2023-2024学年贵州省铜仁第一中学高二上学期8月摸底衔接质量检测（一）数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省铜仁第一中学高二上学期8月摸底衔接质量检测（一）数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=xx2−5x−6≤0，函数y=ln(4−x)的定义域为B ，则A∩B=( )
A. [2,4)B. [−1,4)C. −1,4D. −6,4
2.已知向量a=sinα,−3,b=1,csα，若a⊥b，则tanα+π4=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
3.设a=30.1，b=lg5−lg2，c=lg3910，则a，b，c的大小关系是
( )
A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c
4.下列结论中正确是( )
A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行
C. 若平面α//平面β，直线a⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与a平行
D. 若直线l⊥平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个
5.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为( )
A. 1132B. 3196C. 516D. 1748
6.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=π2，AB=AC=AP=2，则三棱锥外接球的表面积为
( )
A. 4πB. 12πC. 403πD. 16π
7.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1A1C1D1中，点P是CC1的中点，动点Q在平面DCC1D1内(包括边界)，若AQ//平面A1BP，则AQ的最小值是
( )
A. 2B. 2 2C. 2 5D. 3 2
8.若函数fx=cs2x+sin2x+π6在(0,α)上恰有2个零点，则α的取值范围为
( )
A. 5π6,4π3B. 5π6,4π3C. 5π3,8π3D. 5π3,8π3
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是
( )
A. z⋅z=z2=z2
B. 若复数z=a+bi a,b∈R，则z为纯虚数的充要条件是a=0
C. z=2+3i是关于x的方程x2−4x+13=0的一个根
D. 若z≤1，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为2π
10.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长(单位：h)的数据如下表：
以下判断中正确的是
( )
A. 该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为8.2
B. 该班男生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是8.4
C. 该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D. 该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于8h的概率为0.4
11.设ω为正实数，a为实数，已知函数fx=4sinωx+φ+a，则下列结论正确的是
( )
A. 若函数fx的最大值为2，则a=−2
B. 若对于任意的x∈R，都有fx+π=fx成立，则ω=2
C. 当φ=π3时，若fx在区间−π6,π2上单调递增，则ω的取值范围是0,13
D. 当a=−2 2时，若对于任意的φ∈R，函数fx在区间0,π2上至少有两个零点，则ω的取值范围是4,+∞
12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，P,M分别是棱BC,A1B1的中点，连接BM,CM,C1M,R是线段BM的中点，Q是线段AB上靠近点B的四等分点，则下列说法正确的是
( )
A. 平面RPQ//平面C1CM
B. 三棱锥B−RPQ的体积与正三棱柱ABC−A1B1C1的体积之比为1:48
C. 直线AC与平面RPQ所成的角为30∘
D. 若AB=2AA1=4，则过A,P,R三点作平面α，截正三棱柱ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为 393
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则m−n= ．
14.已知函数fx=a−2x−3,x≤1lgax,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
15.如图，在▵ABC中，BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=mAM，AC=nAN，m>0,n>0，则1m+1n的最小值为 ．
16.钝角▵ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，c=2，B=π3，则▵ABC面积的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x+1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意的x∈π4,π，不等式f(x)>m−3恒成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45,34,23，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为23,23,12，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求至少有一名选手通过全部考核的概率．
19.(本小题12分)
已知函数fx=lg22x−1+a为奇函数，
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的不等式2f2x+3⋅2x−b≥0恒成立，求实数b的取值范围；
20.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B．
(1)若C=2π3，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
21.(本小题12分)
某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
(1)根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表)
(2)计算方案二中总样本的均值及方差；
(3)计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
22.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90∘,AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1C=AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算，对数型函数的定义域，属于基础题．
分别解一元二次不等式得集合A ，由 4−x>0 可得集合B ，再进行交集运算即可求解．
【解答】
解： A=xx2−5x−6≤0=xx−6x+1≤0=x−1≤x≤6 ，
由 y=ln(4−x) 可得 4−x>0 ，解得： x<4 ，所以 B=x|x<4 ，
所以 A∩B=x−1≤x<4 ．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，两角和的正切公式，属于基础题．
根据向量垂直的坐标表示可得 tanα=3 ，再结合两角和的正切公式运算求解．
【解答】
解：若 a⊥b ，则 sinα−3csα=0 ，
若 sinα=csα=0 ，显然不满足 sin2α+cs2α=1 ，
可得 csα≠0 ，则 tanα=3 ，
所以 tanα+π4=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=3+11−3×1=−2 ．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小，考查利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解： a=30.1>1 ， 0所以 a>b>c ．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面的位置关系、空间中直线与直线的位置关系、空间中平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据直线与平面的有关性质逐项分析．
【解答】
解：对于A，过直线a上一点作直线 b′ ，使得 b′//b ，则 b′ 是唯一的，则由 a,b′ 确定的平面是唯一的，设为α，因为直线a与b为异面直线，所以b在平面α外，则直线b平行于平面α，则这样的平面只有唯一的一个，故错误；
对于B，可能有 m⊂α ，错误；
对于C， ∵α//β ，假设过平面 β内的点M的两条直线 l1,l2 分别平行于a，则由平行线的传递性必有 l1//l2 ，又 l1 与 l2 有公共点M，则 l1,l2 重合，故过M点只有唯一的一条直线与a平行，正确；
对于D，显然过l的平面有无数个，并且每个平面都与 α 垂直，错误．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全概率公式和等比数列的实际应用，属于中档题．
设 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ，求出 p1=0 ，根据题意求出数列 pn 的递推公式，求出 pn 的表达式，即可求得 p6 的值．
【解答】
解：设 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ，当 n=1 时， p1=0 ，
设 An= “ n 次传球后球在甲手中”，则 An+1=AnAn+1+AnAn+1 ，
则 P(An+1)=P(AnAn+1)+P(AnAn+1)
=P(An)P(An+1An)+P(An)P(An+1An)．
即 pn+1=pn×0+1−pn×12=121−pn ，
所以， pn+1−13=−12pn−13 ，且 p1−13=−13 ，
所以，数列 pn−13 是以 −13 为首项，以 −12 为公比的等比数列，
所以， pn−13=−13⋅−12n−1 ，所以， pn=131−−12n−1 ，
所以 6 次传球后球在甲手中的概率为 p6=13×(1+132)=1132 ．
故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三棱锥外接球的表面积，属于一般题．
由题意可得 AB ，AC，AP两两互相垂直且相等，则可将三棱锥 P−ABC 补成为正方体，正方体的对角线长即为外接球的直径，进而可求解．
【解答】
解：如图：
∵ PA⊥ 平面ABC，AB,AC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB,PA⊥AC，
又∠BAC=π2 ，
∴ AB ，AC，AP两两互相垂直，又AB=AC=AP=2 ，
把三棱锥 P−ABC 补成为正方体，则正方体的外接球即三棱锥 P−ABC 的外接球，
正方体的体对角线长为 PA2+AB2+AC2=2 3 ，即其外接球直径 2R=2 3 ，
∴三棱锥外接球的表面积为 4π×2 322=12π ．
故选：B．

7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查面面平行的性质和空间中的距离，属于中档题．
M,N 分别为 DD1,DC 的中点，连接 AM,AN,MN ，证明平面 AMN /​/ 平面 A1BP ，得到 Q 的轨迹为线段 MN ，AQ的最小值是 MN 边上的高，计算得到答案．
【解答】
解：如图所示： M,N 分别为 DD1,DC 的中点，连接 AM,AN,MN ，
因为MN//D1C ， D1C//A1B ，故 MN//A1B ，又A1B⊂平面A1BP，MN⊄平面 A1BP ，故 MN/​/平面 A1BP ；
易知四边形 ABPM 为平行四边形，则AM//BP ，又BP⊂ 平面 A1BP ， AM⊄ 平面 A1BP ，故 AM//平面A1BP ；
又AM∩MN=M ， AM,MN⊂ 平面 AMN ，故平面 AMN /​/ 平面 A1BP ，
因为AQ//平面A1BP，所以AQ⊂平面AMN，又面 AMN∩ 平面 D1C1CD=MN ，故 Q 的轨迹为线段 MN ，
AM=AN=2 5 ， MN=2 2 ，AQ的最小值是 MN 边上的高，为 2 52− 22=3 2 ．
故选：D
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的零点，属于中档题．
化简函数 fx= 3sin2x+π3 ，根据 0【解答】
解：由题意，函数 fx=cs2x+sin2x+π6= 3sin2x+π3 ，
因为 0又由 fx 在 0,α 上恰有2个零点，所以 2π<2α+π3≤3π ，解得 5π6<α≤4π3 ，
所以 α 的取值范围为 5π6,4π3 ．
故选：B．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类、复数集内解方程、复数的模及其几何意义、复数的乘法运算，属于一般题．
A选项，设 z=a+bi(a,b∈R) ，计算出 z⋅z=z2=z2 ；B选项，根据纯虚数的概念得到 a=0 且 b≠0 ；C选项，代入计算即可；D选项，由 z≤1 得到 x2+y2≤1 ，得到对应的点 Z 的集合确定的图形是单位圆及其内部，求出面积．
【解答】
解：A选项，设 z=a+bi(a,b∈R) ，于是 z=a−bi ，
zz=(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2 ，
|z|2=|a+bi|2=a2+b2 ，|z|2=|a−bi|2=a2+b2 ，
故 z⋅z=z2=z2 ，A选项正确；
B选项，根据复数的概念，复数 z=a+bia,b∈R ，
则 z 为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0 ，B选项错误；
C选项， (2+3i)2−4(2+3i)+13=4+12i+9i2−8−12i+13=4+12i−9−8−12i+13=0 ，
故 z=2+3i 是关于 x 的方程 x2−4x+13=0 的一个根，C选项正确；
D选项，若 z≤1 ，设 z=x+yi(x,y∈R) ， z≤1⇔x2+y2≤1 ，
则在复平面内 z 对应的点 Z 的集合确定的图形是单位圆及其内部，面积为 π ，D选项错误；
故选：AC
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查数据的特征，属于基础题．
根据数表分别计算平均数，百分位数，波动性及古典概型分别判断各个选项即可．
【解答】
解：由表可知该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为
7.0+7.6+8.1+8.2+8.5+8.6+8.6+9.0+9.3+9.310=8.42 (也可以由表格观察)，A错误；
该班男生每周课外阅读的平均时长的 80% 分位数是 8.2+8.62=8.4 ，B正确；
由表格所提供的数据可知女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，C正确；
估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于 8h 的概率为 410=0.4 ，D正确．
故选：BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查三角函数的性质，涉及正弦型函数的最值、周期、单调性与零点，是中档题．
对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以 ωx+φ 为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以 ωx+φ 为整体，结合正弦函数的性质分析判断．
【解答】
解：A选项，由题意 4+a=2 ，则 a=−2 ，A正确；
B选项，若 fx+π=fx ，则π是fx的周期 ，
设 fx 的最小正周期为 T ，则 kT=k2πω=πk∈N* ，
解得 ω=2kk∈N* ，B错误；
C选项，当 φ=π3 时，
∵ x∈−π6,π2 ，ω>0，则 ωx+π3∈−π6ω+π3,π2ω+π3 ，
若 fx 在区间 −π6,π2 上单调递增，则 ω>0−π6ω+π3≥−π2π2ω+π3≤π2 ，
解得 ω∈0,13 ，C正确；
D 选项，由fx=0可得 sinωx+φ= 22 ，
对∀φ∈R ，函数fx在 0,π2 上至少两个零点，
即为对∀φ∈R ，方程sinωx+φ= 22在 0,π2 上至少两个不等实根，
∵ x∈0,π2 ，则 ωx+φ∈φ,π2ω+φ ，
若对∀φ∈R ，方程sinωx+φ= 22在 0,π2 上至少两个不等实根，
则 π2ω+φ−φ≥2π ，解得 ω≥4 ，D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了面面平行的判定、棱锥的体积、直线与平面所成的角和空间几何体的截面问题，是较难题．
利用面面平行的判定、棱锥的体积、直线与平面所成的角和空间几何体的截面问题逐一判定即可．
【解答】
解：取 AB 的中点 N ，连接 MN,CN ，则四边形 MNCC1 是矩形，又 P,R 分别是棱 BC,BM 的中点， Q 是线段 AB 上靠近点 B 的四等分点，所以 PR//MC,PR⊄ 平面 C1CM,MC⊂ 平面 C1CM ，所以 PR // 平面 C1CM ，同理可得 PQ // 平面 C1CM ，又 PR∩PQ=P,PR,PQ⊂ 平面 PQR ，所以平面 PQR /​/ 平面 C1CM ，故 A 正确；
V三棱锥B−PQR=V三棱锥P−BRQ=12V三棱锥C−BRQ=12V三棱锥R−BCQ=12×14V三棱锥R−ABC
=12×14×12V三棱锥M−ABC=12×14×12×13V三棱柱ABC−A1B1C1=148V三棱柱ABC−A1B1C1 ，
故棱锥 B−RPQ的体积与正三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积之比为 1:48 ，故B正确；
因为 AB⊥ 平面 MNCC1 ，平面 RPQ // 平面 MNCC1 ，所以 ∠ACN 即直线 AC 与平面 RPQ 所成的角，又 CN⊥AB,AC=2AN ，所以 ∠ACN=30∘ ，即直线 AC 与平面 PQR 所成的角为 30∘ ，故C正确；
连接 AR 并延长交 BB1 于点 S ，连接 PS ，则平面 α 截正三棱柱 ABC−A1B1C1 所得截面图形为 ▵PAS ，由于 AP⊂ 底面 ABC ， AP⊥BC, BC 是平面 CBB1C1 与底面 ABC 的交线，且平面 CBB1C1 ⊥ 面 ABC ，所以 AP⊥ 平面 CBB1C1 ， PS⊂ 平面 CBB1C1 ，所以 AP⊥PS ，由于AB=2AA1=4 ，故 BP=2,AP=2 3,SB=43 ，故 SP= 432+22=2 133 ，故 S▵PAS=12×2 3×2 133=2 393 ，故D错误．
故选： ABC ．

13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查平均数，方差，属于基础题．
根据平均数，方差的公式列出方程求解即可．
【解答】
解：根据题意得平均数 x=15m+n+9+8+10=9 ，
方差 s2=15m−92+n−92+9−92+8−92+10−92=2 ，
所以 m+n=18 ，且 m−92+n−92=8 ，解得 n=11,m=7 或 n=7,m=11,
所以 m−n=4 ．
故答案为：4．
14.【答案】2,5
【解析】【分析】
本题考查分段函数的单调性，属于基础题．
根据单调性可确定每一段区间内的单调性及分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果．
【解答】
解： ∵fx 在 R 上单调递增，
∴a−2>0a>1a−2−3≤lga1=0 ，解得： 2即实数 a 的取值范围为 2,5 ．
故答案为： 2,5 ．
15.【答案】3+2 23
【解析】【分析】
本题考查三点共线问题和基本不等式，属于中档题．
根据 M,O,N 三点共线求得 m,n 的等量关系式，结合基本不等式求得 1m+1n 的最小值．
【解答】
解：因为 BO=2OC ，所以 BO=23BC ，
所以 AO=AB+BO=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC ，
又 AB=mAM ， AC=nAN ，
所以 AO=m3AM+2n3AN ，
因为 M ， O ， N 三点共线，所以 m3+2n3=1 ，
由于 m>0 ， n>0 ，
所以 1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)
=13(3+mn+2nm)
⩾13(3+2 mn⋅2nm)=3+2 23 ，
当且仅当 mn=2nm ，即 n=6−3 22 、 m=3 2−3 时取等号，
所以 1m+1n 的最小值为 3+2 23 ．

故答案为： 3+2 23
16.【答案】0, 32∪2 3,+∞
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式，利用正弦定理解决范围问题，属于较难题．
由正弦定理可得 a= 3tanC+1 ，接着利用三角形的面积公式得到 S▵ABC=32tanC+ 32 ，再根据 ▵ABC 为钝角三角形求出 C 的范围，进而求得 ▵ABC 面积的取值范围．
【解答】
解：因为 B+C=π−A ，所以 sinA=sinπ−A=sinB+C=sinC+π3 =sinCcsπ3+csCsinπ3=12sinC+ 32csC ，
又由正弦定理 asinA=csinC 得，
a=csinAsinC=212sinC+ 32csCsinC= 3tanC+1 ，
所以 S▵ABC=12acsinB=12 3tanC+1×2× 32=32tanC+ 32 ，
因为 ▵ABC 为钝角三角形， B=π3 ， A=π−B−C=2π3−C ，
所以当 A 为钝角时， π2所以 0 3 ，所以 S▵ABC>32× 3+ 32=2 3 ，
当 C 为钝角时， π2所以 32×− 33+ 32综上： 02 3 ，即 S▵ABC∈0, 32∪2 3,+∞ ．
故答案为： 0, 32∪2 3,+∞ ．
17.【答案】解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x+1
= 3sin2x+cs2x+2=2sin2x+π6+2 ，
令 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2k∈Z ，解得 kπ−π3≤x≤kπ+π6k∈Z ，
所以函数 fx 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6k∈Z ．
(2)对任意的 x∈π4,π ，有 2π3<2x+π6<13π6 ，
∴ −1≤sin2x+π6< 32 ，
∴ 0≤fx<2+ 3 ，
要使 fx>m−3 恒成立，
∴ m−3<0 ，解得 m<3 ．
故所求实数m的取值范围为 −∞,3 ．

【解析】本题考查正弦型函数的单调性和三角函数的值域，属于中档题．
(1)化简 fx 的解析式，利用整体代入法求得函数 f(x) 的单调递增区间．
(2)先求得当 x∈π4,π 时， fx 的范围，由此列不等式来求得 m 的取值范围．
18.【答案】解：(1)设事件 Ai(i=1,2,3) 表示“甲选手能正确回答第 i 轮问题”，
由已知 PA1=45,PA2=34,PA3=23 ，
设事件 C 表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，
则 P(C)=PA1A2A3=45×34×1−23=15 ；
(2)设 D 表示“甲选手通过全部考核”，
则 P(D)=PA1A2A3=PA1PA2PA3 =45×34×23=25 ．
设事件 Bj(j=1,2,3) 表示“乙选手能正确回答第 j 轮问题”，
由已知 PB1=23,PB2=23,PB3=12 ，
设 E 表示“乙选手通过全部考核”，
则 P(E)=PB1B2B3=PB1PB2PB3 =23×23×12=29 ．
则至少有一名选手通过全部考核的概率为 P=1−P(D)P(E)=1−1−251−29=815 ．

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，属于一般题．
(1)根据题意，设事件 Ai(i=1,2,3) 表示“甲选手能正确回答第 i 轮问题”，设事件 C 表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
(2)利用独立事件的概率乘法公式求出甲选手通过全部考核的概率与乙选手通过全部考核的概率，然后利用对立事件的概率公式求解．
19.【答案】解：(1)因为 fx 为奇函数，所以 fx+f−x=0 ，
所以 lg22x−1+a+lg22−x−1+a=0 在定义域内恒成立，
即 2x−1+a2−x−1+a=1 在定义域内恒成立，
整理，得 2−a2−a2x2=1−x2 在定义域内恒成立，
所以 2−a2=1,−a2=−1 ，解得 a=1 ．
因为 a=1 时， fx=lg2x+1x−1 的定义域 −∞,−1∪1,+∞ 关于原点对称满足题意，
所以 a=1 ．
(2)因为 fx=lg2x+1x−1 的定义域 −∞,−1∪1,+∞ ，所以 2x>1 或 2x<−1 ，解得 x>0 ，
因为 2f2x+3⋅2x−b≥0 恒成立，所以 b≤2x+12x−1+3⋅2xx>0 ，
所以b≤32x−1+22x−1+4x>0 ．
因为，当 x>0 时， 2x−1>0 ，所以根据基本不等式的性质得
32x−1+22x−1≥2 6 ，当且仅当 32x−1=22x−1 ，即 x=lg2 63+1 时等号成立，
所以 32x−1+22x−1+4≥2 6+4 ，所以 b∈−∞,2 6+4 ．

【解析】本题考查复合型指数函数的性质，涉及函数奇偶性和基本不等式的应用，属于中档题．
(1)根据题意，由函数奇偶性的定义可得 fx+f−x=0 ，然后代入计算即可得到结果；
(2)根据题意，将原式变形可得 b≤2x+12x−1+3⋅2xx>0 ，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果．
20.【答案】解：(1)因为csA1+sinA
=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB，
所以sinB=csAcsB−sinAsinB=cs(A+B)．
因为C=2π3，所以A+B=π3，所以sinB=csπ3=12，
又0(2)由(1)知sinB=cs(A+B)=sin(π2−A−B)，
所以B=π2−A−B，即A=π2−2B，
从而C=π−A−B=π2+B．
由0所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=
cs22B+sin2Bcs2B=(2cs2B−1)2+1−cs2Bcs2B=
4cs2B+2cs2B−5≥4 2−5，
当且仅当cs2B= 22时等号成立．
因为0故a2+b2c2的最小值为4 2−5．

【解析】本题考查利用正弦定理解决范围问题，由基本不等式求最值，属于中档题．
(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 csA1+sinA=sin2B1+cs2B 化成 csA+B=sinB ，再结合B的范围 ，即可求出；
(2)由(1)知， C=π2+B ， A=π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 a2+b2c2 化成 4cs2B+2cs2B−5 ，然后利用基本不等式即可解出．
21.【答案】解：(1)因为身高在区间 185,195 的频率为 0.008×10=0.08 ，频数为 4 ，
所以样本容量为 n=40.08=50 ， m=0.008×10×50=4 ， p=0.04×10×50=20 ，
q=50−4−20−6−4=16 ，
所以身高在 165,175 的频率为 1650=0.32 ，小矩形的高为 0.032 ，
所以身高在 175,185 的频率为 650=0.12 ，小矩形的高为 0.012 ，
由此补全频率分布直方图：
由频率分布直方图可知：样本的身高均值为：
150×0.008+160×0.04+170×0.032+180×0.012+190×0.008×10
=12+64+54.4+21.6+15.2=167.2 (cm)，
所以由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为 167.2cm，
(2)把男生样本记为： x1,x2,x3,⋯,x25 ，其均值为 x ，方差为 sx2 ，
把女生样本记为： y1,y2,y3,⋯,y25 ，其均值为 y ，方差为 sy2 ，
总体样本均值记为 z ，方差记为 s2 ，
所以 z=2525+25x+2525+25y=25×170+25×16050=165 ，
又因为 i=125xi−x=i=125xi−25x=0 ，
所以 i=1252xi−xx−z=2x−zi=125xi−x=0 ，
同理可得： j=1252yj−yy−z=0 ，
所以
s2=150[i=125(xi−z)2+j=125(yj−z)2]
=150[i=125(xi−x+x−z)2+j=125(yj−y+y−z)2]
=15025sx2+x−z2+25sy2+y−z2
=150{25[16+(170−165)2]+25[20+(160−165)2]}
=43 ，
(3)两种方案总样本均值的差为 167.2−165=2.2 ，
所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差．

【解析】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、用样本估计总体等知识，考查数学运算、逻辑推理能力，属于较难题．
(1)利用身高在区间 185,195 的频率和频数即可求 n 的值，进而可得m，n，p 的值，求出各组的频率即可补全频率分布直方图，由平均数的计算公式即可求身高均值；
(2)把男生样本记为： x1,x2,x3,⋯,x25 ，其均值为 x ，方差为 sx2 ，把女生样本记为： y1,y2,y3,⋯,y25 ，其均值为 y ，方差为 sy2 ，则总体样本均值为 z=2525+25x+2525+25y ，
根据方差公式和平均数公式变形即可得样本总体方差．
(3)两个方案的均值相减即可求均值差，由于没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，代表性较差，因此不合适．
22.【答案】解：(1)如图，

∵A1C⊥ 底面 ABC ， BC⊂ 面 ABC ，
∴A1C⊥BC ，又 BC⊥AC ， A1C,AC⊂ 平面 ACC1A1 ， A1C∩AC=C ，
∴BC⊥ 平面ACC1A1，又 BC⊂ 平面 BCC1B1 ，
∴ 平面 ACC1A1⊥ 平面 BCC1B1 ，
过 A1 作 A1O⊥CC1 交 CC1 于 O ，又平面 ACC1A1∩ 平面 BCC1B1=CC1 ， A1O⊂ 平面 ACC1A1 ，
∴A1O⊥ 平面 BCC1B1
∵A1 到平面 BCC1B1 的距离为1， ∴A1O=1 ，
在 Rt▵A1CC1 中， A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2 ，
设 CO=x ，则 C1O=2−x ，
∵▵A1OC,▵A1OC1,▵A1CC1 为直角三角形，且 CC1=2 ，
CO2+A1O2=A1C2 ， A1O2+OC12=C1A12 ， A1C2+A1C12=C1C2 ，
∴1+x2+1+(2−x)2=4 ，解得 x=1 ，
∴AC=A1C=A1C1= 2 ，
∴A1C=AC
(2)∵AC=A1C1,BC⊥A1C,BC⊥AC ，
∴Rt▵ACB≌Rt▵A1CB
∴BA=BA1 ，
过B作 BD⊥AA1 ，交 AA1 于D，则 D 为 AA1 中点，
由直线 AA1 与 BB1 距离为2，所以 BD=2
∵A1D=1 ， BD=2 ， ∴A1B=AB= 5 ，
在 Rt▵ABC ， ∴BC= AB2−AC2= 3 ，
延长 AC ，使 AC=CM ，连接 C1M ，
由 CM//A1C1,CM=A1C1 知四边形 A1CMC1 为平行四边形，
∴C1M//A1C ， ∴C1M⊥ 平面 ABC ，又 AM⊂ 平面 ABC ，
∴C1M⊥AM
则在 Rt▵AC1M 中， AM=2AC,C1M=A1C ， ∴AC1= (2AC)2+A1C2 ，
在 Rt▵AB1C1 中， AC1= (2AC)2+A1C2 ， B1C1=BC= 3 ，
∴AB1= (2 2)2+( 2)2+( 3)2= 13 ，
又 A 到平面 BCC1B1 距离也为1，
所以 AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 1 13= 1313 ．

【解析】本题考查了线面垂直，直线与平面所成的角，属于难题．
(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得 A1O⊥ 平面 BCC1B1 ，再由勾股定理求出 O 为中点，即可得证；
(2)利用直角三角形求出 AB1 的长及点 A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值．
女生
7.0
7.6
8.1
8.2
8.5
8.6
8.6
9.0
9.3
9.3
男生
5.1
6.0
6.3
6.8
7.2
7.7
8.1
8.2
8.6
9.4
身高(单位：cm)
145,155
155,165
165,175
175,185
185,195
频数
m
p
q
6
4