]内的平均速度为( )A.4 B.4Δt C.4+2Δt D.2Δt
2.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【思维·引】1.根据函数变化率的定义求解.2.结合图形的变化趋势判断甲乙在各个时间段的平均速度的大小.【解析】1.选C.由题意,Δy=f(1+Δt)-f(1)=2(1+Δt)2+1-3=4Δt+2(Δt)2,所以 =4+2Δt.2.选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.
【内化·悟】如何计算运动物体的平均速度? 提示:应用公式 ,或者 .
【类题·通】求平均变化率的步骤物体的运动方程为y=f（x）,求在区间 [ ]的平均变化率的步骤:(1)求时间的改变量Δx=x-x0;(2)求函数值的变化量Δy=f（x）-f（x0）;(3)求平均变化率 .提醒:Δx,Δy的值可正、可负,但Δx≠0,当f（x）=c为常数时,Δy=0.
【习练·破】已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2,其中r∈(0,+∞),则当半径r∈[1,1+Δr]时,圆的面积S的平均变化率为________. 【解析】当r∈[1,1+Δr]时,圆面积S的平均变化率为 = = =2π+πΔr.答案:2π+πΔr
类型二 求瞬时速度【典例】1.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2 s时的瞬时速度是( ) A.2 m/sB.6 m/sC.4 m/sD.8 m/s2.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )A.-3B.3C.6D.-6
【思维·引】关键是求位移改变量.【解析】1.选D.v= .2.选D.v= (-3Δt-6)=-6.
【内化·悟】求 (aΔt+b)时,能否直接求Δt=0的结果?提示:能.因为当Δt无限接近0时,在含有Δt的整式中,可直接把Δt看作0来处理.
【类题·通】1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).(2)求平均速度 .(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为瞬时速度.2.求 (当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算.(2)求出 的表达式后,Δx无限趋近于0,可令Δx=0,求出结果即可.
【习练·破】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则起跳后1 s的瞬时速度是________. 【解析】起跳后1 s的瞬时速度答案:-3.3 m/s
类型三 求曲线的切线方程角度1 求切线方程【典例】曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( ) A.y=5x-1B.y=-5x+1C.y= x+1D.y=- x-1
【思维·引】关键是求函数在某点处的切线的斜率.【解析】选A.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线的斜率为k= =5,f(1)=4.由点斜式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1.
【类题·通】1.求曲线上某点处切线方程的三个步骤
2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0,y0).(2)求出函数y=f(x)在点x0处的极限k= .(3)利用Q在曲线上和k=kPQ,解出x0,y0及k.(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=k(x-x0).
【习练·破】1.曲线f(x)= 在点(-2,-1)处的切线方程为________. 【解析】点(-2,-1)在曲线f(x)= 上.因为 所以切线方程为y+1=- (x+2),即x+2y+4=0.答案:x+2y+4=0
2.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 =______. 【解析】 =2a=2,解得a=1,把切点(1,3)代入函数y=ax2+b,得3=a+b,所以b=3-a=2,故 =2.答案:2
角度2 求切点坐标【典例】已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标为( ) A.(-2,1)B.(0,-7)C.(2,1)D.(3,11)
【思维·引】求出切点的横坐标,进而求出切点坐标.【解析】选C.设P点坐标为(x0,2 -7),则 所以4x0=8,解得x0=2.所以P的坐标为(2,1).
【内化·悟】已知切线斜率求切点坐标只有一解吗?提示:不是,也可能两解或多解.【类题·通】切点问题的处理方法(1)借斜率先求横坐标:由条件得到直线的倾斜角或斜率,由这些信息求出点的横坐标.(2)与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直线的倾斜角和斜率的关系,两直线平行或垂直与斜率的关系等.
【习练·破】1.曲线y=f(x)=x3在点P处切线的斜率k=3,则点P的坐标为( )A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.(- ,- )
【解析】选B.设点P的坐标为(x0,y0),则k= .因为k=3,所以3 =3,得x0=1或x0=-1,所以y0=1或y0=-1.所以点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
2.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.【解析】设点P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为 =2x0,直线2x-6y+5=0的斜率为 ,由题设知2x0· =-1,解得x0=- ,此时y0= ,所以点P的坐标为( ) .
1.某物体的运动方程为y=x2,在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( ) A.k1>k2B.k1
2.某物体做自由落体运动的位移s(t)= gt2,g=9.8 m/s2,若 =9.8 m/s,则9.8 m/s是该物体( )A.从0 s到1 s这段时间的平均速度B.从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度C.在t=1 s这一时刻的瞬时速度D.在t=Δt s这一时刻的瞬时速度【解析】选C.根据题意, =9.8 m/s,则物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度为9.8 m/s.
3.如图是物体的运动方程的图象,则该物体在区间[0,2]上的平均变化率为________.
【解析】由题图知,f(x)= 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 答案:
【新情境·新思维】如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象,k为曲线在点P处的切线斜率,则f(2)+k=________.
【解析】由题干图可知,点P处切线的斜率为k= =- ,切线方程为y=- (x-4),将x=2代入得f(2)= .则f(2)+k= - = .答案:
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.函数y=f(x)的自变量x从x0变化到x0+Δx的平均变化率
【思考】(1)Δx=x2-x1是正数吗?提示:Δx=x2-x1可能是正数,也可能是负数,但不能为0.(2)函数的平均变化率的几何意义是什么?提示:几何意义为函数y=f 图象上过两点P1 ,P2 的割线的斜率.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f (x) 在x=x0处的导数.(2)记作f′ 或y′ ,即f′ = = .(3)作用:刻画函数在某点处函数值变化的快慢.
【思考】(1)函数y=f 在x=x0处的导数一定存在吗?提示:当Δx→0时,平均变化率 的极限存在,则函数y=f 在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数.(2)函数y=f 在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′ = = 等.
3.导数的几何意义(1)切线的定义如图,在曲线y=f(x)上任取一点P（ x,f（x））,如果当点P（x,f（x））沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0 时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在P0处的切线.
(2)导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f′(x0).
【思考】(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.
(2)曲线的切线与导数有什么关系?提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,例如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导.
4.导函数的概念(1)定义:当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,称它为y=f(x)的导函数(简称导数).(2)记作f′(x)或y′,即f′(x)=y′= .
【思考】f′(x)与f′(x0)相同吗?它们之间有何关系?提示:f′(x)与f′(x0)不相同.f′(x)是函数f(x)的导函数,f′(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f′(x)在x=x0时的函数值.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值.( )(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值.( )
(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.( )(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.( )
提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值.(2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值. (3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.(4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.
2.函数f(x)在x0处可导,则 ( )A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关C.与x0,h均无关D.仅与h有关,而与x0无关【解析】选B.因为f′(x0)= ,所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.
3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等于________. 【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y′|x=2=3.答案:3
类型一 求函数在某点处的导数【典例】求函数y=x+ 在x=1处的导数.【思维·引】先求 ,再求 得结果.【解析】因为Δy=(1+Δx)+ -(1+1)=Δx+ -1,所以 =1- ,所以 = （ 1- ）=0.
【素养·探】在求函数在某点处的导数时,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数定义,通过计算求得.将本例中的函数改为y=3x+2,结果如何?【解析】 = = =3.
【类题·通】求函数y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.
【习练·破】利用导数的定义,求函数y= +2在x=1处的导数.【解析】因为Δy= 所以y′|x=1= = =-2.
【加练·固】已知函数f(x)在x=1处存在导数,则 =( )A.f′(1) B.3f′(1) C. f′(1) D.f′(3)【解析】选C. = = f′(1).
类型二 导数的意义在实际问题中的应用 【典例】一质点做抛物线运动,已知在t s时,质点的运动路程(单位:m)为s(t)=8-3t2.(1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1 s时的瞬时速度,并说明它们的意义.【思维·引】(1)按照平均速度的定义式计算;(2)取平均速度的极限即为瞬时速度.
【解析】(1)因为s(t)=8-3t2,所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,所以质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为: =-6-3Δt.(2)质点在t=1 s时的瞬时速度即s′(1).s′(1)= = (-6-3Δt)=-6.质点在t=1 s时的瞬时速度为-6 m/s,说明在第1 s附近,质点的运动路程每秒大约减少6 m.
【内化·悟】本例中当导数值为正或负时,有什么不同的意义?提示:当导数值为正时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是增加的;当导数值为负时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是减少的.
【类题·通】关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生.可以利用上述实际问题理解导数的实际意义,导数是在某一时刻附近的瞬时变化率,是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小.
【习练·破】柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体,如果开始加热后第x h的沥青温度(单位:℃)为y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f′(0.25),并说明它的实际意义.
【解析】因为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,所以 所以f′(0.25)= =40.它的实际意义表示,在x=0.25 h附近,沥青的温度以40 ℃/h速率上升.
【加练·固】一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出,请问(1)f′(t)是正数还是负数?有什么实际意义?(2)f′(3)=-4的实际意义是什么?
【解析】(1)f′(t)<0,其意义为在t附近温度的瞬时变化率,f′(t)为负数,说明f(t)的值在t附近红茶的温度降低.(2)f′(3)=-4的实际意义是:在3 min附近红茶的温度以4 ℃/min的速率下降.
类型三 导数几何意义的应用【典例】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【思维·引】(1)先由已知求出l1的斜率,再由l1⊥l2,求出l2的斜率,进而求出切点坐标,得出l2的方程.(2)先求出l1与l2的交点坐标,l1,l2与x轴的交点,进而求出直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【解析】(1)y′= =2x+1.所以y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=- ,b=- ,B( ) ,所以直线l2的方程为y=- x- .
(2)解方程组 得 所以直线l1和l2的交点坐标为( ) .l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0), ( ) .所以所求三角形的面积S= × × = .
【素养·探】在导数几何意义的应用问题中,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数的双重性和切点的双重性,列方程,通过计算得到答案.将本例中“l1⊥l2”改为“l1与l2倾斜角互补”结果如何?
【解析】(1)由典例可知直线l1的斜率为3,方程为y=3x-3.因为l1与l2倾斜角互补,所以直线l2的斜率为-3,所以2b+1=-3,b=-2,B(-2,0),所以直线l2的方程为y=-3x-6.(2)解方程组 解得 所以直线l1和l2的交点坐标为( ),l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-2,0),所以所求三角形的面积S= ×3× = .
【类题·通】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.
【习练·破】1.若曲线y=x2上的点P处的切线与直线y=- x+1垂直,则在点P处的切线方程为( )A.2x-y-1=0 B.2x-y-2=0C.x+2y+2=0D.2x-y+1=0
【解析】选A.与直线y=- x+1垂直的直线的斜率为k=2.由y=x2知,y′= = (2x+Δx)=2x.设点P的坐标为(x0,y0),则2x0=2,即x0=1,故y0=1.所以在点P处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
2.求抛物线y=x2上的一点到直线x-y-2=0的最短距离.【解析】根据题意可得,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,由y=x2知,y′= = (2x+Δx)=2x.设切点坐标为(x0, ).根据定义可求导数y′ =2x0=1,所以x0= ,所以切点坐标为( ) .切点到直线x-y-2=0的距离d= .所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 .
1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交【解析】选B.f′(x0)=0,说明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,所以与x轴平行或重合.
2.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A.0>f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)
4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a=________. 【解析】由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,所以4=13+a+3,解得a=0.答案:0
【新情境·新思维】李华在参加一次同学聚会时,用如图所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图象可能是( )
【解析】选B.由于圆口杯是“下细上粗”,则开始饮料高度增加较快,以后饮料高度增加得越来越慢,仅有B符合.
5.2.1 基本初等函数的导数
1.几个常用函数的导数
2.基本初等函数的导数公式
【思考】(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特殊的指数函数,所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况.(2)函数f(x)=lgax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?提示:f(x)=lnx是f(x)=lgax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=lgax的导数的特例.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)(sinx)′=-cs x.( )(2) ( )(3)(lg5x)′= .( )(4)(lnx)′= .( )
提示:(1)×.(sin x)′=cs x.(2)×. ′=(x-1)′=-x-2=- .(3)×.(lg5x)′= .(4)√.
2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于( )A.0 B.2x C.6 D.9【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.
类型一 利用导数公式计算导数【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),则f′(2)=( )A.8 B.12 C.8ln 3 D.02.已知f(x)= ,则f′(1)=( )A.1 B.-1 C.3 D.-3 3.求下列函数的导数.(1)y=x6.(2)y=2x.(3)y=lg3x.(4)y= .
【思维·引】运用基本初等函数的导数公式.【解析】1.选D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数,所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.2.选D.f(x)= =x-3,所以f′(x)=-3x-4,所以f′(1)=-3.
3.(1)y′=(x6)′=6x5.(2)y′=(2x)′=2xln 2.(3)y′=(lg3x)′= .(4)y′= ′=(x-2)′= -2x-3.
【内化·悟】运用导数公式求导需注意什么问题?提示:认真审题,确定函数类型,准确选择公式计算.
【类题·通】运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数,直接套用公式;(2)对于较为复杂,不能直接套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.
【习练·破】1.已知函数f(x)=cs ,则f′(x)=( )A.sin B.-sin C.cs D.0【解析】选D.f(x)=cs =- ,所以f′(x)=0.
2.已知f(x)= ,则f′( )=________. 【解析】因为f(x)= ,所以f′(x)= ,所以f′( )= × = .答案:
【加练·固】若函数f(x)= ,则f′(1)=( )A.0 B.- C.1 D. 【解析】选B.因为f(x)= ,所以f′(x)= ,f′(1)= - .
类型二 导数公式的应用【典例】1.曲线y= 在点( )处的切线方程为( )A.4x-4 y+2 -1=0B.4x-4y+1=0C.4 x-4y+2- =0D.4x+4y-3=0
2.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则点P处的切线方程为________.
【思维·引】1.求函数y= 在x= 处的导数,即为切线的斜率.2.先求函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y= (x>0)上点P处的导数,从而求出点P的坐标.
【解析】1.选B.由于y= ,所以y′= ,于是 =1,所以曲线在点（ ）处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.2.由题意知,y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y= (x>0)的导数为y′=- (x>0),曲线y= (x>0)在点P处的切线斜率k2=- (m>0),由题意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0.答案:x+y-2=0
【内化·悟】应用导数公式求切线方程的关键是什么?提示:确定切点,求函数在切点处的导数,即切线的斜率.
【类题·通】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【习练·破】(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解题指南】求得函数f(x)的导数f′(x),计算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
【加练·固】函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有________条.( ) A.1 B.2 C.多于两个 D.不能确定【解析】选B.因为f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=± .所以可得切点坐标为（ ）和（ ）.所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.
1.下列结论不正确的是( )A.若y=3,则y′=0B.若y= ,则y′=- C.若y=- ,则y′=- D.若y=3x,则y′=3【解析】选B.y′= ′= ′=- =- .
2.若y=ln x,则其图象在x=2处的切线斜率是( )A.1 B.0 C.2 D. 【解析】选D.因为y′= ,所以y′ ,故图象在x=2处的切线斜率为 .
3.若y=sin x,则y′ =( )A. B.- C. D.- 【解析】选A.y′=cs x,y′ =cs = .4.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是________. 【解析】因为曲线y=ln x与x轴的交点为(1,0),所以y′ =1,切线的斜率为1,所求切线方程为y=x-1.答案:y=x-1
5.2.2 导数的四则运算法则5.2.3 简单复合函数的导数
1.导数的四则运算法则
f′(x)±g′(x)
f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)
【思考】函数y=c·f(x)求导,是积的导数吗?结果是什么?提示:函数y=c·f(x)求导,是积的导数,其结果为:y′=[c·f(x)]′=c·f′(x).
2.复合函数及其导数(1)定义:一般地,对于两个函数y=f（u）和u=g（x）,如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f （u）和u=g （x）的复合函数,记作y=f（ g（x））.(2)求导法则:对于复合函数y=f （g （x））,y′x=__________,即y对x的导数等于_____的导数与_____的导数的乘积.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若y=x+ ,则y′=1+ .( )(2)若y=x2cs x,则y′=-2xsin x.( )(3)若y= ,则y′=-cs x.( )(4)若y=3x2-e2x,则y′=6x-2ex.( )
提示:(1)×.由y=x+ ,得y′=1- .(2)×.由y=x2 cs x,得y′=2x cs x-x2 sin x.(3)×.由y= ,得y′= (4)×.根据导数四则运算法则,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.
2.已知函数f(x)= ,f′(m)=- ,则m=( )A.-4B.4C.±2D.-2【解析】选C.f′(x)=- ,所以f′(m)=- =- ,解得m=±2.
3.函数y=x2sin x的导数为( )A.y′=2xsin x+x2cs xB.y′=2xsin x-x2cs xC.y′=x2sin x+2xcs xD.y′=x2sin x-2xcs x【解析】选A.因为y=x2sin x,所以y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cs x.
类型一 利用运算法则求函数的导数 【典例】1.(2020·永州高二检测)已知函数f(x)=ax2+2 020,且f′(1)=4,则a的值为( )A.2 020B.2 015C.2D. 2.求下列函数的导数:(1)y= -ln x.(2)y=(x2+1)(x-1).(3)y= .(4)y= .
【思维·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.2.运用导数的四则运算法则求导.【解析】1.选C.根据题意,函数f(x)=ax2+2 020,则f′(x)=2ax,若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.
2.(1)y′=( -ln x)′=( )′-(ln x)′= .(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)y′= .(4)y′= .
【内化·悟】运用导数四则运算法则求导需要注意哪些问题?提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.(2)准确运用法则求导.
【类题·通】利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.
【习练·破】1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( ) A.-1B.-2C.2D.0【解析】选B.因为f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.
2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)= .若f′(1)= ,则a=________. 【解析】由函数的解析式可得:f′（x） = ,则f′（1）= ,所以 ,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1
【加练·固】1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )A.-e B.-1 C.1 D.e【解析】选B.因为函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+ ,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.
2.若函数f(x)= 在x=x0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值等于( )A.0B.1C. D.不存在【解析】选C.由于f(x)= ,得f(x0)= ,f′(x)= ,所以f′(x0)= .依题意知f(x0)+f′(x0)=0,得 + =0,即 =0,所以2x0-1=0,得x0= .
类型二 复合函数的导数【典例】求下列函数的导数.(1)y=ln (6x+4).(2)y=sin .(3)y=5lg2(2x-1).
【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则进行求导.【解析】(1)设y=ln u,u=6x+4,则y′x=y′u·u′x= ·6= = .(2)设y=sin u,u=3x- ,则y′x=y′u·u′x=cs u·3=3cs（ ）.(3)设y=5lg2u,u=2x-1,则y′=5(lg2u)′·(2x-1)′= .
【类题·通】求复合函数的导数的步骤
提醒:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.
【习练·破】1.(2020·大庆高二检测)已知f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)=( ) A.2cs 2x+2e2xB.cs 2x+e2xC.2sin 2x+2e2xD.sin 2x+e2x【解析】选A.根据题意,f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)=2cs 2x+2e2x.
2.(2020·泉州高二检测)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,则a=( )A. B. C.- D.- 【解析】选A.f′(x)= -a,所以f′(2)= -a=-1,解得a= .
类型三 导数运算法则的综合应用【典例】1.已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a=( ) A. B. C. D. 2.已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.
【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程,也满足切线方程.
【解析】1.选B.函数y=aex+x的导数为y′=aex+1,可得曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线的斜率为y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a= .2.因为f(1)=1,所以a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②又切点(2,-1)在抛物线上,所以4a+2b+c=-1.③把①②③联立得方程组 解得 即a=3,b=-11,c=9.
【内化·悟】运用导数解有关切线问题应特别注意什么?提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】 关于求导法则的综合应用(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
【习练·破】1.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围是________. 【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a< .答案:a<
2.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99的值为________. 【解析】因为当x=1时,y′=n+1,所以y=xn+1在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得x=xn= ,所以an=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=lg 1-lg 100=-2.答案:-2
【加练·固】若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4)【解析】选A.y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+ ≥2 =4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).
1.已知函数f(x)=sin 2x+ln x,则f′(1)的值为( ) A.1-2sin 2B.1+2cs 2C.1+2sin 2D.1-2cs 2【解析】选B.因为f′(x)=2cs 2x+ ,所以f′(1)=2cs 2+1.
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于( )A.-6B.6C.-4D.-5【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcs x-7,所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′ =3 -10=2,即 =4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x3-2x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时,有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)=ln 2-2.答案:ln 2-2
【新情境·新思维】(2020·广州高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*).若f(x)=xsin x,则f5(x)+f7(x)=( )A.-2cs xB.-2sin xC.2cs xD.2sin x
【解析】选B.f(x)=xsin x,则f1(x)=f′(x)=sin x+xcs x,f2(x)=f1′(x)=cs x+cs x-xsin x=2cs x-xsin x,f3(x)=f2′(x)=-2sin x-sin x-xcs x=-3sin x-xcs x,f4(x)=f3′(x)=-3cs x-cs x+xsin x=-4cs x+xsin x,f5(x)=f4′(x)=4sin x+sin x+xcs x=5sin x+xcs x,f6(x)=f5′(x)=5cs x+cs x-xsin x=6cs x-xsin x,f7(x)=f6′(x)=-6sin x-sin x-xcs x=-7sin x-xcs x.则f5(x)+f7(x)=5sin x+xcs x-7sin x-xcs x=-2sin x.
5.3.1 函数的单调性
5.3 导数在研究函数中的应用
1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系在某个区间(a,b)上的函数y=f(x):
【思考】 (1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上单调递增”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递增,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上单调递减”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递减,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上单调递减,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.
(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=c.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f 在某一范围内导数的绝对值为 ,则
【思考】为什么|f′(x)|越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?提示:|f′(x)|越大,说明函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)因为 = <0恒成立,所以函数y= 在(-∞,+∞)上单调递减.( )(2)因为 =1+ >0,所以函数y=x- 在(-∞,+∞)上单调递增.( )(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函数.( )
提示:(1)×.因为函数y= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由 =- <0恒成立,所以函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.(2)×.因为函数y=x- 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由 =1+ >0恒成立,所以函数y=x- 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
(3)×.因为f′(x)=2x+2,所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上单调递减,在x∈(-1,+∞)上单调递增.
2.函数y=x-ln x的单调递减区间为( )A.(-1,1] B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,1]【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),令y′=1- = ≤0,解得x∈(0,1],所以函数的单调递减区间为(0,1].
类型一 导数与函数图象的关系【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )
2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )
3.函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________.
【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递增.【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f′(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.
2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
3.函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,所以f′(x)<0的解集为 ∪(2,3).答案: ∪(2,3)
【内化·悟】 结合图象来研究导数与函数的关系,需注意哪些问题?提示:(1)函数的定义域.(2)导数的符号与函数单调性的关系.
【类题·通】 函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时,首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象,其次再注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
(2)导数与函数图象的关系
【习练·破】 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是( )
【解析】选B.由函数y=f(x)的图象及其导数的意义可知,当x<0时,f′(x)>0,当x=0时,f′(x)=0,当x>0时,f′(x)<0.
【加练·固】 设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
【解析】选C.由y=f′(x)的图象可知,当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0
【思维·引】1.求导,解使f′(x)<0的区间.2.求导,解使f′(x)>0的区间.【解析】1.选C.f′(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.2.选D.f(x)=x-2sin x+1,令f′(x)=1-2cs x>0,可得 π
【类题·通】 求函数y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数.(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
【习练·破】1.(2020·渝中高二检测)函数f(x)=(1-x)ex的单调递减区间是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(0,+∞)【解析】选D.f′(x)=-xex.当x>0时,f′(x)=-xex<0,函数单调递减.即函数的单调递减区间是(0,+∞).
2.函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞)的单调递减区间为________. 【解析】由题意得f′(x)=4x- ,令f′(x)=4x- <0且x∈(0,+∞),则x∈答案:
【加练·固】 判断函数f(x)=ax3-1的单调性.【解析】因为f′(x)=(ax3-1)′=3ax2.①当a>0时,f′(x)≥0,函数在R上单调递增;②当a<0时,f′(x)≤0,函数在R上单调递减;③当a=0时,f′(x)=0,函数在R上不具备单调性.
类型三 利用导数求参数的取值范围角度1 已知函数单调性求参数的取值范围【典例】1.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m的范围是________.
【思维·引】1.f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.2.函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,g′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
【解析】1.选D.f′(x)=k- ,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,所以k≥ ,而y= 在区间(1,+∞)上单调递减,所以k≥1,故实数k的取值范围是[1,+∞).
2.由g′(x)=-3x2+4x+m≤0对x∈R恒成立.即Δ=16+4×3m≤0,解得m≤- .答案:
【素养·探】 已知函数单调性求参数的取值范围时,经常利用核心素养中的逻辑推理,将函数单调性问题转化为恒成立问题.将本例1条件改为:函数f(x)=kx-ln x在区间(0,e)上单调递减,求实数k的取值范围.【解析】函数f(x)=kx-ln x在区间(0,e)上单调递减,即f′(x)=k- ≤0在区间(0,e)上恒成立,所以k≤ .
角度2 求参数范围的综合问题【典例】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.【思维·引】函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,即在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.
【解析】方法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.设函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x= 且开口向上的抛物线,故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),
即t≥5.而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).
方法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.因为f′(x)的图象是开口向下的抛物线,所以当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).
【类题·通】1.利用导数法解决参数范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
【习练·破】1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0
即m≥ 对x∈(0,+∞)恒成立,又当x∈(0,+∞)时, <1,故m≥1.答案:[1,+∞)
1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=sin 2xB.y=xexC.y=x3-xD.y=-x+ln(1+x)【解析】选B.y=xex,则y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.
2.若函数f(x)=-cs x+ax为增函数,则实数a的取值范围为( )A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【解析】选B.由题意可得,f′(x)=sin x+a≥0恒成立,故a≥-sin x恒成立,因为-1≤-sin x≤1,所以a≥1.
3.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,且在区间(0,2)上单调递减,则常数a的值为________. 【解析】f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,当a>0时,解得-
【新情境·新思维】已知定义在区间(-2,2)上的函数y=f(x)的图象如图所示,若函数f′(x)是f(x)的导函数,则不等式 >0的解集为( )A.(-2,1)B.(-2,-1)∪(-1,1)C.(1,2)D.(- ,-1)∪(0, ).
【解析】选B.结合导数与单调性关系可知,-2
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
1.极小值点与极小值若函数f(x)满足:(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a).(2)f′(a)=0.(3)在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做函数y=f(x)的_______.
【思考】(1)函数的极小值点是点吗?提示:函数的极小值点不是点,它是函数极小值对应的自变量的值.(2)函数的极小值唯一吗?提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.
2.极大值点与极大值若函数f(x)满足:(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b).(2)f′(b)=0.(3)在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的_________,f(b)叫做函数y=f(x)的_______.
【思考】 函数的极大值一定大于它的极小值吗?提示:不一定.
3.极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点.(2)极小值、极大值统称为极值.
【思考】 极值点的分布有什么规律吗?提示:有规律.如果函数y=f(x)既有极大值又有极小值,那么①函数y=f(x)在极值点处导数为0;②极大值点与极小值点交替出现,相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点,相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点.
4.求函数y=f(x)极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)为函数的极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)为函数的极小值.
【思考】 若f′(x0)=0,函数y=f(x)在x=x0处一定取得极值吗?提示:不一定.例如f(x)=x3,x=0时,f′(0)=0,但由于在x=0两侧导数同号,因此函数f(x)=x3在x=0处不取得极值.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点.( )(2)函数的极小值一定小于它的极大值.( )(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值.( )(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数.( )
提示:(1)×.导数值为0的点不一定是函数的极值点.(2)×.有的函数的某个极小值大于它的某个极大值.(3)×.有的函数只有一个极大值或极小值;有的函数有一个极大值和一个极小值;有的函数有多个极小值和极大值;也有的函数无极值.(4)√.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反,所以它在(a,b)内不是单调函数.
2.函数y=1+3x-x3有( ) A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3
【解析】选D.y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-1
3.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(1,-6),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为( )A.1B.0C.-5D.5
【解析】选B.设f(x)=x4-2x2+c,又f(x)的图象过点(1,-6),所以c=-5.故f(x)=x4-2x2-5.又当f′(x)=0时,x=0或1或-1,所以当函数f(x)取得极大值-5,即f(x)=-5时,x=0.
类型一 求函数的极值(点)【典例】1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.设函数f(x)=xex,则( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点
【思维·引】1.结合图象判断导数的符号,找出函数的极值点及极值.2.求导,利用极值的定义求解.
【解析】1.选D.由函数的图象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且当x<-2时,f′(x)>0;当-2
2.选D.因为f(x)=xex,所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x).当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1,所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数.同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【内化·悟】 函数的极值点满足的条件是什么?提示:(1)导数为0.(2)两侧导数异号.
【类题·通】 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.
【习练·破】(2020·平顶山高二检测)函数f(x)=-x2-2ln x+5x的极大值是( )A.6-ln 2B.6-ln 4C. +ln 4D.
【解析】选B.函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=-2x- +5= 令f′(x)= =0,则x1= ,x2=2.当x∈ 时,f′(x)<0;当x∈ 时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.所以函数f(x)=-x2-2ln x+5x的极大值为f(2)=6-2ln 2=6-ln 4.
类型二 与参数相关的极值问题【典例】1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是________. 2.函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则m的取值范围是________.
【思维·引】1.求出极小值点,令其在(0,1)内,求b的范围.2.f′(x)≥0恒成立.
【解析】1.f′(x)=3x2-6b.当b≤0时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值.当b>0时,令3x2-6b=0得x=± .由函数f(x)在(0,1)内有极小值,可得0< <1,解得0
【内化·悟】 解决与参数相关的极值问题的范围的关键是什么?提示:根据极值条件列不等式(组).
【类题·通】 已知函数的极值情况求参数时的注意问题(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
【习练·破】1.设a∈R,若函数y=x+aln x在区间 上有极值点,则a的取值范围为 ( )A. B. C. ∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪
【解析】选B.函数y=f(x)=x+aln x在区间 上有极值点⇔y′=0在区间 上有零点.f′(x)=1+ = (x>0).所以f′ ·f′(e)<0,所以 (e+a)<0,解得-e
【加练·固】 已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=________.
【解析】f′(x)=6x2+6(a+2)x+3a.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以f′(x1)=f′(x2)=0,即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,从而x1x2= =2,解得a=4.答案:4
类型三 函数极值的综合问题角度1 已知极值点求参数的值【典例】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值.(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.【思维·引】(1)x=±1是导函数的零点,结合f(1)=-1列方程组,求a,b,c的值.(2)求导,确定极大值点还是极小值点.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,即a+b+c=-1.解得a= ,b=0,c=- .
(2)f(x)= x3- x,所以f′(x)= x2- = (x-1)(x+1);当x<-1或x>1时,f′(x)>0;当-1
【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- .(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- (x>0),则f(1)=1,f′(1)=-1,故y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1- = ,x>0可知:①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
【类题·通】1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值的充要条件三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.
2.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调性与极值(设x1
【习练·破】(2020·平谷高二检测)已知函数f(x)= ,其中a∈R.(1)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求证:f(x)的极大值恒大于0.
【解析】(1)f′(x)= 当a=0时,f′(1)= ,f(1)= ,则f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y= x.
(2)令f′(x)=0,解得x=2或x=-a,①当a=-2时,f′(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)无极值;②当a>-2时,令f′(x)>0,解得-a
③当a<-2时,令f′(x)>0,解得2
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】选A.极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是( )A.在区间(-2,2)上单调递减B.在x=-2处取得极小值C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增D.在x=0处取得极大值
【解析】选B.由图象得:f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(x)在x=-2处取极小值,在x=2处取极大值.
3.函数f(x)= 的极大值为________. 【解析】因为函数f(x)= ,x∈(0,+∞),所以f′(x)=令f′(x)=0得,x=e2,所以当x∈(0,e2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e2,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以当x=e2时,函数f(x)取到极大值,极大值为f(e2)=答案:
【新情境·新思维】 设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是( )
【解析】选D.因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.
第2课时 函数的最大(小)值
1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件如果在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.
【思考】(1)在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,反之成立吗?提示:反之不成立,在闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)有极值一定有最值,但有最值不一定有极值.(2)函数的极值与最值有什么区别?提示:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部取得,函数最值可能在区间端点取得.
2.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
【思考】 函数的最值一定在区间端点处取得吗?提示:不一定,当函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数时,函数最值在区间端点取得,否则,函数最值不一定在区间端点取得.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值.( )(2)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值.( )(3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值.( )
(4)若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值. ( )
提示:(1)×.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值.(2)×.闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值. (3)×.(4)√.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值.
2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.5,15B.5,-4C.5,-16D.5,-15【解析】选D.由y=2x3-3x2-12x+5得y′=6x2-6x-12,令y′=0得x=-1(舍去)或x=2.故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值,而f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值为5,最小值为-15.
3.已知函数f(x)=sin x-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值为-1,则实数a的值是______. 【解析】由f(x)=sin x-2x-a,得f′(x)=cs x-2<0,所以函数f(x)在[0,π]上单调递减,所以f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,故a=1.答案:1
类型一 求函数的最值 【典例】(2020·阳泉高二检测)当x∈[-1,1]时,函数f(x)= 的最大值是________. 【思维·引】求导,求极值,求区间端点的函数值,通过比较求函数的最值.
【解析】由f(x)= 可得,f′(x)= 因为-1≤x≤1,所以2-x>0,当-1≤x<0时,f′(x)= <0,函数单调递减,当0
【内化·悟】 求函数在给定闭区间上的最值需要注意什么问题?提示:特别要注意自变量的取值范围.
【类题·通】 求函数最值的四个步骤第一步,求函数f(x)的定义域.第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0.第三步,列出关于x,f(x),f′(x)的变化表.第四步,求极值、端点值,确定最值.警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
【习练·破】1.(2020·和平高二检测)函数f(x)=eln x-x在(0,2e]上的最大值为( )A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】选D.根据条件可得f′(x)= -1,令f′(x)=0可得x=e,则当0
【加练·固】函数f(x)= ,x∈[-2,2]的最大值是______,最小值是______. 【解析】因为f′(x)= 令f′(x)=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- ,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2 -2
类型二 含参数的最值问题【典例】已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
【思维·引】(1)求导,求单调区间.(2)讨论函数在[1,2]上的单调性,求最值.
【解析】(1)f′(x)= -a(x>0),①当a≤0时,f′(x)= -a>0,即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).②当a>0时,令f′(x)= -a=0,可得x= ,当0
(2)①当 ≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.②当 ≥2,即0
【类题·通】1.含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.
【习练·破】已知函数g(x)=ex-2ax-b,求g(x)在[0,1]上的最小值.【解析】因为g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],ex∈[1,e],所以:(1)若a≤ ,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b.
(2)若
(3)若a≥ ,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b.综上所述,当a≤ 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=1-b;当
【解析】函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),所以f′(x)=4x- = 令f′(x)=0得,x= ,由题意可知: 解得1≤k< ,所以实数k的取值范围是:1≤k< .答案:
【素养·探】在解答与最值相关的问题时,往往对参数的范围进行讨论,需要用到核心素养中的逻辑推理.分情况表示最值或求参数的范围.本例中的函数不变,试求区间 上的最小值.
【解析】函数f(x)=2x2-ln x,x∈(0,+∞),所以f′(x)=4x- = ,令f′(x)=0得,x= .所以当0
角度2 探究问题【典例】(2020·桂林高二检测)已知函数f(x)=x-aln x+b(a≠0,b∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)是否存在正实数a,b,且b≤ ,使得函数f(x)在区间[1,e]的值域为[2,e]?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.【思维·引】(1)先求导,再根据a的不同取值情况讨论;(2)借助函数的单调性,分别表示出值域后求a,b的值.
【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).f′(x)=1- = ,①当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a>0时,令f′(x)>0,则x>a,故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.
(2)①当1
又由g(1)=0,故当1
③当a<0时,由(1)可知f(x)在[1,e]上单调递增,所以 解得a=1,b=1,不合题意,舍去;④当0
【习练·破】1.f(x)=x3+f′(1)x2+1,f(x)在(-2,m)上有最大值,则m的最大值为________. 【解析】因为f(x)=x3+f′(1)x2+1,所以f′(x)=3x2+2f′(1)x,因此f′(1)=3+2f′(1),解得f′(1)=-3,所以f′(x)=3x2-6x,由f′(x)=3x2-6x>0得x>2或x<0;由f′(x)=3x2-6x<0得0
【解析】(1)f′(x)=2x+a- ,因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=2+a-1=0,解得a=-1.(2)g(x)=f(x)-x2=ax-ln x,x∈(0,e],假设存在实数a使函数g(x)的最小值是4.即a≥ ,x∈(0,e],令h(x)= ,x∈(0,e],h′(x)=- ,可得x= 时,函数h(x)取得极大值即最大值.h =e3.所以a≥e3.所以存在实数a=e3,使函数g(x)的最小值是4.
1.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.1+ B.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;当x∈[0,1]时,f′(x)≥0.所以 f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增.又因为f(-1)= +1,f(1)=e-1,
所以f(-1)-f(1)=2+ -e<0,即f(-1)
3.函数y=x+2cs x在 上取最大值时,x的值为( )A.0 B. C. D. 【解析】选B.因为y′=1-2sin x,解y′>0得sin x< ,故0≤x< ,解y′<0得sin x> ,故
【新情境·新思维】若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=______.
【解析】f′(x)=3x2-3,得当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-1
类型一 函数的图象问题【典例】给定函数f =ex-x.(1)判断函数f 的单调性,并求出f 的值域;(2)画出函数f 的大致图象;(3)求出方程f =m 在区间[-1,2]的解的个数.
【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;(3)利用图象的交点个数判断解的个数.
【解析】(1)函数的定义域为R.f′ =ex-1,令f′ =0,解得x=0.f′ ,f 的变化情况如表所示:
所以,f 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.当x=0时,f 的极小值f =1.也是最小值,故函数f 的值域为
(2)由(1)可知,函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f = +1,f =e2-2,f =1,当x→+∞时,f →+∞,f′ →+∞;当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数f 图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f 的大致图象如图所示.
(3)截取函数f 在区间[-1,2]上的图象如图所示.由图象得:当f
【内化·悟】作函数的图象时需要关注哪些方面?提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.
【类题·通】作函数f 图象的步骤(1)求出函数的定义域;(2)求导数f′ 及函数f′ 的零点;(3)用f′ 的零点将f 的定义域划分为若干个区间,列表给出f′ 在各个区间上的正负,并得出f 的单调性与极值;(4)确定f 的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;(5)画出f 的大致图象.
【习练·破】函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是( )
【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex, 当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.
类型二 实际生活中的最值问题 【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.
【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值.【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x =6+ a或x=10(舍去).因为1≤a≤3,所以 ≤6+ a≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.
【类题·通】解决实际优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值.
【习练·破】(2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为( )A. B. C. D.
【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,则由题意有πr2h=V,所以h= .蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr =πr2+ (r>0).令y′=2πr- = =0,得r= .检验得,当r= 时表面积取得最小值,即所用的材料最省.
类型三 利用导数研究函数的问题角度1 恒成立问题【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=ex-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是( )A.k≤1B.k≤2C.k≤eD.k≤ 【思维·引】转化为最值问题.
【解析】选C.依题意,ex-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤ 在(0,+∞)上恒成立,令g(x)= (x>0),则g′(x)=当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.
【素养·探】将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.将本例改为在区间 上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围.
【解析】在区间 上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间 上存在x,使k≤ 成立.令g(x)= (x>0),则g′(x)= 因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,又g =2 ,g = e3,所以g(x)max=g = e3.所以k≤ e3.
角度2 证明问题【典例】已知函数f(x)=aex-bln x在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求证:f(x)>2.【思维·引】(1)利用切点坐标、切线斜率构造方程(组)求值.(2)转化为最值进行证明.
【解析】(1)函数f =aex-bln x的导数为f′ =aex- ,函数f =aex-bln x在点 处的切线斜率为k=ae-b,由切线方程y= x+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.
(2)f =ex-ln x,导数为f′ =ex- ,x>0,易知f′ 为增函数,且f′ >0,f′ <0.所以存在m∈ ,有f′ =0,即em= ,且x>m时,f′ >0,f 递增;0
【类题·通】1.关于恒成立问题注意区分“对于定义域内的任意值”“在定义域内存在值”成立的区别,两种叙述反映了不同的逻辑关系,对应的最值类型不同,要准确判断针对的是最大值还是最小值,确定好最值类型后利用导数求最值解题.
2.关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,如果有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明.函数的证明问题往往都比较复杂,需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明.
【习练·破】1.(2020·秦州高二检测)已知函数f(x)= -mx(e为自然对数的底数),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(-∞,e)C. D.
【解析】选C.由f(x)= -mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m> 在(0,+∞)上有解,令g(x)= ,x>0,则m>g(x)min,g′(x)= ,则当0
2.已知函数f(x)=aln x+bx,g(x)= x2- ,曲线y=f 在点 处的切线方程为x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).
【解析】(1)f′(x)= +b,则a+b= ,f(1)=b=- ,解得a=1,b=- .(2)令h(x)=ln x- x- x2+ ,则h′(x)= 又x>0,则h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.
1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( )A.4 m2B.8 m2C.12 m2D.16 m2【解析】选D.设矩形一边长为x m(0
4.(2020·桂林高一检测)已知函数f(x)=ex(ln x-1),使得f(m)≥-e成立的实数m的取值范围为________. 【解析】f′(x)=ex ,令g(x)=ln x+ -1,则g′(x)= - = ,当0
【新情境·新思维】 随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越多,据有关统计数据显示,从上午6点到9点,车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y=- t3- t2+36t- .则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是________.
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