山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期第一次（10月）月考测试数学试卷

这是一份山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期第一次（10月）月考测试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1．(5分)向量,，若，则x的值为( )
A.B.1C.D.3
2．(5分)函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
3．(5分)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要( )
A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时
4．(5分)已知是定义在R上的偶函数,满足,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．(5分)已知，，则( )
A.25B.5C.D.
6．(5分)设函数，若，则的最小值为( )
A.B.C.D.1
7．(5分)若a，，，则的最大值为( )
A．B．C．2D．4
8．(5分)已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题(共18分)
9．(6分)若,则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
10．(6分)已知函数，，则( )
A．与的值域相同
B．与的最小正周期相同
C．曲线与有相同的对称轴
D．曲线与有相同的对称中心
11．(6分)已知，且，则( )
A.ab的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为D.的最大值为3
三、填空题(共10分)
12．(5分)函数的最小正周期为_____________.
13．(5分)若是偶函数，则实数a的值为__________.
四、双空题（共5分）
14．(5分)已知，则________；______.
五、解答题(共77分)
15．(13分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐,并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株,尽管我国疫情得到了很好的遏制,但由于整个国际环境的影响,时而也会出现一些散发病例,故而抗疫形势依然严峻,日常防护依然不能有丝毫放松.在日常防护中,医用防护用品必不可少,某公司一年购买某种医用防护用品600吨,每次都购买x吨,运费为6万元/次,一年的存储费用为4x万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.
（1）要使总费用不超过公司年预算260万元,求x的取值范围.
（2）要使总费用最小,求x的值.
16．(15分)设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式.
17．(15分)如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，E是线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．(17分)如图所示为直四棱柱，，，，，M，分别是线段，的中点.
(1)证明:平面；
(2)求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
19．(17分)如图，四边形是边长为2的菱形，，将沿折起到的位置，使.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：由，可得，解得，
故选：D.
2．答案：B
解析：令,其定义域为,关于原点对称,
,
所以函数为奇函数,即图像关于原点对称,故排除AC,
当时,,,,即,故排除D,
故选:B.
3．答案：B
解析：由题意可知，即有，
令，则有，解得，
，故还需要4小时才能消除至最初的.
故选：B.
4．答案：B
解析：根据题意,满足,即函数是周期为2的周期函数,
则,
,
又由为偶函数,则,
当时,,易得在上为增函数,
又由,
则有;
故选B.
5．答案：C
解析：因为，，即，所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.
7．答案：A
解析：，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，
，
所以的最大值为
故选：A
8．答案：A
解析：，令的导函数为.
若，，在R上单调递增，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，符合题意.
若，当时，，在上单调递增，
因为，，所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
若，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，不符合题意.
若，当时，，，
可得时，，时，，
所以在递增，在上单调递减，不符合题意.
综上，a的取值范围是.
故选：A
9．答案：BCD
解析：对A,若,则,两边同时除以ab,所以,A错误;
对B,由可得,B正确;
对C,因为,所以,即,C正确;
对D,由可得,,所以,D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABC
解析：，，则与的值域相同，A正确．
与的最小正周期均为，B正确．
曲线与的对称轴方程均为，C正确．
曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D错误．
11．答案：ABC
解析：因为，且，
A.，当且仅当时，等号成立，故正确;
B.，
当且仅当，即时，等号成立，故正确;
C.，当且仅当时，等号成立，故正确;
D.，
当且仅当，即时，等号成立，故错误;
故选:ABC
12．答案：
解析：函数的最小正周期为：
,
故答案为：.
13．答案：
解析：函数是偶函数，则，，
化简可得.当时，则
所以，则，
所以函数是偶函数，则.故答案为：
14．答案：①.；②.
解析：，
，
故答案为：；
15．答案：（1）
（2）30
解析：（1）因为公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,
所以购买货物的次数为,
故,,
化简得,解得,
所以x的取值范围为.
（2）由（1）可知,,
因为,当且仅当即时等号成立,
所以当时,一年的总费用最小,
故x的值为30.
16．答案：(1)
(2)答案见解析.
解析：(1),恒成立等价于,,
当时,,对一切实数x不恒成立,则,
此时必有,即,
解得,所以实数a的取值范围是.
(2)依题意, ,可化为,
当时,可得,
当时,可得,又,解得,
当时,不等式可化为,
当时,,解得,
当时,,解得或,
当时,,解得或,所以,
当时,原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为或;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为或.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）存在，
解析：（1）证明：在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为，且，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以A为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
，，
所以
，
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
因为平面和平面夹角的余弦值为，
所以，
整理得，，即，
解得或，
因为，所以，
故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时.
18．答案：(1)证明见解析
(2)，在线段存在点P使得平面，的值为
解析：(1)由，，知为正三角形，
又M为的中点，则.
又为的中点，则，
而，所以，
又，平面，
所以平面；
(2)由(1)知为正三角形，则，
在中，，有，所以，
易知，，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，故，
设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为.
假设在线段上存在点P，使得平面，令，
则，所以，
由平面，得，所以，
解得.此时，
所以，
即的值为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，取中点O，连接，.
因为四边形是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形，
因为O是中点，所以，，
因为，，所以，同理可得，因为，
所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD.
或：又因为，平面ABD，，平面，
所以平面，因为，所以平面平面.
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面PAD的一个法向量为，
由得，
令得，，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.