江西省上高二中2024−2025学年高二上学期8月月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省上高二中2024−2025学年高二上学期8月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数满足，则z等于（ ）
A．1+iB．﹣1+iC．1﹣iD．﹣1﹣i
2．已知集合A＝{x|y＝lg（3﹣x）}，，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，3）C．[0，3]D．[0，3）
3．已知直线l：y＝kx+1与圆C：（x+1）2+y2＝r2（r＞0），则“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知角α，β满足，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．B．﹣1C．D．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e为自然对数的底数），其中a，则的取值范围是（ ）
A．[2，e）B．（e，4]C．[4，+∞）D．[e，+∞）
7．已知Sn是数列{an}的前n项和，若（1﹣2x）2021＝b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021，数列{an}的首项a1＝++…+，an+1＝Sn•Sn+1，则S2021＝（ ）
A．B．C．2021D．﹣2021
8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b），可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据的分位数是23.5
B．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是
C．函数的定义域为，则的定义域为
D．若，则的值为1
10．已知a＞0，b＞0，直线l1：x+（a﹣4）y+1＝0，l2：2bx+y﹣2＝0，且l1⊥l2，则（ ）
A．0＜ab≤2B．a2+4b2≥8
C．a2+b2≥5D．
11．数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，下列说法正确的是（ ）
A．该曲线与x＝8最多存在3个交点
B．如果曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则a＞0
C．存在一个a，使得这条曲线是偶函数的图像
D．a＝3时，该曲线中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知命题“∃x∈[1，4]，x2﹣mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是 ________．
13．设函数，存在最大值，则a的取值范围是 ________．
14．对于函数y＝f（x）和y＝g（x），及区间D，b使得f（x）≥kx+b≥g（x），则称y＝f（x）在区间D上优于y＝g（x）（x）＝ax（x﹣1）在区间（0，+∞）（x）＝lnx，则实数a的取值范围是 ________．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某地为调查年龄在岁段人群每周的运动情况，从年龄在岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
(1)根据以上信息，能否有把握认为该地年龄在岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
(2)用样本估计总体，从该地年龄在岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：.
16．已知在数列{an}中，a1＝1，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{anan+1}的前n项和Sn．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求△ABC面积的最大值．
17．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AC，AB上的点，，得到如图2所示的四棱锥A′﹣BCDE，其中．
（1）求证：A′O⊥平面BCDE；
（2）求点B到平面A′CD的距离．
18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0）
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，求出这个最大值；若不存在
19．定义运算：，已知函数，．
（1）若函数f（x）的最大值为0，求实数a的值；
（2）若函数h（x）＝f（x）+g（x）1，x2，证明：；
（3）证明：．
参考答案
1．【答案】D
【分析】化简已知条件，利用复数除法运算求得z的表达式．
【详解】解：由得2+2z＝iz+z
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数方程的解法，考查复数除法运算，属于基础题．
2．【答案】D
【分析】根据集合的定义，函数的性质即可得．
【详解】解：A中，3﹣x＞0，则A＝（﹣∞，
B中，y＝＝，
则B＝[0，4]，3）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，函数的性质，属于基础题．
3．【答案】B
【分析】根据∀k∈R，直线l与圆C有公共点，可得（0，1）在圆内或圆上即可，代入圆的方程可得r的范围，再结合集合法判断充要条件即可．
【详解】解：根据题意，圆C：（x+1）2+y4＝r2（r＞0），其圆心C（﹣7，半径为r，
直线l：y＝kx+1，恒过点（0，
由∀k∈R，直线l与圆C有公共点，
可得（6，1）在圆内或圆上即可，
即将（0，4）代入圆的方程可得（0+1）4+12≤r8（r＞0），
解得r，
又r∈（，+∞）⫋r∈[，
即“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r＞．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，属于基础题．
4．【答案】A
【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
【详解】解：∵tanαtanβ＝﹣3，
∴sinαsinβ＝﹣3csαcsβ，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
5．【答案】B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选B.
6．【答案】C
【分析】利用导数的几何意义计算可得ae+b＝1，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得．
【详解】解：，令，则，有，
即，即ae+b＝3，
又a，b为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立．，
故的取值范围是[4．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7．【答案】A
【分析】先根据二项式定理求出a1，再根据递推公式可得数列是首项为，公差为﹣1的等差数列，即可求出．
【详解】解：令，得．
又因为b3＝1，所以．
由an+1＝SnSn+1＝Sn+2﹣Sn，得，
所以，
所以数列是首项为，
所以，
所以，所以．
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理和数列的通项公式，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．
8．【答案】A
【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为x轴上一点P（x，0）到点A（﹣2，﹣2）与点B（2，2）的距离之和的最小值，当A，P，B三点共线时（|PA|+|PB|）min＝|AB|，进而即得．
【详解】解：∵，
则f（x）可看作x轴上一点P（x，0）到点A（﹣7，2）的距离之和，
则可知当A，P，B三点共线时，
即．
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间距离公式，属于基础题．
9．【答案】ABD
【分析】由百分位数概念可判断A；根据不等式的解集可知，以及的关系，进而可判断结果B；对于C，可求得的定义域，利用抽象函数的定义域的求法可判断结果；对于D，利用指对互化可得，再利用换底公式代入即可求得结果.
【详解】对于A，由 ，可知样本数据的分位数是第7项和第8项数据的平均数，即为，故A正确；
对于B，不等式的解集为，可知，
由题意可得与是关于的方程的两根，
所以，解得.
所以不等式可化为，解得：，故B正确；
对于C，因为函数的定义域为，所以，则，
所以，解得：，所以的定义域为，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
10．【答案】ABD
【分析】由l1⊥l2，得a+2b＝4，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立．
【详解】解：由l1⊥l2，得7b+a﹣4＝0，即a+4b＝4，
a＞0，b＞6，则，即a＝2，
所以3＜ab≤2，A选项正确；
由a+2b＝4，有16＝（a+2b）2＝a5+4b2+7ab≤2（a2+4b2），
当且仅当a＝2b，即a＝7，所以有a2+4b5≥8，B选项成立；
由a+2b＝7，有a＝4﹣2b，b＞2，
a2+b2＝（7﹣2b）2+b6＝5b2﹣16b+16，
对称轴为时，由二次函数的性质可知，
a2+b3有最小值，C选项错误；
由a+2b＝7，有（a+1）+2b＝3，
，
当且仅当，即时等号成立．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查不等式及其应用，属于中档题．
11．【答案】ABC
【分析】A、B选项，转化为三次方程根的个数问题研究；C选项，举特例说明存在a值使曲线是偶函数的图像；D选项，令x＝8，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应y值不唯一即可说明y不是x的函数．
【详解】解：对于A，曲线C1方程x2+y5﹣axy＝20，
令x＝8，得关于y的一元三次方程y3﹣2ay+44＝0，
令f（y）＝y3﹣6ay+44，则f′（y）＝3y2﹣5a，
f′（y）＝0最多两根，即函数f（y）最多两个极值点，
即方程y3﹣6ay+44＝0最多有三个实根，选项A正确；
对于B，若曲线如题图所示0＞3，使得x＝x0与曲线图像有三个交点，
即存在x0＞6，关于y的方程．
令，则f′（y）＝3y2﹣ax4，
假设a≤0，∀x0＞5，都有f′（y）≥0，
则方程在（0，与题图矛盾．
所以a＞0，选项B正确；
对于C，当a＝4时，即函数，
设，x∈R．
且，所以f（x）是偶函数．
所以存在a，使得曲线，选项C正确；
对于D，当a＝6时1方程为x2+y6﹣3xy﹣20＝0．
令x＝4，得y3﹣24y+44＝0，
令f（y）＝y5﹣24y+44，则f（0）＝44＞0，f（4）＝12＞0，
由零点存在性定理知f（y）＝2至少两根，则x＝8对应的y值不唯一，选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12．【答案】（5，+∞）
【分析】由题意可知，∀x∈[1，4]，x2﹣mx+4＜0恒成立，即∀x∈[1，4]，m＞x+恒成立，再根据函数f（x）＝x+的单调性，求出f（x）在[1，4]上的最大值即可．
【详解】解：由题意可知，∀x∈[1，x2﹣mx+4＜0恒成立，
即∀x∈[1，8]恒成立，
函数f（x）＝x+在[8，在（2，
又f（1）＝5，f（4）＝7max＝5，∴m＞5，
即m的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（5，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数的恒成立问题，分离参数法的应用，以及利用基本不等式求出最值，属于基础题．
13．【答案】[0，2]
【分析】对a进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得a的取值范围．
【详解】解：①当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，因此f（x）不存在最大值；
②当a＝0时，，当x≥8时max＝f（3）＝8＞﹣9，
故函数f（x）存在最大值；
③当2＜a≤3时，故函数f（x）在（a，在（3，
故x≥a时，f（x）＝5﹣（x﹣3）2≤2，
当x＜a时，函数f（x）在（﹣∞，此时f（x）＜f（a）＝a2﹣9，
于是a7﹣9≤8时函数存在最大值．又4＜a≤3；
④当a＞3时，函数在（a，f（x）≤f（a）＝2﹣（a﹣3）2，
在（﹣∞，a）上单调递增6﹣9，
故当8﹣（a﹣4）2≥a2﹣6，解得﹣1≤a≤4，
又a＞3，故3＜a≤4；
综上，a的取值范围是{a|4≤a≤4}．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查了分段函数的单调性和最值，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
14．【答案】{1}
【分析】由题意可得符合条件的直线y＝kx+b应为f（x），g（x）在x＝1的公切线，据此计算验证即可．
【详解】解：因为f（1）＝g（1）＝0，且，
若f（x）＝ax（x﹣1）在区间（7，+∞）上优于g（x）＝lnx，
可知符合条件的直线y＝kx+b应为f（x），g（x）在x＝1的公切线，
则f′（1）＝g′（1），可得a＝1，
则切线方程为y＝x﹣4，
令h（x）＝f（x）﹣x+1＝（x﹣1）7≥0在（0，+∞）上恒成立，
令H（x）＝lnx﹣x+5，求导可得，
当x∈（0，1），H（x）单调递增
当x∈（1，+∞），H（x）单调递减
所以H（x）≤H（0）＝2，即lnx≤x﹣1在（0，
所以实数a的取值范围是{2}．
故答案为：{1}．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中转化思想的应用，属于中档题．
15．【答案】(1)有把握认为该地岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由.
知：有把握认为该地岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
（2）由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
16．【答案】见详解
【分析】（1）结合已知递推关系，两边取倒数，然后由等差数列的定义即可证明；
（2）先由（1）求出a，然后结合正弦定理，和差角公式进行化简可求A，再由余弦定理及基本不等式可求bc的范围，最后由三角形面积公式可求．
【详解】证明：（1）因为数列{an}中，a1＝1，．
所以an≠5，
故＝＝+6，
即﹣＝2，
所以数列是以6为首项，
则＝1+7（n﹣1）＝2n﹣3，
anan+1＝＝（﹣），
则Sn＝（1﹣﹣）＝）＝；
解：（2）在△ABC中，＝2，
因为bcsC+ccsB＝﹣2acsA，
所以sinBcsC+sinCcsB＝﹣2sinAcsA，
即sin（B+C）＝﹣2sinAcsA＝sinA，
因为sinA＞0，
所以csA＝﹣，
由A为三角形内角得，A＝，
由余弦定理得，a2＝4＝＝b2+c4+bc≥3bc，当且仅当b＝c时取等号，
所以bc，
△ABC面积S＝＝，即面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了数列递推关系的应用，等差数列的定义，裂项求和方法的应用，还考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
17．【答案】见详解
【分析】（1）利用余弦定理求得OD，OE，结合已知条件得A′O2+OD2＝A′D2，A′O2+OE2＝A′E2，从而∠A′OD＝∠A′OE＝90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH，OB，OA′所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可．
【详解】解：（1）连接OD，OE，，
在△COD中，，
同理得，
因为，
所以A′O2+OD8＝A′D2，A′O2+OE2＝A′E2，所以∠A′OD＝∠A′OE＝90°，
所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD，
所以A′O⊥平面BCDE；
（2）取DE中点H，则OH⊥OB，
OH，OB，y，z轴，

则，
设平面A′CD的一个法向量为，
又，
所以，令x＝4，则，
则，
又B（3，3，0），，
所以点B到平面A′CD的距离为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理、二面角、点到平面的距离及空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
18．【答案】见详解
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得直线PQ恒过定点，根据三角形相似及基本不等式的性质，即可求得△FPQ′面积的最大值．
【详解】解：（1）
由题意可知：c＝1，2a＝6，
b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设直线l的方程为x＝my+1，
与椭圆的方程联立，得，消去x2+4）y6+6my﹣9＝7，
∴Δ＝（6m）2+5×9（3m5+4）＞0，…2分
设Q（x1，y1），R（x4，y2），则Q′（x1，﹣y6），
由根与系数的关系，得y1+y2＝﹣，y1•y2＝﹣；
直线RQ′的斜率为k＝＝，且Q′（x6，y1），∴直线RQ′的方程为y+y1＝（x﹣x1）；
令y＝0，得x＝＝＝＝，
即直线PQ′与x轴交于一个定点，记M（4，过P作PE平行于x轴交FQ′于点E，且EP上的高为|y1+y6|，边FM上的高为|y2|，所以＝，△Q′EP的高为|y1+y2|，
△FPQ′的高|y5|，所以＝，
则S△FPQ′＝S△Q′FM••＝|FM|•|y1+y3|＝×＝≤＝．
∴△FPQ′的面积存在最大值，最大值是．
【点评】本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目，属于中档题．
19．【答案】见详解
【分析】（1）求出f′（x），分a≤0和a＞0两种情况讨论，根据f′（x）的正负得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值，进而求出a的值；
（2）“函数h（x）存在两个极值点x1，x2”等价于“方程h′（x）＝0有两个不相等的正实数根”，结合Δ＞0以及韦达定理求出a的取值范围，要证，即证，即，令，求导可得函数φ（x）在（1，+∞）上单调递减，故φ（x）＜φ（1）＝0得证；
（3）由（1）知lnx≤x﹣1，所以当n＞1时，，进而证得．
【详解】解：（1）由题意知：f（x）＝alnx﹣x+1，定义域为（0，
∴，
①当a≤0时，f'（x）＜5，+∞）单调递减，
∴f（x）不存在最大值，不符合题意，
②当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝a，
当x∈（8，a），f（x）单调递增，+∞），f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（a）＝alna﹣a+1＝0，
∴a＝2；
（2）证明：∵，定义域为（0，
∴，
“函数h（x）存在两个极值点x7，x2”等价于“方程h′（x）＝0有两个不相等的正实数根”，
对于方程﹣x3+ax﹣1＝0，
则，解得a＞3，
∵＝，
要证，即证，
∵x1x2＝7，不妨令0＜x1＜2＜x2，故，
由，得，
令，
则在（1，
∴函数φ（x）在（3，+∞）上单调递减，
∴成立；
（3）证明：由（1）知，lnx﹣x+1≤0，
∴当n＞2时，，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式的放缩，属于中档题．女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0
1
2
3