浙江省武义第一中学2023-2024学年高二上学期10月检测 数学试题（含解析）

这是一份浙江省武义第一中学2023-2024学年高二上学期10月检测 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．B．4C．D．
2．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则
A．B．C．D．
3．已知方程，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则至少与，中一个平行
则下列说法正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②③
5．光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在中，，点满足，且，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
7．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为D．
8．在菱形中，，现将沿折起，形成三棱锥，当时，记二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
9．设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为D．的最大值为6
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）
A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为
C．事件是互斥事件D．事件相互独立
11．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ）
A．直线被圆截得的弦长为B．的最大值
C．的最大值为D．的最大值为
12．如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（ ）
A．存在某个位置使得
B．若，当二面角时，则
C．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则
D．异面直线与所成角小于
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为 .
14．已知实数满足，直线，该直线被圆所截得弦长的取值范围为 .
15．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干如图1，底面处于水平状态将容器放倒如图2，一个侧面处于水平状态，这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为 ．
16．如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．记锐角的内角为，
(1)若，求角的最大值；
(2)当角时，求的取值范围.
18．如图，设是边长为的正三角形，平面，，若，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值. .
19．拔尖创新人才是21世纪社会经济发展的巨大动力，培养拔尖创新人才也成为世界各国教育的主要任务．某市为了解市民对拔尖人才培养理念的关注程度，举办了“拔尖人才素养必备”知识普及竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该市这次竞赛成绩的众数；
(2)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求这两组成绩的总平均数和总方差．
20．已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求取得最小值时点Q的坐标；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
21．已知三棱台中，平面平面，，若
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
22．已知定义在R上的函数，其中a为实数.
(1)当时，解不等式；
(2)若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
(3)对于，若存在实数，满足，求的取值范围.（结果用a表示）
1．C
【分析】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于，再由椭圆的方程求出即可得结果.
【详解】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于，
由得，∴.
故选：C
【点睛】此题考查椭圆的定义，属于基础题.
2．B
【分析】将复数化简为，再求模长即可.
【详解】，则，
.
故选
【点睛】本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.
3．C
【分析】代数式的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离的平方，利用圆的几何性质可求得的最大值，即可得出的最大值.
【详解】方程可化为，
设点，则，其中为坐标原点，如下图所示：
圆的圆心为，半径为，且，
当点为直线与圆的交点，且在线段上时，取得最大值，
即，所以，.
故选：C.
4．C
【分析】根据空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确；
对于②，若，，则或，所以②错误；
对于③，由，得或与相交，故③错误；
对于④，，，则至少与，中一个平行，故④正确．
故选：C．
5．C
【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解.
【详解】点关于轴的对称点为，
则光线从到经过的路程为的长度，
即.
故选：C

6．B
【分析】根据，易得，再两边平方结合基本不等式得到，然后利用三角形的面积公式求解.
【详解】解：设，如图所示：

因为在中，，点满足，且，
所以，
则，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
7．D
【分析】
对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；
对于B，由弦长公式计算即可；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；
对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.
【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，
即公共弦所在直线方程为，故错误；
对于B，设到直线：的距离为，
则有，
则弦长公式得：，故错误；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，
又因为，，
所以直线的方程为，故错误；
对于D，由，解得或，
取，
所以
所以，
所以，故正确.
故选：D.
8．B
【分析】取BD的中点E，连接,CE，做,,连接GF，可得,，由二面角定义可得与的大小，易得，可得答案.
【详解】解：如图，

取BD的中点E，连接,CE，做,,连接GF，
可得菱形中，，当时，此时为正四面体，
EG=GF，当时，EG＞GF，
易得：,,
可得,,由EG＞GF，
可得＜，由对称性可得，可得，故选B.
【点睛】本题主要考查二面角的定义与性质，相对简单，由已知得出二面角的表达式时解题的关键.
9．ACD
【分析】对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；
对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；
对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；
对于D：当共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断.
【详解】解：对于A：由整理得，当，即时，不论为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；
对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得，故B不正确；
对于C：设直线l过的定点，当时，最小，
而，所以，所以在中，，故C正确；
对于D：，而表示在方向 上的投影，所以当共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为6，故D正确，
故选：ACD.
10．ABC
【分析】
A选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到；B选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到中共有情况数，得到；C选项，计算出，得到C正确；D选项，，D错误.
【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种情况，
其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：，共3种情况，
故，A正确；
B选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：，共7种情况，
故中共有种情况，故，B正确；
C选项，由于事件中无相同情况，故，所以件是互斥事件，C正确；
D选项，因为，事件不互相独立，D错误.
故选：ABC
11．AB
【分析】
根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解.
【详解】
A：实数，满足方程，
所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
于是弦长，故A错误；
B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，故B错误．
C：令，则直线与圆有公共点，所以，，
解得，所以的最大值为．故C正确；
D：令，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的最大值为．故D正确.
故选：AB.
12．BC
【分析】A由题设，确定在平面上的投影位置即可判断正误；B构建空间直角坐标系，应用空间点距离的坐标计算求；C讨论在面的射影在中点上、刚好在上的临界情况，结合，在翻折过程中的变化趋势判断；D根据A、C的分析异面直线与所成角变化的大致范围即可判断.
【详解】A：如下平面图，若与关于对称，则翻折的过程中，在平面上的投影在线段上，显然不存在垂直于的射影，即不存在，错误；
B：构建如下图示的空间直角坐标系，则，，故，正确；

C：由A知：当面面时，在面的射影在中点上，此时，、，则；当在面的射影刚好在上，有，即；而在的射影从中点到刚好在上的过程中，都在减小，故在面的射影在三角形的内部（不含边界），则，正确；
D：由A知：异面直线与所成角最大为共面(翻折前)时，此时夹角为，则，即；由C知：在面的射影刚好在上时，故在翻折过程中与所成角不一定小于，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：注意确定在平面上的投影位置，结合空间点距离的坐标公式、线线角、线面角的概念判断各选项的正误.
13．2
【分析】先求底面圆的半径，判断出母线夹角的范围，利用截面三角形面积公式求最值即可．
【详解】底面圆的周长为，所以半径为，两母线夹角最大为，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为时，截面面积最大为2
【点睛】本题是易错题，先求出面积的函数表达式进而判断最大值，学生容易误认为垂直截面为面积的最大值．
14．
【分析】
求出直线所过定点，再根据弦长公式得到弦长最大和最小的情况即可.
【详解】将代入直线可得，
则,即直线过定点;
因，故最短弦长是过点且垂直的弦长，
即弦长，最长弦是该圆的直径，即最长弦长为6，
故该直线被圆所截得弦长的取值范围为，
故答案为；.
15．6
【分析】设正三棱柱的底面边长为，在图1中，设水面的高度为，根据图1和图2中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设正三棱柱的底面边长为，则，
在图1中，设水面的高度为，则水的体积为，
在图2中，几何体为直四棱柱，
因为为等边三角形，分别为棱的中点，所以，
则水的体积为，解得.
故答案为：6.
16．
【分析】
建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到，最后根据正弦函数的性质即可得到答案.
【详解】以O为原点, 以为 轴, 以的中垂线为 轴建立平面直角坐标系 ,
则圆 的半径为 ,
,,,
设 ,,
则 ,
,
,
当 时, 取得最小值，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求的范围，再由余弦函数的性质求角的最大值；
（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
又，所以，
所以角的最大值为；
（2）因为，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以,
所以，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为.
18．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）取中点，连结，，可证得四边形是平行四边形，证明，，同时，可证得结论；（2）连结，可知即为所求角，通过长度关系得到所求正弦值.
【详解】（1）证明：取中点，连结，
是边长为的正三角形，是的中点
，
又 且
四边形是平行四边形
平面
又
，，
平面
（2）解：连结
平面 是与平面所成角
是边长为的正三角形，平面
，
与平面所成角的正弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的证明、直线与平面所成角问题.求解线面角的关键在于能够利用垂直关系将所成角放到直角三角形中，从而能够通过长度关系求得结果.
19．(1)0.03；众数为75分
(2)71，81
【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；
（2）由分层抽样的平均数和方差公式计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，
该市这次竞赛成绩的众数为75分.
（2）落在与的人数比为．
所以，
.
20．（1）；（2）；（3）平行，理由见解析.
【分析】（1）利用对称性，求出圆心坐标，即可求出圆的方程；
（2）用坐标表示两个向量的数量积，化简后再利用三角函数知识即可求出向量的最小值，进而求得点Q的坐标；
（3）设出直线和的方程，将它们分别与圆的方程联立，得到点和点的坐标，得到，再与进行对比，即可得出结论.
【详解】（1）设圆心，由题意得
，解得
则圆的方程为，将点代入方程得：
圆的方程为
（2）设，则
令，
当时，，即取得最小值
，
（3）由题意，直线和的斜率存在且互为相反数
故可设：，：
由得
点的横坐标一定是该方程的解
，同理
直线和一定平行.
【点睛】方法点睛：
1.求一点关于直线的对称点
（1）点与对称点连线的中点在直线上；
（2）点与点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于.
2.当两条直线过同一定点，且斜率之间有等量关系时，只需要联立其中一条直线和圆锥曲线进行求解即可，不需要多次联立.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，可得平面，从而可证明平面,使得问题得证.；
（2）作出线面角，再利用余弦定理即可求出线面角的正弦值.
【详解】（1）如图1，过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为，，且平面，
所以平面，因为平面，
所以.
（2）如图2延长，过点作于点，连接，
由（1）可知平面，因为平面，
所以，又，且，平面，
所以平面，则为与平面所成角，
在中，，所以，
因为四边形为梯形，所以，所以，
在中，，
又平面，平面，所以，
则，
所以.
即与平面所成角的正弦值为.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入解不等式即可；
（2）令，再对a分类讨论；
（3）用求根公式将转化为和m，再根据m的取值范围讨论.
【详解】（1），
当时，，无解；
当时，，即，满足题设；
所以的解集为；
（2）令，则有，，
如果，则有，当时都能成立，不满足题意；
当时，，又，a的取值范围是；
（3）对于，令有2个不同的实数解，并且，
当时，，当时，，函数的大致图像如下：
当并且时，有，即，
令，则，并且， ，
令，则 ，
，显然是关于t的增函数，即， ，
是关于t的增函数，，并且，即；
当 时，，同理令，，，
，y是关于t的增函数，
；
所以的取值范围是；
综上，（1）的解集为，（2）a的取值范围是，（3）的取值范围是.
【点睛】本题计算量比较大，容易出错，第三问的关键是根据参数m的范围确定t的范围，运用换元法解决问题.