湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份湖北省“新高考联考协作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l1: 3x+y+2=0，直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.双曲线C:y24−x2=1的渐近线方程为y=mx，则|m|=( )
A. 12B. 22C. 2D. 2
3.已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，则an所有可能的取值的集合为( )
A. {2}B. {1,2}C. {1,2,4}D. {1,2,4,8}
4.如图，在正四面体P−ABC中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为点H，点M满足AM=12AH，则PM=( )
A. 12PA+14PB+14PCB. 12PA+16PB+16PC
C. −12PA+16PB+16PCD. 12PA+13PB+13PC
5.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.4，则( )
A. 若A与B相互独立，则P(AB)=0.24
B. 若A与B互斥，P(AB)=0.24
C. 因为P(B)+P(A)=1，所以A与B相互对立
D. 若B⊆A，则P(A∪B)=0.6
6.已知圆x2+y2−2ax−4ay+5a2−9=0上的所有点都在第一象限，则实数a的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. [32,3]C. [32,+∞)D. (32,3)
7.已知{an}是等比数列，前n项和为Sn，且满足a1+a4=94，S6=9S3，则a1a2+a2a3+⋯+anan+1等于( )
A. 16(1−4−n)B. 13(1−2−n)C. 124(4n−1)D. 124(2n−1)
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1与直线y=x+1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为23，则该双曲线的离心率为( )
A. 72B. 142C. 355D. 153
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10=9，S10=0，则( )
A. {|an|}的前10项和为50B. {an}是递增数列
C. 当n=4时，Sn取得最小值D. 若Sn>0，则n的最小值为11
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，则( )
A. 直线BE与CD所成角的余弦值为 53B. BC1/​/平面ACD1
C. 点F到直线BE的距离为1D. DC1在DA1上的投影向量为 22DA1
11.已知直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线x=−p2的垂线，垂足依次为A1，B1，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有( )
A. p=2
B. 若AB的倾斜角为60∘，点A在第一象限，则AF=3FB
C. 若|AA1|⋅|BB1|=8，则AB的斜率为1
D. 若点M，N在C上，且AF+MF+NF=0，则|AF|+|MF|+|NF|=6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆x24+y23=1上的点P到直线x+2y−5=0的最短距离为 ．
13.已知圆C1:(x−1)2+y2=1，圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1，其中a，b∈R，若两圆外切，则ba+3的取值范围为 ．
14.在长方体ABCD−A1B1C1D1(如图1)中，已知AB=AD=1，AA1=2，上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转π4得到一个十面体ABCD−EFGH(如图2)，则该十面体的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为a，b．
(1)求a+b是奇数的概率;
(2)求直线ax−by=0与双曲线x2−y2=1有公共点的概率．
16.(本小题15分)
已知圆C:x2+y2+4x+2y−11=0关于直线x+y=0的对称圆的圆心为D，直线l过点(2,0)．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;
(2)若直线l与圆D交于A，B两点，|AB|=2 15，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在五棱锥S−ABCDE中，平面SAE⊥平面AED，AE⊥ED，SE⊥AD．
(1)证明：SE⊥平面AED；
(2)若四边形ABCD为正方形，且SE=1，AB=2，N为边BC的中点，∠EAD=θ(θ∈(0,π2))，当θ取何值时，直线DN与平面SAD所成的角最小．
18.(本小题17分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn=(2n+1)an，求数列{bn}的前n项和Tn．
(3)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:x′=λx(λ>0)y′=μy(μ>0)的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′,y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：y=csx在变换φ:x′=13x,y′=3y的作用下得到y′=3cs3x′．
(1)已知曲线M:x2+y2=1在φ:x′=2xy′=y的作用下得到曲线M′，求M′的方程;
(2)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)在变换φ:x′=1ax,y′=1by下保持位置关系不变性，即点H在曲线Γ上，在变换φ下点H′也在曲线D′上;直线l与Γ相切，在变换φ下直线l′与曲线D′也相切.已知点H(x0,y0)是x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一动点，直线l是Γ在H处的切线.用上述结论求l的方程；
(3)已知直线y=−x与曲线Ei:x22+y2=i(i=1,2,3,⋯,n+1)在第四象限的交点为Pi，Ei在Pi处的切线被Ei+1所截得的弦长记为ai，求i=1nai．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查倾斜角与斜率的关系，两条直线垂直的应用，属于基础题．
由两点的坐标求出直线l1的斜率，再由l1⊥l2，求出k2= 33，利用倾斜角与斜率的关系可得．
【解答】
解：∵l1: 3x+y+2=0，
∴l1的斜率k1=− 3，
又∵l2⊥l1，∴l2的斜率k2= 33，
∵因为直线倾斜角的范围为[0,π),
∴l2的倾斜角为π6．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题．
根据焦点在y轴上的双曲线方程得出双曲线的渐近线为y=±abx，即可求得参数．
【解答】
解：因为双曲线方程为C:y24−x2=1，所以a=2，b=1，
所以渐近线方程为y=±2x，
即得m=±2，所以|m|=2．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推关系，属于基础题．
由递推关系式逐项求解得出an所有可能的取值．
【解答】
解：由a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时,
则a2=a12=1,a3=3a2+1=4,a4=2,a5=1,a6=4,···
数列an为2，1，4三数的循环，
故an所有可能的取值的集合为1,2,4．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【解答】
解：延长PH与BC交于点N，则点N为BC中点，且PH=23PN，
PM=PA+AM=PA+12AH
=PA+12(PH−PA)
=12PA+12PH
=12PA+12×23PN
=12PA+13×12(PB+PC)
=12PA+16PB+16PC．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，概率的基本性质，属于中档题．
根据题意，由对立事件的定义得P(B)，由P(AB)=P(A)P(B)计算即可判断A，由互斥事件的定义分析B，举反例判断C，根据事件的包含关系分析D．
【解答】
解：对于A，由P(B)=0.4，得P(B)=1−P(B)=0.6，
又P(A)=0.6，A与B相互独立，
则P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.6=0.36，故 A错误；
对于B，若A与B互斥，则P(AB)=0，故B错误；
对于C，假若事件A为“从标号为1∼10的10张卡片中任取一张(卡片除标号外无差别)，标号为1”，事件B为“从标号为1∼10的10张卡片中任取一张(卡片除标号外无差别)，标号不大于9”，则P(A)+P(B)=0.1+0.9=1，而事件A，B可能同时发生，A与B不是对立事件，故C错误；
对于D， 若B⊆A，则P(A∪B)=P(A)=0.6，故D正确．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的方程中的参数求解问题，属于基础题．
首先将圆的方程转化为标准方程，然后结合题意和圆的性质得出参数不等式进行求解即可．
【解答】
解：由x2+y2−2ax−4ay+5a2−9=0，
得(x−a)2+(y−2a)2=9，
所以圆心坐标为(a,2a)，半径为3，
因为圆x2+y2−2ax−4ay+5a2−9=0上所有点都在第一象限，
所以a>32a>3，得a>3．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的求和公式，属于中档题．
首先求出an，然后判断出anan+1也为等比数列，即可求出和．
【解答】
解：设等比数列an的公比为q，由题意可知q≠1，
由已知得a1+a1q3=94a1(1−q6)1−q=9·[a1(1−q3)1−q]，解得 a1=14q=2,
∴an=a1qn−1=14·2n−1=2n−3，
∴anan+1=22n−5=18·4n−1，
故anan+1是以18为首项，4为公比的等比数列，
∴a1a2+a2a3+⋯+anan+1=181−4n1−4=124(4n−1)．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查求双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题．
首先求出AB中点坐标，设出A，B两点坐标，代入双曲线方程，作差，根据AB两点的斜率，求出b2a2的值，进而求出离心率的范围．
【解答】
解：AB中点的横坐标为23，代入直线y=x+1，
求得AB中点的坐标为(23,53)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x22=23，y1+y22=53，
则x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1,
两式相减，得x12−x22a2=y12−y22b2，
即y1−y2x1−x2·y1+y2x1+x2=b2a2，
即y1−y2x1−x2·52=b2a2，
又因为AB斜率为1，
所以b2a2=52，
∴e2=c2a2=1+b2a2=72，
∴e= 142．
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查的是等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．
根据已知条件，结合等差数列的公式，求出首项和公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，a10=9，S10=0，
则a1+9d=910a1+10×92d=0，解得a1=−9d=2,
数列an的前10项和为：9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=50，故A正确；
因为d=2>0，所以{an}是递增数列，故B正确;
Sn=−9n+n(n−1)2×2=n2−10n=(n−5)2−25，
当n=5时，Sn取得最小值−25，故C错误；
Sn>0，则n2−10n>0，解得n>10或n0，则n的最小值为11，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于中档题．
建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离；利用线面平行的判定定理及投影向量的定义得出结论．
【解答】
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，
且E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，可知E(1,0,2)，F(2,0,1)，
可得BE=(−1,−2,2)，BF=(0,−2,1)，DC=(0,2,0)，
对于选项A:因为csBE,DC=BE⋅DC|BE||DC|=−43×2=−23，
所以直线BE与CD所成角的余弦值为23，故A错误；
对于选项B：因为BC1/​/AD1，BC1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
所以BC1/​/平面ACD1，故B正确；
对于选项C:因为BF在BE方向上的投影向量的模长为|BF⋅BE||BE|=2，
且BF= 5，
所以点F到直线BE的距离为 ( 5)2−22=1，故C正确；
对于选项D：△A1C1D是等边三角形，所以DC1在DA1上的投影向量为12DA1，故D错误．
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系及其应用，抛物线中的弦长问题，向量与抛物线的综合问题，属于较难题．
根据题意可得抛物线的方程为y2=4x，设直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立抛物线的方程，结合根与系数关系可得y1+y2，y1y2，x1x2，x1+x2，由抛物线的定义可得|AF|，|BF|，|AB|，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】
解：由题意得抛物线的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
因为AB长的最小值为4，
所以2p=4，解得p=2，故A正确；
所以抛物线的方程为y2=4x，
设直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以x1x2=y124·y224=1616=1，
x1+x2=my1+1+my2+1=m(y1+y2)+2=4m2+2，
由抛物线的定义可得|AF|=x1+p2=x1+1，|BF|=x2+p2=x2+1，
|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=4m2+4，
对于B:若AB的倾斜角为60∘，则m= 33，
所以y1+y2=4 33，y1y2=−4，
所以y1=2 3，y2=−2 33，
所以x1=3，x2=13，
所以|AF|=x1+1=4，|BF|=x2+1=43，
所以|AF|=3|BF|，故B正确；
对于C:若|AA1|⋅|BB1|=8，则|x1+p2|⋅|x2+p2|=8，
所以|x1+1|⋅|x2+1|=8，
所以(x1+1)(x2+1)=8，所以x1x2+x1+x2+1=8，
所以1+4m2+2+1=8，解得m=±1，
所以直线AB的斜率为1或−1，故C错误；
对于D:设M(x3,y3)，N(x4,y4)，
由AF+MF+NF=0，得F为△AMN的重心，
所以x1+x3+x4=3×p2=3，y1+y3+y4=0，
所以|AF|+|MF|+|NF|=x1+1+x3+1+x4+1=6，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】 55
【解析】【分析】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，两平行直线间的距离，属于基础题．
先设出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为：x+2y+k=0，联立此直线与椭圆的方程，由Δ=0得出k，从而由平行线之间的距离公式求出答案．
【解答】
解：显然直线与椭圆相离，直线在椭圆的右上方，
设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为：x+2y+k=0，
联立x24+y23=1x+2y+k=0，得16y2+12ky+3k2−12=0，
则由Δ=144k2−4×16×(3k2−12)=0，得k±4，
由题意要求椭圆上的点到直线l的最短距离，则取k=−4，
所以最短距离为−4+5 12+(−2)2= 55．
故答案为： 55．
13.【答案】[− 33, 33]
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及判定，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．
利用圆与圆外切求出(a−1)2+b2=4，结合ba+3表示的几何意义，由直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：圆C1:(x−1)2+y2=1的圆心为C1(1,0)，半径为1，
圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1的圆心为C2(a,b)，半径为1，
因为圆C1:(x−1)2+y2=1与圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1外切，
则 (a−1)2+b2=1+1=2，即(a−1)2+b2=4，
所以ba+3表示圆(x−1)2+y2=4(圆心为(1,0)，半径为2)上动点P(a,b)与点M(−3,0)连线的斜率，
设直线MP的方程为y=k(x+3)，即kx−y+3k=0，
当直线与圆相切时，d=|k+3k| 1+k2=2，解得k=± 33，
可知k∈[− 33, 33]，
即ba+3的取值范围为：[− 33, 33].
故答案为：[− 33, 33].
14.【答案】 6π
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的结构特征，球的接切问题，属于基础题．
研究几何的特征，找出其外接球的球心，求出其半径即可．
【解答】
解：该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，
该点到该十面体每个顶点的距离均为 ( 22)2+12= 62，
所以这个十面体的外接球的半径为R= 62，
从而其体积V=43πR3=43π( 62)3= 6π．
故答案为： 6π．
15.【答案】解：(1)总的事件的个数为：6×6=36，记A=“a+b是奇数”，
则事件A包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，
(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个，
∴P(A)=1836=12；
(2)设“直线ax−by=0与双曲线x2−y2=1有公共点”为事件B，
因为双曲线x2−y2=1的渐近线为y=±x，
要使直线ax−by=0与双曲线x2−y2=1有公共点，
则−1