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浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量检测数学试题（含解析）
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这是一份浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量检测数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线l的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线l在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.
【详解】由条件可知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2. 若 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个非零向量； SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为空间的一个基底，则p是q的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个共面非零向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能作为空间的一个基底；
但若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为空间的一个基底，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共面，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知三条直线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 三条直线的斜率之和为4.5
C. 三条直线的倾斜角之和为135°D. 三条直线在y轴上的截距之和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别将三直线转化成点斜式，结合概念判断即可.
【详解】设三条直线 SKIPIF 1 < 0 对应斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即三条直线的倾斜角之和为135°，故选项C正确；
三条直线在y轴上的截距之和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误.
故选：C
4. 焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，并且截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的中点的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 的椭圆的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，及交点 SKIPIF 1 < 0 ，将两点代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据弦中点坐标关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合直线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，再由椭圆的焦距求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得椭圆标准方程.
【详解】解：设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交的两点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，可得： SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得： SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5. 平面直角坐标系中，关于曲线 SKIPIF 1 < 0 对应的图像下列选项错误的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C围成面积 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C围成的面积 SKIPIF 1 < 0
C 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C关于原点对称
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C有2条渐近线
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性，和极限思想解决.
【详解】对于A项，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 介于 SKIPIF 1 < 0 的区域里面，所以面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以A项正确；
对于B项，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根据幂函数图像的性质得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点表示在 SKIPIF 1 < 0 内部，设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点,即 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 分别代入曲线 SKIPIF 1 < 0 都成立，说明曲线 SKIPIF 1 < 0 即关于原点对称也关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，当 SKIPIF 1 < 0 时满足 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点表示在直线 SKIPIF 1 < 0 的右上方，如图
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点落在正方形 SKIPIF 1 < 0 外，圆 SKIPIF 1 < 0 内，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 表示的面积 SKIPIF 1 < 0 .
对于C项， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点 SKIPIF 1 < 0 代入曲线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 则说明曲线 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称；
对于D项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，同理 SKIPIF 1 < 0 也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 至少有四条渐近线，故D不正确.
故选：D.
6. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 最大时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交圆于 SKIPIF 1 < 0 ，由
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 点即为所求点，利用几何关系求 SKIPIF 1 < 0 点坐标即可.
【详解】如图所示过 SKIPIF 1 < 0 作圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交圆于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点 SKIPIF 1 < 0 即为所求点，
因为 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由切割线定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 点横坐标为3，代入直线方程得 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，它们的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为它们的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，焦距 SKIPIF 1 < 0 ．结合椭圆与双曲线的定义,得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中,根据余弦定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的关系式，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，焦距 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为第一象限交点．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图：
在 SKIPIF 1 < 0 中,根据余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 趋于1时， SKIPIF 1 < 0 趋于2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 设不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A. 5B. SKIPIF 1 < 0 C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，整理 SKIPIF 1 < 0 可得该方程表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，故原不等式与不等式组 SKIPIF 1 < 0 同解，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系即可得到答案
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 .
先解 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，移项可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，两边平方整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上.
则不等式 SKIPIF 1 < 0 表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上及其内部.
则不等式 SKIPIF 1 < 0 与不等式组 SKIPIF 1 < 0 同解，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的两个解为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的有( )
A. 若曲线 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不等于0B. 若曲线 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，则焦距是定值
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则短轴长为2D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 表示椭圆,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 表示双曲线,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,焦距不是定值, 故 SKIPIF 1 < 0 错误;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为椭圆,短轴长 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为双曲线,渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 错误;
故选: SKIPIF 1 < 0 .
10. 设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为左顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为上顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 过原点且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点( SKIPIF 1 < 0 在第一象限)，则以下命题正确的有( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 时，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积是定值
D. 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；对于C选项，按照选项内容建立起直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从而根据表达式得出面积最大时， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的位置关系.
【详解】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
∴设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 经过原点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
如图所示：
设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
又： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点在第一象限，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又： SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即有： SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 有关，不是定值，故C错误；
如图所示：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
关于这类以椭圆为基础的综合性问题，要注意以下几个点：
(1)根据题意和题设条件得到较为标准的草图，这可以帮助我们更好的发现一些细节；
(2)辨析椭圆中包含的原点弦，焦点弦，过焦点三角形，过顶点三角形，线段的垂直、平行，特殊角，特别注意三角相关知识点的应用；
(3)利用椭圆的性质，特别是椭圆的对称性，可以引出点的对称，直线的对称，一些几何图形的对称；
(4)椭圆中解题的关键是建立正确的关系.这个关系有联立方程组得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的二次式，进而得到根与系数的关系，也有几何关系、不等关系、甚至运动关系，数形结合、转化是主要思维方法；
(5)解析几何对计算要求较高，应特别注意多项运算，负号运算.
11. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体 SKIPIF 1 < 0 的侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点(含边界)，P是棱上 SKIPIF 1 < 0 靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 SKIPIF 1 < 0
B. 保持 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，M的运动轨迹是线段
C. 若保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径长度为 SKIPIF 1 < 0
D. 当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取到最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面分析可判断A，利用空间直角坐标系得到轨迹方程为直线方程可判断B，利用向量坐标表示表示模长可得轨迹为圆即可判断C，利用点到直线的距离公式可判断D.
【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此A到点P的最短路程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，建系如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点(含边界)，
所以M的运动轨迹是线段,
为 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点和 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 三等分点的的连线段.
故B正确；
对于C，由B选项过程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
而点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在侧面 SKIPIF 1 < 0 外，
所以点M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高最大，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值，
所以当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，故D正确.
故选:BD.
12. 设双曲线 SKIPIF 1 < 0 左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设右支上一点P与 SKIPIF 1 < 0 所连接的线段为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，以实轴为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有( )
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终外切B. 若 SKIPIF 1 < 0 与渐近线垂直，则 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
C. SKIPIF 1 < 0 的角平分线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切D. 三角形 SKIPIF 1 < 0 的内心和外心最短距离为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用圆心距与半径的关系判断两圆是否外切，圆心到直线距离与半径的关系判断直线是否与圆相切，判断三角形内心和外心的位置特征，计算内心和外心最短距离.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
P与 SKIPIF 1 < 0 所连接的线段为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
实轴为直径的圆，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终外切，A选项正确；
双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与渐近线垂直，则 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 为距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，B选项正确；
SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 的角平分线过P点，不可能与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，即 SKIPIF 1 < 0 的角平分线与圆 SKIPIF 1 < 0 不可能相切，C选项错误；
三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的切点分别为A，B，C，其中C在x轴上，内心为N，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，内心N的横坐标为2，
三角形 SKIPIF 1 < 0 的外心是三边垂直平分线的交点，所以外心M一定在y轴上，外心M的横坐标为0，
在P点移动的过程中，当点M与点N纵坐标相同时，两点间距离最短为2，即三角形 SKIPIF 1 < 0 的内心和外心最短距离为2，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线 SKIPIF 1 < 0 将单位圆 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧,则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线将单位圆分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，
所以两段弧长所对圆心角之比为 SKIPIF 1 < 0 ，故劣弧所对圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，画图如下:
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
即圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据点到直线的距离公式有: SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度分别为1，2，3，且 SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征，将向量 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 ，再根据其长度和夹角用空间向量计算 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】根据题意画出几何体如下图所示，
则 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度分别为1，2，3，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而得解.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由点线距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上有点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为1的直线l与椭圆交于不同的A，B两点(且不同于P)，若三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆恰过点P，则外接圆的圆心坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
法一：先利用点斜式求得 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，再由半径相等得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解之即可；
法二：根据题意得到圆的方程，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与圆的方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，又由点 SKIPIF 1 < 0 在圆上得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解之即可.
【详解】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
.
法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中垂线方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 过P点，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 .
法二：因为圆过原点 SKIPIF 1 < 0 ，所以设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 点在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 过P点，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
又因为外接圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 学军中学11月在杭州乐园举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C(C，O两点分别在AB的异侧)，若记木马一开始的位置为点A，与C的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B，与C的直线距离为8米．
(1)求弦长 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求旋转中心O到C点的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)先求出木马旋转的角度，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得弦长 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，先根据余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，又在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0
由木马旋转的角度为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
故旋转中心O到C点距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，△ SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 .由平面几何及解三角形知识可证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可得证.
(2)方法一：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则垂足 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，由解三角形的知识可求得平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
方法二：过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系.运用线面角的空间向量求解方法可求得答案.
【详解】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由平面几何及解三角形知识得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此△ SKIPIF 1 < 0 为正三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，又因为△ SKIPIF 1 < 0 也是正三角形，因此 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)方法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角即 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，记作 SKIPIF 1 < 0 .
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则垂足 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，在正△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在△ SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .故过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故可如图建立空间直角坐标系.又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得各点坐标： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛：线面角的二种求法：
1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.
2. 向量法：直线a的方向向量和平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .直线a的方向向量和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角θ满足: SKIPIF 1 < 0
19. 已知圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，若设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【详解】试题分析：(1)设圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，利用点C到直线5x+12y+21=0的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求出a，即可求圆C的标准方程；(2)利用△MNG的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，得出| SKIPIF 1 < 0 |=1，设A SKIPIF 1 < 0 ，B SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程与圆的方程联立，即可得出结论
试题解析：(1)由题意知圆心 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是可设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
故圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 不存在，
故可设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 中，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知焦点在x轴上的椭圆C过定点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，
(1)求椭圆C方程.
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由离心率及椭圆过点P得方程组求出参数即可；
(2)讨论直线斜率存在与否，其中斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，结合判别式、韦达定理、弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 的函数式及其范围.
【小问1详解】
离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在x轴上的椭圆可设为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设M点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，N点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由书达定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得M，N点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
21. 如图，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 拼接而成，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折起，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，求此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)运用向量数量积的方法即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积构造函数，求该函数的最小值即可.
【小问1详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，过O作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
在 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折起的过程中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 平面角
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，上式 SKIPIF 1 < 0 ，
当令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取到最小值， SKIPIF 1 < 0 取到最大值，
故当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，(1)异面直线AB与CD所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，(2)当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】对于第一问，用向量的方法很巧妙，直接法难以计算；对于第二问，难度较大，
建立直角坐标系的思路很巧妙，将二面角的问题转化为平面角的问题，才便于用空间向量构造函数，求最小值.
22. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的 SKIPIF 1 < 0 倍，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)是定值， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设点，由题意由点到直线的距离得出等量关系，化简即可求得.
(2)联立直线方程与曲线方程，根据题意由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 及点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，求出定圆与定直线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 ，再求出两点之间的距离即可.
【详解】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
(2)存在.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立直线与双曲线方程，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由韦达定理，有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
法一：注意到上式当 SKIPIF 1 < 0 时，上式恒成立，即过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故 SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为 SKIPIF 1 < 0
法二：联立直线与双曲线方程，有 SKIPIF 1 < 0 ……(1)
(1)式两边平方，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ……(2)
注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是此方程的两个增根，故含有因式 SKIPIF 1 < 0 ，记为 SKIPIF 1 < 0 代入(2)，有 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，代回(1)有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
经检验直线 SKIPIF 1 < 0 不过这两点，故上述两点为P，Q， SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为 SKIPIF 1 < 0
1. 已知直线l的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线l在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.
【详解】由条件可知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2. 若 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个非零向量； SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为空间的一个基底，则p是q的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个共面非零向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能作为空间的一个基底；
但若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为空间的一个基底，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共面，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知三条直线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 三条直线的斜率之和为4.5
C. 三条直线的倾斜角之和为135°D. 三条直线在y轴上的截距之和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别将三直线转化成点斜式，结合概念判断即可.
【详解】设三条直线 SKIPIF 1 < 0 对应斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即三条直线的倾斜角之和为135°，故选项C正确；
三条直线在y轴上的截距之和为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误.
故选：C
4. 焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，并且截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的中点的横坐标是 SKIPIF 1 < 0 的椭圆的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，及交点 SKIPIF 1 < 0 ，将两点代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据弦中点坐标关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合直线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，再由椭圆的焦距求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得椭圆标准方程.
【详解】解：设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交的两点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，可得： SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得： SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5. 平面直角坐标系中，关于曲线 SKIPIF 1 < 0 对应的图像下列选项错误的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C围成面积 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C围成的面积 SKIPIF 1 < 0
C 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C关于原点对称
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C有2条渐近线
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性，和极限思想解决.
【详解】对于A项，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 介于 SKIPIF 1 < 0 的区域里面，所以面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以A项正确；
对于B项，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根据幂函数图像的性质得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点表示在 SKIPIF 1 < 0 内部，设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点,即 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴对称的点 SKIPIF 1 < 0 分别代入曲线 SKIPIF 1 < 0 都成立，说明曲线 SKIPIF 1 < 0 即关于原点对称也关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，当 SKIPIF 1 < 0 时满足 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点表示在直线 SKIPIF 1 < 0 的右上方，如图
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点落在正方形 SKIPIF 1 < 0 外，圆 SKIPIF 1 < 0 内，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 表示的面积 SKIPIF 1 < 0 .
对于C项， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点 SKIPIF 1 < 0 代入曲线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 则说明曲线 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称；
对于D项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，同理 SKIPIF 1 < 0 也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 至少有四条渐近线，故D不正确.
故选：D.
6. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，当 SKIPIF 1 < 0 最大时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交圆于 SKIPIF 1 < 0 ，由
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 点即为所求点，利用几何关系求 SKIPIF 1 < 0 点坐标即可.
【详解】如图所示过 SKIPIF 1 < 0 作圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交圆于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点 SKIPIF 1 < 0 即为所求点，
因为 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由切割线定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 点横坐标为3，代入直线方程得 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，它们的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为它们的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，焦距 SKIPIF 1 < 0 ．结合椭圆与双曲线的定义,得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中,根据余弦定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的关系式，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的实半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，焦距 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为第一象限交点．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图：
在 SKIPIF 1 < 0 中,根据余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 趋于1时， SKIPIF 1 < 0 趋于2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 设不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A. 5B. SKIPIF 1 < 0 C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，整理 SKIPIF 1 < 0 可得该方程表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，故原不等式与不等式组 SKIPIF 1 < 0 同解，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系即可得到答案
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 .
先解 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，移项可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，两边平方整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上.
则不等式 SKIPIF 1 < 0 表示的点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上及其内部.
则不等式 SKIPIF 1 < 0 与不等式组 SKIPIF 1 < 0 同解，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的两个解为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据韦达定理有 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的有( )
A. 若曲线 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不等于0B. 若曲线 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，则焦距是定值
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则短轴长为2D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 表示椭圆,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 表示双曲线,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,焦距不是定值, 故 SKIPIF 1 < 0 错误;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为椭圆,短轴长 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确;
对于 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为双曲线,渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 错误;
故选: SKIPIF 1 < 0 .
10. 设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为左顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为上顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 过原点且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点( SKIPIF 1 < 0 在第一象限)，则以下命题正确的有( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 时，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积是定值
D. 当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；对于C选项，按照选项内容建立起直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从而根据表达式得出面积最大时， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的位置关系.
【详解】设椭圆的长半轴长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过原点，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
∴设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 经过原点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
如图所示：
设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由对称性可知：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
又： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点在第一象限，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又： SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即有： SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 有关，不是定值，故C错误；
如图所示：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
关于这类以椭圆为基础的综合性问题，要注意以下几个点：
(1)根据题意和题设条件得到较为标准的草图，这可以帮助我们更好的发现一些细节；
(2)辨析椭圆中包含的原点弦，焦点弦，过焦点三角形，过顶点三角形，线段的垂直、平行，特殊角，特别注意三角相关知识点的应用；
(3)利用椭圆的性质，特别是椭圆的对称性，可以引出点的对称，直线的对称，一些几何图形的对称；
(4)椭圆中解题的关键是建立正确的关系.这个关系有联立方程组得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的二次式，进而得到根与系数的关系，也有几何关系、不等关系、甚至运动关系，数形结合、转化是主要思维方法；
(5)解析几何对计算要求较高，应特别注意多项运算，负号运算.
11. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体 SKIPIF 1 < 0 的侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点(含边界)，P是棱上 SKIPIF 1 < 0 靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 SKIPIF 1 < 0
B. 保持 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，M的运动轨迹是线段
C. 若保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径长度为 SKIPIF 1 < 0
D. 当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取到最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面分析可判断A，利用空间直角坐标系得到轨迹方程为直线方程可判断B，利用向量坐标表示表示模长可得轨迹为圆即可判断C，利用点到直线的距离公式可判断D.
【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此A到点P的最短路程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，建系如图，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点(含边界)，
所以M的运动轨迹是线段,
为 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 的三等分点和 SKIPIF 1 < 0 靠近点 SKIPIF 1 < 0 三等分点的的连线段.
故B正确；
对于C，由B选项过程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
而点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在侧面 SKIPIF 1 < 0 外，
所以点M在侧面 SKIPIF 1 < 0 内运动路径长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高最大，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值，
所以当M在D点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，故D正确.
故选:BD.
12. 设双曲线 SKIPIF 1 < 0 左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设右支上一点P与 SKIPIF 1 < 0 所连接的线段为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，以实轴为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有( )
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终外切B. 若 SKIPIF 1 < 0 与渐近线垂直，则 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
C. SKIPIF 1 < 0 的角平分线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切D. 三角形 SKIPIF 1 < 0 的内心和外心最短距离为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用圆心距与半径的关系判断两圆是否外切，圆心到直线距离与半径的关系判断直线是否与圆相切，判断三角形内心和外心的位置特征，计算内心和外心最短距离.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
P与 SKIPIF 1 < 0 所连接的线段为直径的圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
实轴为直径的圆，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 始终外切，A选项正确；
双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与渐近线垂直，则 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 为距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，B选项正确；
SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 的角平分线过P点，不可能与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，即 SKIPIF 1 < 0 的角平分线与圆 SKIPIF 1 < 0 不可能相切，C选项错误；
三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的切点分别为A，B，C，其中C在x轴上，内心为N，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，内心N的横坐标为2，
三角形 SKIPIF 1 < 0 的外心是三边垂直平分线的交点，所以外心M一定在y轴上，外心M的横坐标为0，
在P点移动的过程中，当点M与点N纵坐标相同时，两点间距离最短为2，即三角形 SKIPIF 1 < 0 的内心和外心最短距离为2，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线 SKIPIF 1 < 0 将单位圆 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧,则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线将单位圆分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，
所以两段弧长所对圆心角之比为 SKIPIF 1 < 0 ，故劣弧所对圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，画图如下:
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
即圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据点到直线的距离公式有: SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度分别为1，2，3，且 SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征，将向量 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 ，再根据其长度和夹角用空间向量计算 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】根据题意画出几何体如下图所示，
则 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度分别为1，2，3，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而得解.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由点线距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上有点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为1的直线l与椭圆交于不同的A，B两点(且不同于P)，若三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆恰过点P，则外接圆的圆心坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
法一：先利用点斜式求得 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，再由半径相等得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解之即可；
法二：根据题意得到圆的方程，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与圆的方程，利用韦达定理求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，又由点 SKIPIF 1 < 0 在圆上得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解之即可.
【详解】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
.
法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中垂线方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 过P点，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以此时圆心坐标 SKIPIF 1 < 0 .
法二：因为圆过原点 SKIPIF 1 < 0 ，所以设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 点在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 过P点，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，
又因为外接圆的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17. 学军中学11月在杭州乐园举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C(C，O两点分别在AB的异侧)，若记木马一开始的位置为点A，与C的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B，与C的直线距离为8米．
(1)求弦长 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求旋转中心O到C点的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)先求出木马旋转的角度，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得弦长 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，先根据余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，又在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0
由木马旋转的角度为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
故旋转中心O到C点距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，△ SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 .由平面几何及解三角形知识可证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可得证.
(2)方法一：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则垂足 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，由解三角形的知识可求得平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
方法二：过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系.运用线面角的空间向量求解方法可求得答案.
【详解】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由平面几何及解三角形知识得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此△ SKIPIF 1 < 0 为正三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，又因为△ SKIPIF 1 < 0 也是正三角形，因此 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)方法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角即 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，记作 SKIPIF 1 < 0 .
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则垂足 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，在正△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在△ SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .故过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故可如图建立空间直角坐标系.又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可求得各点坐标： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛：线面角的二种求法：
1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.
2. 向量法：直线a的方向向量和平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .直线a的方向向量和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角θ满足: SKIPIF 1 < 0
19. 已知圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，若设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【详解】试题分析：(1)设圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，利用点C到直线5x+12y+21=0的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求出a，即可求圆C的标准方程；(2)利用△MNG的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，得出| SKIPIF 1 < 0 |=1，设A SKIPIF 1 < 0 ，B SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程与圆的方程联立，即可得出结论
试题解析：(1)由题意知圆心 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是可设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
故圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 不存在，
故可设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，代入圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 中，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知焦点在x轴上的椭圆C过定点 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，
(1)求椭圆C方程.
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由离心率及椭圆过点P得方程组求出参数即可；
(2)讨论直线斜率存在与否，其中斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程，结合判别式、韦达定理、弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 的函数式及其范围.
【小问1详解】
离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在x轴上的椭圆可设为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设M点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，N点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由书达定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得M，N点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
21. 如图，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 拼接而成，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折起，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，求此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)运用向量数量积的方法即可求解；
(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积构造函数，求该函数的最小值即可.
【小问1详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，过O作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
在 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折起的过程中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 平面角
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，上式 SKIPIF 1 < 0 ，
当令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取到最小值， SKIPIF 1 < 0 取到最大值，
故当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，(1)异面直线AB与CD所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，(2)当二面角 SKIPIF 1 < 0 最大时，此时二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】对于第一问，用向量的方法很巧妙，直接法难以计算；对于第二问，难度较大，
建立直角坐标系的思路很巧妙，将二面角的问题转化为平面角的问题，才便于用空间向量构造函数，求最小值.
22. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的 SKIPIF 1 < 0 倍，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)是定值， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设点，由题意由点到直线的距离得出等量关系，化简即可求得.
(2)联立直线方程与曲线方程，根据题意由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 及点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，求出定圆与定直线的交点即为 SKIPIF 1 < 0 ，再求出两点之间的距离即可.
【详解】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
(2)存在.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立直线与双曲线方程，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由韦达定理，有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
法一：注意到上式当 SKIPIF 1 < 0 时，上式恒成立，即过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故 SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为 SKIPIF 1 < 0
法二：联立直线与双曲线方程，有 SKIPIF 1 < 0 ……(1)
(1)式两边平方，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ……(2)
注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是此方程的两个增根，故含有因式 SKIPIF 1 < 0 ，记为 SKIPIF 1 < 0 代入(2)，有 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，代回(1)有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
经检验直线 SKIPIF 1 < 0 不过这两点，故上述两点为P，Q， SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为 SKIPIF 1 < 0
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