江西省上高二中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

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1．复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．0
3．已知三个向量，，共面，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
5．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为上的一点，且，，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
8．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．C．D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（ ）
A. 不存在使得
B. 存在使面
C. 存在两个使与成角
D. 任意满足
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（ ）
A．B．的面积等于
C．的斜率为 D．的离心率为
11.已知点，直线，且，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 直线过定点 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 .
13．在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为 ．
14．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）（1）求准线为的抛物线标准方程；（6分）
（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为的双曲线标准方程. （7分）
16.（15分）已知圆经过，，三点．
（1）求的标准方程，并说明的圆心坐标与半径；（7分）
（2）过点作圆的切线，求直线的方程．（8分）
17．（15分）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；（6分）
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．（9分）
18.（17分）如图，四棱柱 中，侧棱底面
，为棱 的中点.
（1）证明：平面；（4分）
（2）求二面角的正弦值；（6分）
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.（7分）
19．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.
（1）求的方程；（4分）
（2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.
①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；（6分）
②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（7分）
2026届高二年级第四次月考数学试题参考答案
1.C2.A3.C4.B 5．A6.C7.B8．C
9.BD 10.BC 11.ABD
12． 13．
14.
15.（1）；（2）
【详解】（1） 准线为的抛物线标准方程为；
（2）设双曲线标准方程为，
由实轴长为得 ，即 ，
由渐近线 得 ，即 ，
故抛物线标准方程为 .
16.（1），圆心为，半径
（2）
【详解】（1）由题意可设圆的一般方程为，
代入三点坐标可得解得
所以圆的一般方程为，
则圆的标准方程为．
易得圆心为，半径．
（2）当斜率不存在时，，满足题意，
设切线的方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
故的方程为或．
17.（1）；（2）
【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；
（2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可.
【详解】（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18.（1）证明见解析；（2）；（3）
【详解】（1） 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 . ，
则 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）得 即为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
（3）设 ，
则 ，
因为 轴垂直平面 ，
则可取平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，
所以 .
19．(1) (2)①或；②是，
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解.
【详解】（1）由题意知 解得，，
所以的方程为.
（2）由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点），
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由，消得，
所以，解得， 所以.
①因为，，
又，所以，
解得或，即点的坐标为或.
②直线，即，
由，消得，，
即，所以，解得，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，解得，
所以直线恒过定点，
又，即，又点是的中点，所以，
所以是定值，且定值为.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解.