浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

这是一份浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

I卷选择题部分（共60分）
一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列求导结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线与平行，则的值为（ ）
A．0B．2C．3D．2或3
3．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．20B．16C．14D．12
4．已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ）
A．新数据的平均数是B．新数据的标准差是
C．新数据的中位数是D．新数据的极差是
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列及其前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D．过两点的直线方程为
10．同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是递增数列或递减数列
B．若是递减数列，则
C．任意为等比数列
D．若，则存在为等比数列
12．已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为B．以为直径的圆与相离
C．若，则的斜率为D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值
II卷非选择题部分（共90分）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．
14．方程表示一个圆，则实数的取值范围为______．
15．已知数列中，，若前项和为，则______．
16．曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为______．
四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）已知函数的图像在处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求证：当时，．
18．（本题满分12分）舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求；
（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
19．（本题满分12分）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．
（1）用表示弦长，并求的取值范围；
（2）记的面积为，求的最大值及取最大值时的值．
20．（本题满分12分）已知单调递增的等差数列的前项和为，
且是与的等差中项，．
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．若恒成立，求实数的取值范围．
21．（本题满分12分）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：为定值．
22．（本题满分12分）已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
（1）求的通项公式；
（2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．
舟山市2023～2024学年第一学期期末检测高二数学参考答亲
13．7.5 14． 15． 16．
16．
即此时取到面积最小值，所以点在过与在点处切线平行的平行线与轴交点以左，即
17．（1），
因为在处的切线为
所以，解得．
所以
（2）令
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增．
所以在上的最小值为，
所以即证得当时，
18．（1）根据频率分布直方图可知
（2）平均成绩为
（3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙
对应的样本空间为：，（，甲），（，乙），（，丙），（，甲），（，乙），（，丙），（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共10个样本点．
设事件“两人来于”，
则（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共有3个样本点．
所以．
19．（1）圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为
（2）法一：
所以，且
当且仅当，时取到等号
所以的最大值为2，取得最大值时
法二：设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时
法三：，
当且仅当时取到等号，此时．
20．（1）设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，即，
则有
化简得，即，
解得，则
（2）
则，
于是得，
两式相减得：
，
因此，又，
所以不等式，
等价于，又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即，
当时，，：即，
所以当时，，则，所以实数的取值范围是．
21．（1）或舍去，所以
（2）设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以
22．
（1）由已知可得：
又点在双曲线上，所以，即
所以是以为首项，公差为的等差数列，所以即
（2）设，则以为切点的双曲线的切线方程为：
由
可得，
即
由可得，
即所以
所以所以
先证右边：
所以
右边得证
下证左边：
先证，令
所以在递增，所以
即时，
所以
当时，
证明如下：
所以
所以当时
当成立，所以，左边得证
所以命题得证．2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
B
C
C
A
A
AB
BCD
AD
BCD