山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期期中学情检测数学试题

这是一份山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期期中学情检测数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图,圆O的半径为1,劣弧的长为,则阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
2．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛,想求这些酒坛的总数,经过反复尝试,终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积,第一层有个小球,第二层有个小球,第三层有依此类推,最底层有个小球,共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积,共7层,小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A．55B．52C．39D．26
4．已知函数,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则的图象的对称轴可以为( )
A.B.C.D.
5．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状.这就是著名的“心形线”故事.某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线.观察图形，当时，的导函数的图像为( )
A.B.
C.D.
6．已知向量，满足，，则( )
A.B.C.3D.4
7．已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( )
A.B.C.2D.4
8．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多项选择题
9．已知，是函数的两个零点，且的最小值是，则( )
A.在上单调递增
B.的图象关于直线对称
C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.在上仅有1个零点
10．已知函数,则( )
A.
B.
C.在上为增函数
D.函数在上有且只有2个零点
11．下列选项正确的是( )
A.函数的最小正周期是
B.若是第一象限角,则
C.函数的对称中心是,
D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件
三、填空题
12．已知函数（），若存在，使得，则的最小值为________.
13．设函数，已知,，且的最小值为，则________.
14．已知向量,满足,与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为________.
四、解答题
15．记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求的周长.
16．已知双曲线的左､右焦点分别为,,E的一条渐近线方程为,过且与x轴垂直的直线与E交于P,Q两点,且的周长为16.
(1)求E的方程;
(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点,线段的中垂线过点,求的取值范围.
17．已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对于任意的,都有恒成立,求a的取值范围.
18．设锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）若,且,求的面积.
19．已知椭圆的焦距是短轴长的倍，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P，线段的垂直平分线与交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点，如果，求k的值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为劣弧的长为,所以.
则,,
所以阴影部分的面积为.
故选:B
2．答案：B
解析：设各层的小球个数为数列,
由题意得,,,,
因为,可得,,
,,
则,
因为前7层小球总个数为168,所以,即,
解得或（舍去）,
所以,可得,即该垛积的第一层的小球个数为2个.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
所以该女子每天织的布构成一个等差数列，
其中
所以．
故选：B
4．答案：D
解析：由题意可得的图象关于点对称,即对任意,有,取,
可得, 即.故,
令,,可得的图象的对称轴为,,故选：D.
5．答案：A
解析：根据和的解析式可知和均为偶函数，图像关于y轴对称，当时，，
设y，则，此时对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，
时，对应题干中的图像在第四象限的部分，
该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足.
故选：A.
6．答案：A
解析：因为, 所以, 所以, 故选:A.
7．答案：C
解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是，解得.故选C.
8．答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.
9．答案：ABD
解析：由题意可知，函数的最小正周期，，.对于A，当时，，在上单调递增，故A正确；对于B，，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确.故选ABD.
10．答案：ABD
解析：由题意得函数的最小正周期为,所以成立,A项正确;
因为,所以是的最小值,所以直线是图像的一
条对称轴,所以成立,B项正确;
当时,,当时,为减函数,C项错误;
由题意知在有两个不等实根,设,
由函数,的图像,易知与直线有两个不同的交点,D项正确.
故选ABD项.
11．答案：AB
解析：对A：最小正周期是,故A正确;
对B：若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;
对C：令,故C错误;
对D：在中,由知,又由,
则有或,所以C或B为钝角,满足充分性,
而是钝角三角形,A为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.
故选：AB.
12．答案：/
解析：.
因为存在，，使得，
所以，解得.
故答案为：
13．答案：1
解析：由题意知图象可由，的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故的周期为，
又,，
则的最小值为函数周期的二分之一，即,
即,，
故答案为：1
14．答案：
解析：如图，设,，
当时，取得最小值，
过B作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以,,，
所以.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)5
解析：(1)根据题意由余弦定理可得,
又可得,即可得,
所以,可得,
由正弦定理可得;
(2)易知,
解得,即;
由(1)中可得,
所以的周长为.
16．答案：(1);
(2).
解析：(1)将代入,得,
所以,所以,
所以由题得,,
所以双曲线E的方程为.
(2)由题意可知直线斜率存在且,
设,,,设的中点为M.
由消去y并整理得,,
则,即,
,,,
于是点为,,.
由中垂线知,所以,解得：.
所以由A,B在双曲线的右支上可得：
,
且,
且或,
综上即,
又,
所以
.
因为,所以,故,所以,
所以.
所以.
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)对求导,可得,
令,即,即,
当时,恒成立,在R上单调递增;
当时,,,,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
综上,当时,的单调递增区间为R;
当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)因为对于任意的,都有恒成立,
对求导,可得,
令,即,即,
①当时,,则在单调递增,,符合题意;
②当时,,则,
则,在单调递增,,符合题意;
③当时,,则,
当时,,则在单调递减,
当时,,则在单调递增,
所以,
令,,则,
所以在上单调递减,所以,不合题意;
综上所述,.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,可得,
由可知,可得,故.
（2）由可得,
因为,所以,
由可得,
故,
又,可得,
所以.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）
由，得，
由，得，
设、，则，，
所以点M的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为，
令，则点N的纵坐标，则，
因为，所以点N、点P在原点两侧，
因为，所以，所以，
又因为，，
所以，解得，所以.