湖北省新高考联考协作体2024−2025学年高一上学期12月月考 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省新高考联考协作体2024−2025学年高一上学期12月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．若的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．若函数，则与是同一个函数
C．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是
D．若都是无理数，则是无理数
5．用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（ ）次
A．3B．4C．5D．6
6．已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（ ）小时
A．12B．24C．36D．48
7．关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．已知定义在上的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数必为奇函数
B．函数的图象与垂直于轴的直线有且只有一个交点
C．函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数
D．若为偶函数，且在区间上是增函数，则函数在区间上是增函数且最小值是
11．已知定义域为R的函数满足为偶函数.当时，，且当时，.对，都有，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数是上的偶函数，则实数的值为 .
13．已知奇函数的定义域是，其中，则的最小值为 .
14．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：.
（2）计算：.
（3）已知，求的值.
16．已知集合.给出以下两个条件:①;②
(1)从两个条件中，选择一个，填在横线上__________并求出此时a的取值范围;
(2)若条件①和条件②中有且只有一个成立，求a的取值范围.
17．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为y=x，其中表示不超过的最大整数.例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用.“双十二”是继“双十一”之后的又一个购物狂欢，为刺激消费，某购物中心施行以下的优惠方案.方案1：一次购买商品的价格，每满元立减元；例如：买元的商品，可用两张优惠券，只需付（元）.方案2：在优惠1之后，再每满元立减元.例如：店铺原价元的一单，最终价格是（元）.
(1)小易计划购买价格分别是元的围巾和元的羽绒服，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)小易打算趁“双十二”囤积某生活日用品若干，预算不超过元，该生活日用品在店铺的售价为元/件，试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低？最低平均价格是多少？
18．函数在上是单调递减函数且且满足下列三个条件中的两个①函数为奇函数;②;（3）.
(1)从三个条件中选择两个并求的解析式;
(2)在（1）的情况下，令.
（i）求的值;
（ii）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
19．若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数.上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）.
应用以上知识解决下列问题：
(1)若函数为R上的上凸函数，求的取值范围;
(2)若函数在上是上凸函数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)利用材料中的相关性质，设，且，求的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，
故.
故选：C.
2．【答案】B
【详解】因为指数函数为上的增函数，则，
对数函数为减函数，则，
对数函数为减函数，则，
因此，.
故选：B.
3．【答案】D
【详解】因为函数的定义域是，
对于函数，有，有，
所以，函数的定义域为.
故选：D.
4．【答案】C
【详解】命题“”的否定是“，A错；
，两函数定义域不同，B错误；
若不等式对任意实数都成立，则，即，C对；
取，此时为有理数，D错；
故选：C
5．【答案】B
【详解】开区间0,1的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过次操作后，区间长度为，
因为二分法求在区间0,1上近似解，要求精确度为，
所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次.
故选：B
6．【答案】B
【详解】依题意，两式相除得，
则，
所以当时，小时.
故选：B.
7．【答案】C
【详解】由得，
若时，原不等式即为，不合乎题意；
若时，则原不等式的解为或，
满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意；
若时，则原不等式的解为，
由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
8．【答案】D
【详解】函数的图象如图所示，
设，则，
则直线与函数y=fx的图象个交点横坐标分别为，
对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A错误；
对于B：由图象可知，且，
∴，即，所以，故B错误；
对于C：当时，，
由图象可知，则，故C错误；
对于D：由图象可知，
所以，故D正确.
故选：D.
9．【答案】CD
【详解】对于A选项，因为，则，，所以，，则，即，A错；
对于B选项，因为，，则，由不等式的性质可得，B错；
对于C选项，因为，，则，
所以，，C对；
对于D选项，因为，，由不等式的性质可得，则，
由不等式的性质可得，D对.
故选：CD.
10．【答案】AB
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，所以，函数必为奇函数，A对；
对于B选项，因为函数的定义域为，
所以，对任意的，都有唯一的与之对应，
所以，函数的图象与垂直于轴的直线有且只有一个交点，B对；
对于C选项，若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，
不妨取，直，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上不单调，C错；
对于D选项，因为函数为偶函数，且在区间上是增函数，
任取、且，则，则，
即，
所以，函数在区间上是减函数，且最小值为，D错.
故选：AB.
11．【答案】CD
【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数，
所以函数关于对称，，
因为当时，，当时，，
所以当时，，则，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
如图，画出函数图像
当时，令，解得或，
对，都有，
结合图像，得.
故选：CD.
12．【答案】
【详解】因为函数为幂函数，则，
可得，解得或.
当时，函数是偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
13．【答案】/
【详解】因为奇函数的定义域是，则，可得，则，
因为，则，解得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
14．【答案】0
【详解】因为定义在上的函数满足，
可得，所以，所以3是的一个周期.
因为为奇函数，所以，
用替换，可得：，即.
又因，故得，即，
所以函数的图象关于 轴对称.
又，
则，
即得，
故.
故答案为：0.
15．【答案】（1）2；（2）7；（3）
【详解】（1）原式，
（2）原式，
（3）由，则有，
即，
所以，
所以，
故.
16．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）不等式，即，
令，解得，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
若选①：因为，
当时，不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式的解集为，
则，解得；
当时，不等式的解集为，
则，无解；
综上所述：a的取值范围；
若选②：，
当时，不等式的解集为，不成立；
当时，不等式的解集为，
则，解得；
当时，不等式的解集为，
则，无解；
综上所述：a的取值范围.
（2）若（1）中选①：可得条件①成立，
对于条件②：，
当时，不等式的解集为，不成立；
当时，不等式的解集为，
则，解得；
当时，不等式的解集为，
则，无解；
综上所述：a的取值范围；
因为条件①和条件②中有且只有一个成立，
则或，解得或，
所以a的取值范围为；
若（1）中选②：可得条件②成立，
对于条件①：因为，
当时，不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式的解集为，
则，解得；
当时，不等式的解集为，
则，无解；
综上所述：a的取值范围；
因为条件①和条件②中有且只有一个成立，
则或，解得或，
所以a的取值范围为.
17．【答案】(1)一次支付好些，理由见解析
(2)购买件或件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元/件.
【详解】（1）若分两次支付：支付围巾的费用为（元），
支付羽绒服的费用为（元），
所以分两次支付时，支付的总费用为（元）；
若一次支付，则支付的总费用为（元），
因为，所以一次支付好些.
（2）假设购买件，平均价格为元/件，由于不能超过元预算，
因为，则小易最多可获得的优惠金额为，
因为，则小易最多只能购买件，
因为，若小易购买件，则实际支付费用为元，
若小易购买件，方案1优惠的支付金额为元，
所以当时不能享受满元减元的优惠，
当时能享受一次每满元减元的优惠.
①当时不能享受每满元减元的优惠，
则，
当时，；
当时，，
所以当时购买偶数件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为元/件；
②当时能享受一次每满元减元的优惠，
则
，
当时，，当，时，.
当时，，
当，时，.
综上，购买件或件该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)（i）0；（ii）
【详解】（1）因为在上是单调递减函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数
因为函数的定义域为，所以，则，故一定满足②
选择①②，，即，
而，解得.
.
（2）（i）根据题意可知，解得函数的定义域为
又，则为奇函数，
且，
，
（ii）若关于的方程在上有解，
则在区间上有解，
令，则的范围即为的值域，
易知函数为上的减函数，
对于函数，
由于内层函数为上的减函数，外层函数为增函数，
所以函数为上的减函数，
所以，函数为上的减函数.
则，
的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于函数为R上的上凸函数，
所以对任意的，有，
故
，
因此，结合，故.
（2）由函数在上是上凸函数，
可得对任意.
又，所以
当时，不等式恒成立，
即，即恒成立，
可得在时恒成立，
因为，所以，所以，
由，及，可得，所以.
故.
（3）令，设，
则
，
所以在0,1上为下凸函数，
，函数在0,1上为下凸函数，
由题意得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.