山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共40分)
1．(5分)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若，，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
2．(5分)已知两个单位向量，的夹角为，则( )
A.B.3C.D.5
3．(5分)平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A.0B.C.D.
4．(5分)已知矩形ABCD的长,宽.点P在线段BD上运动（不与B,D两点重合）,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．(5分)已知非零向量，满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为( )
A.B.C.D.
6．(5分)如图，在中，E是的中点，,,与交于点M，则( )
A.B.C.D.
7．(5分)已知向量,，若，则( )
A.B.C.D.
8．(5分)如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题(共18分)
9．(6分)已知非零向量,,,则下列结论正确的是( )
A.若,则B.若则
C.若,则D.向量与向量垂直
10．(6分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( )
A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为
C.D.的面积为
11．(6分)中,角A,B,C所对的边为a,b,c下列叙述正确的是( )
A.若,则一定是锐角三角形
B.若,则一定是等边三角形
C.若,则
D.若,则
三、填空题(共10分)
12．(5分)若向量,,且,则________.
13．(5分)已知三棱锥的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是________.
四、双空题(共5分)
14．(5分)已知球的半径为3,则该球的表面积等于____________,则该球的体积等于_________.
五、解答题(共77分)
15．(13分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
16．(15分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求证:平面PAB.
（2）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
17．(15分)如图，等腰梯形ABCD中，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.
(1)证明：面面ACD；
(2)若M为PD上的一点，点P到面ACM的距离为，求的值及平面MAC和平面DAC夹角的余弦值.
18．(17分)如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面PBC；
（2）若，且二面角的正弦值为，求AD.
19．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A，若，，，则或者l,m异面，故A错误，
对于B，若，，且l与，的交线垂直，才有，否则l与不一定垂直，故B错误，
对于C，若，，则或者，故C错误，
对于D，若，，则，D正确，
故选：D
2．答案：A
解析：因为两个单位向量，的夹角为，
所以，
所以.
故选：A
3．答案：A
解析：由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意得,点P在线段BD上,设,,,
且.以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,
则,,,,则,
由,
故,
所以,
由于,所以.
故选:A.
5．答案：C
解析：因为向量与向量垂直，所以，所以，
因为向量与向量垂直，所以，所以，
所以，即，所以，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C
6．答案：A
解析：在中，设，由，可得，故.
又E是的中点，，所以,，所以.
由点E,M,F三点共线，可得，解得，
故.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为，，所以，，
由可得，，
即，整理得：.
故选：D.
8．答案：B
解析：取上靠近的三等分点F，取上三等分点H,E，
连接，，，，，，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，
，
由正方体的性质可得：平面，平面，
所以平面，所以，，
，，
，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于选项A,因为为非零向量,若,则,故,所以选项A正确,
对于选项B,若,故,所以选项В正确,
对于选项C,若,则,
得到,不能确定,所以选项C错误,
对于选项D,,
故,所以选项D正确,
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；
对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.
11．答案：BC
解析：对于A选项,在中,因为,又,
所以,即C为锐角,但题中没有告诉C最大,
所以不一定是锐角三角形,故A错误;
对于B选项,,由正弦定理得,
整理得,即,一定是等边三角形,故B正确;
对于C选项,因为,在单调递减,
所以,故C正确;
对于D选项,由,得,所以,
由余弦定理可得,
,当且仅当时,等号成立,
则当,时,,即角可以大于,故D错误;
故选:BC.
12．答案：/
解析：因为,所以,解得.
故答案为:
13．答案：4
解析：，故，，
不妨令，则，又，故点H，A，B，C共面，
故.
故答案为：4.
14．答案：;
解析：因为球的半径为3,
所以球的表面积为,体积为.
故答案为：,.
15．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）方法一
即
得：
方法二：
得
即
得：
（2）由余弦定理得：.
得：
或
或.
方法二：由正弦定理：
或
或.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）存在,的值为.
解析：（1）因为平面平面ABCD,且平面平面,,
平面ABCD,所以平面PAD,
因为平面PAD,所以,
又因为,,
所以平面PAB.
（2）假设在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD,
取AD中点O,连接OC,OP,如下图:
因为,,
所以,,
从而,故平面PAD,
又因为平面平面ABCD,且平面平面,
所以平面ABCD,
以O为坐标原点,OC,OA,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图:
由题意可知,,,,,
设,因为点M在棱PA上,故,,
所以,故,
设平面PCD的法向量为,
故,令,则,,
从而平面PCD的法向量可以取,
因为平面PCD,
所以,解得,,
故假设成立,存在这样的点M,使得平面PCD,此时,
即,从而.
17．答案：(1)答案见解析；
(2)，
解析：(1)
如图所示，在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，
易知四边形ABCN为平行四边形，可得，即，
又，平面PAC，
所以平面，
因为平面，
所以面面；
(2)
取AC的中点O，则，
因为，
所以，结合(1)的结论，
可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，
即，
设面ACM的一个法向量为，
则有，
令，
即，
则点P到面ACM的距离为，
即；
易知平面ACD的一个法向量可为，
设平面MAC和平面DAC夹角为，易知,
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于底面，底面，，
又，，平面，平面PAB，
又平面，.
，，，
平面，平面，平面PBC.
（2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，
则，，，，，.
设平面CPD的法向量为，
则，即，可取.
设平面ACP的法向量为，
则，即，可取.
二面角的正弦值为，
余弦值的绝对值为，
故，
又，，即.
19．答案：（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
解析：（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：为棱PC的中点，
，，，，，，
四边形ABMN是平行四边形，，
又平面PAD，平面PAD，平面PAD.
（2），，，，，
平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
平面ABCD，
又AD，平面ABCD，，而，，
以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，，，，
M为棱PC的中点，
，，
（i），，
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，，
平面PDM的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，
则二面角的余弦值为.
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，，
则，，
由（2）知平面BDM的一个法向量为，，
点Q到平面BDM的距离是，
，.