湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一上学期9月月考 数学试题

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一.单选题
二.多选题
4【详解】. 因为−1 < a < 5 ， −3 < b < 1 ，所以−1 < − b < 3， 对于 A ，当 0 ≤ a < 5 ，0 ≤ b < 1 时，0 ≤ ab < 5；
当 0 ≤ a < 5 ，−3 < b < 0 时，0 < − b < 3 ，则 0 ≤ − ab < 15 ，即−15 < ab ≤ 0； 当−1 < a < 0 ，0 ≤ b < 1 时，0 < − a < 1 ，则 0 ≤ − ab < 1 ，即−1 < ab ≤ 0；
当−1 < a < 0 ，−3 < b < 0 时，0 < − a < 1 ，0 < − b < 3 ，则 0 < ab < 3； 综上， −15 < ab < 5 ，故 A 正确；
对于 B ，−3 − 1 = − 4 < a + b < 1 + 5 = 6 ，故 B 正确； 对于 C ，−1 − 1 = − 2 < a − b < 3 + 5 = 8 ，故 C 正确；
对于 D ，当 a = 4 ，b = 时， = 8 ，故 D 错误，
5【详解】. 因为此数为小于 5 的正整数，所以 A = 0 < x <
. 因为 x ∈ B 是 x ∈ A 的必要不充分条件，x ∈ C 是 x ∈ A 的充分不必要条件， 所以 C 是 A 的真子集，A 是 B 的真子集，
所以 ≤ 5 且 > ，解得 ≤ Δ < 3 ，所以“Δ ”表示的数字是 1 或 2 ，故 C 正确.
6【详解】. 由已知可得 y = ax2 + bx + c 开口向下，即 a < 0；
x = − 1, x = 3 是方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根，即33= 2 ⇒ b = − 2a, c = − 3a，
显然 c > 0；a + b + c = a − 2a − 3a = − 4a > 0；cx2 − bx + a < 0 ⇒ − 3ax2 + 2ax + a < 0 ⇒ 3x2 − 2x − 1 = 3x + 1 < 0 ⇒ − < x < 1 ，故 D 正确.
7【详解】. 因为 m < 8 ，则 m − 8 < 0，
当且仅当 8 − m = ，即 m = 6 时，等号成立，所以 m + 的最大值为 4.
8【详解】.赞成 A 的人数为 = 30 ，赞成 B 的人数为 30 + 3 = 33 ．记 50 名学生组成的集合为 U ，赞 成事件 A 的学生全体为集合 A ，赞成事件 B 的学生全体为集合 B ． 如图所示，
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6
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8
C
A
C
D
C
D
A
B
9
10
11
AC
BD
BCD
设对事件 A ，B 都赞成的学生人数为 x，
则对 A ，B 都不赞成的学生人数为 + 1 ．赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30 − x，
赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33 − x ．依题意 = 50 ，解得 x = 21 .
所以赞成 A 的不赞成 B 的有 9 人，赞成 B 的不赞成 A 的有 12 人，对 A ，B 都赞成的有 21 人，对 A ，B 都 不赞成的有 8 人.
9【详解】. ∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖” ，而“丙预测说： 甲的猜测是对的” ∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外 两人的预测与结果不符已知有两人获奖”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙或乙获奖.
10. 【详解】 因为 23 = 3 × 7 + 2 = 5 × 4 + 3 = 7 × 3 + 2 ，故 23 ∈ (A ∩ B ∩ C)；128 = 3 × 42 + 2 = 5 × 25 + 3 = 7 × 18 + 2 ，故 128 ∈ (A ∩ B ∩ C)；因 8 = 7 × 1 + 1 ，则 8 ∉ C；37 = 3 × 12 + 1 ，则 37 ∉ A
11.【详解】对 A：当 a < 0 < b 时，结论不成立，故 A 错误；对于 B 因为 ac2 > bc2，所以c2 > 0，所以 a > b， 故 B 正确；对于 C: ，因为 a > b > 0，所以 > 0，所以 +
− > 0，即 a − > b − , 故 C 正确；对 D：a2 + b2 + 1 ≥ 2 (a − 2b − 2)等价于a − 12 + b + 22 ≥ 0，
成立，故 D 正确.
三.填空题
12.k≥4 或[4 ，+ ∞ ) 或{k|k≥4}； 13.16 14. 12
12.【详解】因为 x=2 在不等式的解集中，把 x=2 带入不等式得：4（k-1）-2k-4≥0 ，解得 k≥4 13.【详解】解：因为 ∈ N ，所以 6 − x = 1,2,3,6，
又 x ∈ N ，所以 x = 0,3,4,5 ，所以集合M = {0,3,4,5} ，所以集合M的子集个数为24 = 16 个
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≥ x2 + = x2 + 当且仅当 x=2y 的时候取 “ = ”，又 + x2 ≥ 2 = 12 ，当且仅当 x=2 的时候取“= ”。综上，当 x=2y=2 的时候，不等式取“= ”条
件成立，此时最小值为 12 四.解答题
\l "bkmark1" 15.（1） 由题意可得 B = {y| − 2 ≤ y ≤ 6} ， 2 分
\l "bkmark2" 当 a = 3 时，A = {x 4 ≤ x ≤ 7 } ， 3 分
\l "bkmark3" 所以 A ∩ B = {x|4 ≤ x ≤ 6} ， 4 分
\l "bkmark4" 因为∁RA = {x|x < 4, 或 x > 7} ， 5 分
所以∁RA ∩ B = {x| − 2 ≤ x < 4} 分
（2） 由(1)知，B = {y| − 2 ≤ y ≤ 6}，
若 A = ∅ , 即 a + 1 > 2a + 1 ，解得 a < 0 ，此时满足 A ⊆ B ； 分
a + 1 ≤ 2a + 1
2a + 1 ≤ 6
若 A ≠ ∅ , 要使 A ⊆ B ，则 a + 1 ≥ − 2 ，解得 0 ≤ a ≤ , 12 分
综上，若 A ⊆ B ，所求实数 a 的取值范围为a|a ≤ } 分
16. （1） 由“x ∈ A ”是“x ∈ B ”的充分不必要条件，得 A 真包含于 B ， 分
而 A = [a -1, a +1] ，显然 A ≠ B ， 分
于是{ 3-1 ，解得0 ≤ a ≤ 2 ， 分
所以 a 的取值范围为[0, 2] 分
（2）当命题p 为真命题时， m ≤ -1 ， 分
当命题q 为真命题时， Δ = m2 - 4 < 0 ，即-2 < m < 2 ， 分
{
〔m ≤ -1
所以p 与q 同时为真命题时有 l-2 < m < 2 ，解得-2 < m ≤ -1 ， 分
故p 与q 不同时为真命题时， m 的取值范围是(-∞, -2]u (-1, +∞) ． 分
17.（1）f(x) = ax2 − 2ax − 3 = a(x − 1)2 − a − 3(a > 0) ，x ∈ [3, + ∞) 则二次函数 f(x)图象的开口向上，且对称轴为 x = 1 ， 1 分
∴f(x)在[3, + ∞)上单调递增， ∴ f(x)min = f(3) = 3a − 3 ， 分 f(x) ≥ 0 在[3, + ∞)上恒成立，转化为 f(x)min ≥ 0，
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∴3a − 3 ≥ 0 ，解得 a ≥ 1 ，故实数 a 的取值范围为[1, + ∞) ； 分
（2）关于 x 的方程 f(x) = 0 有两个不相等的正实数根x1, x2， ∵f(x) = ax2 − 2ax − 3 ，x1 + x2 > 0 ，x1x2 > 0 ， 分
∴a ≠ 0 且 ，解得 a < − 3 ， 分
∴ x + x = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4 + ， 分 令 g(a) = 4 + （a < − 3），
∵ g(a)在( − ∞, − 3)上单调递减， 12 分
∴ ∈ ( − 2,0) ， ∴ g(a) ∈ (2,4) ， 14 分
故x + x的取值范围为(2,4) ． 分
18.（1）韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误 分
在李雷的解法中，a + ≥ 2 ，等号成立时 a = 1； b + ≥ 2 2 ，等号成立时 b = 2，
那么取得最小值 1 + 2 2时，a + b = 1 + 2，
这与已知条件 a + b = 1 是相矛盾的 分
（2） ∵a > 0 ，b > 0 ，c > 0 ，且 a + b + c = 1，
∴ + + = + + 分
c b
b c
= 3 + + ) + + + + ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2
= 3 + 2 + 2 + 2 = 9 ，当且仅当 a = b = c 时取等号． 分
（3）因为 a + 2b = 1 ，所以 b = 10 分
即 = + + = + + = − + + + = + − = + a + 2b − = 3 + +
≥ 3 + 2 = 3 + 10 ，当且仅当a 1 ，即2405 时，等号成立.
2ab min
所以(b2 +a+1) = 3 + 17 分
19.解：（1）因为当生产该款学习机 8 万部并全部销售完时，年利润为 1196 万元， 所以(a - 4 × 8) ×8 - 20 - 8× 16 = 1196 ，解得 a = 200 分
当该公司一年内共生产该款学习机 20 万部并全部销售完时，年利润为 2960 万元，
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所以 × 20 - 20 - 20× 16 = 2960 ，解得b = 40000 . 分
当 0＜x≤10 时， W = xR(x) - (16x + 20) = x(200 - 4x) - (16x + 20) = -4x2 + 184x - 20 ； 分
当x > 10 时， W = xR- 16x + 5280
分
综上 . 分
（2）①当时 0＜x≤10 ， W = -4(x - 23)2 + 2096 单调递增，所以Wmax = W(10) = 1420 ；... 11 分
②当 x > 10 时， W = - -16x + 5280 ， 由于 + 16x≥2×16x = 1600 ，
当且仅当 = 16x ，即 x = 50 ∈ 时取等号，
所以此时 W 的最大值为 分
综合①②知，当x =50 时， W 取得最大值为 3680 万元 17 分
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